2023年广东省汕头市潮阳区金德实验学校中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省汕头市潮阳区金德实验学校中考数学三模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年5月30日，神舟十六号载人飞船开启中国航天新征程.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1,3)，当x>1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是( )
A. y=−2(x+1)2+3B. y=2(x+1)2+3
C. y=−2(x−1)2+3D. y=2(x−1)2+3
3.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=a2+1x的图象上的两点，若x1<0A. y1<04.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
5.函数y= 1−xx的自变量x的取值范围是( )
A. x≥1且x≠0B. x≠0C. x≤1且x≠0D. x≤1
6.方程axx−2=4x−2+1无解，则a=( )
A. 1B. −2C. 2或1D. 1或−2
7.函数y=kx−3与y=kx(k≠0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则△ABC的内切圆的半径r是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 无法判断
9.下列命题是真命题的是( )
A. 每个内角都相等的多边形是正多边形B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 两直线平行，同位角互补D. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线
10.如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF=45°，∠ABG=∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF=EF②BN⊥AE③BF=83④S△BGF=1615中正确的是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值.则∠1+∠2= 度.
12.分解因式：a3−a=______．
13.计算：22023×(−12)2022= ______．
14.由边长为1的小正方形构成的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，则sin∠ACB= ______．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB=EF.反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知T=a2−9a(a+3)2+6a(a+3)．
(1)化简T；
(2)若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
17.(本小题8分)
【跨学科试题】为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》(分别用A、B、C、D表示)中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春⋅雪》《念奴娇⋅赤壁怀古》(分别用E、F、G表示)中随机抽取一首进行讲解.小明和晓慧都参加了诗词大赛．
(1)小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______；
(2)利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春⋅雪》的概率．
18.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，连接BD，过C作CE/​/AB，且CE=AD，连接AE．
求证：BD=AE．
19.(本小题8分)
贾老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小刚所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部.于是，小刚和小亮制订了测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求古树AB的高度．
20.(本小题8分)
如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m )，点P是反比例函数y=kx(k≠0,x>0)图象上的一动点.过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y=x于点G．
(1)求k与m的值；
(2)若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．
21.(本小题8分)
2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”憨态可掬，深受老百姓喜爱．
(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，调查发现：每下降2元，每天可多售10件.如果每天总盈利要达到最大值，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
22.(本小题8分)
如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)求证：△CFP∽△CPD；
(3)如果CF=1，CP=2，sinA=45，求O到DC的距离．
23.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+2 2(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(4,0)两点，连接AC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使∠PBO=12∠CAO，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
(3)若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与△AOC相似.请直接写出点Q坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得：抛物线的顶点是(1,3)，开口向上，
故选：D．
根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1,3)，根据抛物线的顶点式求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=a2+1x，a2+1≥1>0，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在第一象限内的函数值都大于0，在第三象限内的函数值都小于0，
∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)是反比例函数y=a2+1x的图象上的两点，x1<0∴y1<0故选：A．
根据反比例函数的性质和题意可以判断y1、0、y2的大小，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
4.【答案】C
【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故选：C．
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得：1−x≥0且x≠0，
解得：x≤1且x≠0，
故选：C．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：去分母得：ax=4+x−2，
整理得：(a−1)x=2，
当a−1=0，即a=1时，方程无解；
当a−1≠0，即a≠1时，x=2a−1，
由分式方程无解，得到x=2，即a−1=1，
解得：a=2，
综上，a=2或1时无解，
故选：C．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解求出x的值即可．
此题考查分式方程的解，关键是把分式方程去分母转化为整式方程进行分析．
7.【答案】B
【解析】解：∵当k>0时，y=kx−3过一、三、四象限，反比例函数y=kx过一、三象限，
当k<0时，y=kx−3过二、三、四象限，反比例函数y=kx过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
根据当k>0、当k<0时，y=kx−3和y=kx(k≠0)经过的象限，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
8.【答案】A
【解析】解：如图，⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形CEOF为正方形，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
设⊙O的半径为r，则CE=CF=r，
∴AE=AG=6−r，BF=BG=8−r，
∴AB=AG+BG=AE+BF，即6−r+8−r=10，
∴r=2．
故选：A．
⊙O切AC于E，切BC于F，切AB于G，连OE，OF，根据切线的性质得到OE⊥AC，OF⊥BC，则四边形CEOF为正方形，得到CE=CF=r，根据切线长定理得AE=AG=6−r，BF=BG=8−r，利用6−r+8−r=10可求出r．
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
9.【答案】B
【解析】解：A、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
利于正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质及垂直平分线的定义进行判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
10.【答案】C
【解析】解：延长CD至H，使DH=BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=4，∠ABF=∠C=∠ADC=∠ADH=90°，
∴△ABF≌△ADH(SAS)，
∴AF=AH，∠BAF=∠DAH，∠AFB=∠H，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAF+∠DAE=∠DAH+∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAH=45°，
又AE=AE，
∴△EAF≌△EAH(SAS)，
∴EF=EH=ED+DH=ED+BF，①正确；
∵∠ABG=∠DAE，
∴∠ABG+∠ANB=∠DAE+∠ANB=90°，
∴BN⊥AE，②正确；
设BF=DH=x，
∵E为CD中点，
∴CE=DE=12CD=2，
∴EF=EH=2+x，CF=4−x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得(4−x)2+22=(2+x)2，
解得x=43，即BF=43，③不正确；
∵∠ABG=∠DAE，∠BAF+∠DAE=45°，
∴∠BGF=∠BAF+∠ABG=∠BAF+∠DAE=45°=∠EAH，
又∠AFB=∠H，
∴△BGF∽△EAH，
∵EH=ED+DH=ED+BF=2+43=103，
∴S△EAH=12×103×4=203，
∴S△BGFS△EAH=(BFEH)2=(43103)2=425，
∴S△BGF=425×203=1615，④正确；
综上，正确的有①②④，
故选：C．
延长CD至H，使DH=BF，证明△ABF≌△ADH，推出AF=AH，∠BAF=∠DAH，∠AFB=∠H，利用SAS证明△EAF≌△EAH，可判断①；利用余角关系可判断②；在Rt△CEF中，由勾股定理计算可判断③；证明△BGF∽△EAH，利用相似三角形的性质可判断④．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
11.【答案】240
【解析】【分析】
由三角形外角的性质得到∠1+∠2=∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形内角和定理，即可得到答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，
∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AED+∠ADE=60°+180°=240°．
故答案为：240．
12.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的方法，关键是熟练掌握提取公因式法和运用公式法的综合．
先提取a，然后利用平方差公式进行分解可得结果．
【解答】解：a3−a=a(a2−1)=a(a+1)×(a−1)．
13.【答案】2
【解析】解：22023×(−12)2022
=2×22022×(12)2022
=2×(2×12)2022
=2，
故答案为：2．
直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而得出答案．
本题考查有理数运算，涉及积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
14.【答案】2 55
【解析】解：根据勾股定理，得AB= 32+12= 10，BC= 32+12= 10，AC= 22+22=2 2，
∴AB=BC．
过点B作BD⊥AC，交AC于点D，
∴AD=CD= 2．
在Rt△BCD中，BD= ( 10)2−( 2)2=2 2，
∴sin∠ACB=2 2 10=2 55．
故答案为：2 55．
先根据勾股定理求出AB，BC，AC，可知AB=BC，再过点B作BD⊥AC，然后根据勾股定理求出BD，即可得出答案．
本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：如图：OF与CB交于点M，

设B(a,b)，
∵AB=EF=b，
在矩形OABC和矩形DEFG中，
CO=BA，∠OCB=∠FEC=90°，
∵∠CMO=∠FMB，
在△CMO和△EMF中，∠CMO=∠FMB∠OCB=∠FEC=90°CO=EF
∴△CMO≌△EMF(AAS)，
∵S阴影=S△EFM+S△OMB
=S△CMO+S△OMB
=S△OCB
=12ab，
∴12ab=4，
∴ab=8，
∴k=8；
故答案为：8．
设B(a,b)，证明△CMO≌△EMF(AAS)，根据S阴影=S△EFM+S△OMB，等量代换后得出12ab=4，从而求出k．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数k的几何意义列出算式是解题的关键．
16.【答案】解：(1)T=a2−9a(a+3)2+6a(a+3)=a2−9a(a+3)2+6(a+3)a(a+3)2=a2−9+6a+18a(a+3)2=(a+3)2a(a+3)2=1a；
(2)由边长为a的正方形的面积为9，得到a=3，
则T=13．
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
(1)原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可；
(2)由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．
17.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可得，小明第一轮抽到《将进酒》的概率是14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中D.《木兰辞》且第二轮抽中F.《沁园春⋅雪》的结果有1种，
∴晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春⋅雪》的概率为112．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春⋅雪》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
18.【答案】证明：∵CE/​/AB，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠ACEAD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=AE．
【解析】根据全等三角形的判定得出△ABD与△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
19.【答案】解：∵ED⊥DF，AB⊥DF，
∴∠EDC=∠ABC=∠ABF=90°，
设BF=x米，
∵CF=33米，
∴CB=CF−BF=(33−x)米，
在Rt△ABF中，∠AFB=53°，
∴AB=BF⋅tan53°≈43x(米)，
由题意得：∠ACB=∠DCE，
∴△EDC∽△ABC，
∴EDDC=ABCB，
∴1.53=43x33−x，
解得：x=9，
经检验：x=9是原方程的根，
∴AB=43x=12(米)，
∴古树AB的高度约为12米．
【解析】根据垂直定义可得∠EDC=∠ABC=∠ABF=90°，然后设BF=x米，则CB=(33−x)米，在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再根据题意可得：∠ACB=∠DCE，从而证明△EDC∽△ABC，进而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m )，
∴m=2 2，k=2 2m，
∴k=8，
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，
∴S△GOH=12x2，
∵S△POH=12k=4，
∴S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，
∴x=2(负数舍去)，
∴P点的横坐标为2，
∴y=82=4，
∴P点的坐标为(2,4)．
【解析】(1)利用正比例函数的解析式求得m=2 2，然后利用待定系数法即可求得k=8；
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，即可求得S△GOH=12x2，由S△POH=12k=4，得出S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，解得x=2，进而求得P点的坐标为(2,4)．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：500(1+x)2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%．
(2)设每个“冰墩墩”降价y元，每天的总利润为W元，
∴每个盈利(40−y)元，平均每天可多售出5y个，
依题意得：W=(40−y)(20+5y)=−5y2+180y+800=−5(y−18)2+2420，
当y=−b2a=−1802×(−5)=18时，
W最大=2420元，
答：每个冰墩墩降18元时，每天总利润最大为2420元．
【解析】(1)设该工厂平均每月生产量的增长率为x，根据题意可得方程解方程即可解答；
(2)设每个“冰墩墩”降价y元，每天的总利润为W元，根据题意可得总利润W与每个“冰墩墩”降价y之间的函数关系式即可解答．
本题考查了一元二次方程与实际问题，二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形，
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB，
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°，
∴ED是⊙O的切线．
(2)证明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°−∠BCP(直角三角形的两个锐角互余)，
∵∠PDC=90°−∠PDB(直径所对的圆周角是直角)，∠PDB=∠BCP(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠FPC=∠PDC(等量代换)．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．
(3)解：过点O作OM⊥CD于点M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC2=CF·CD(相似三角形的对应边成比例)，
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4，
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=45，
∴DCBC=45，即4BC=45，
∴直径BC=5，
∴MCCO=45，
∴MC=2，
∴MO=32，
∴O到DC的距离为32．
【解析】(1)连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB.根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；
(2)可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC.结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似．
(3)根据△PCF∽△DCP，得出CD的长度，进而求出O到DC的距离即可．
此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，根据相似三角形的性质得出CD的长度是解题关键．
23.【答案】解：(1)把A(1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2 2得：
a+b+2 2=016a+4b+2 2=0，
解得a= 22b=−5 22，
∴抛物线的解析式为y= 22x2−5 22x+2 2；
(2)存在点P，使∠PBO=12∠CAO，理由如下：
过P作PK⊥x轴于K，连接BC，如图：

在y= 22x2−5 22x+2 2中，令x=0得y=2 2，
∴C(0,2 2)，
∵A(1,0)，B(4,0)，
∴AB=3，AC=3，
∴AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=12∠CAO，
∵∠PBO=12∠CAO，
∴∠ABC=∠PBO，
∴tan∠ABC=tan∠PBO，即OCOB=PKBK，
设P(m, 22m2−5 22m+2 2)，
∴2 24=− 22m2+5 22m−2 24−m，
解得m=2或m=4(P与B重合，舍去)，
∴P(2,− 2)；
∴P的坐标为(2,− 2)；
(3)∵y= 22x2−5 22x+2 2= 22(x−52)2−9 28，
∴抛物线顶点M坐标为(52,−9 28)，对称轴为直线x=52，
∴N(52,0)，
∴MN=9 28，
当△AOC∽△MNQ时，如图：

∵∠CAO=∠QMN，
∴tan∠CAO=tan∠QMN，
∴2 21=NQ9 28，
∴NQ=92，
当Q在对称轴右侧时，Q的坐标为(7,0)，
当Q在对称轴左侧时，Q的坐标为(−2,0)；
当△AOC∽△QNM时，如图：

∵∠CAO=∠NQM，
∴tan∠CAO=tan∠NQM，
∴2 21=9 28NQ，
∴NQ=916，
当Q在对称轴左侧时，Q的坐标为(3116,0)，
当Q在对称轴右侧时，Q的坐标为(4916,0)；
综上所述，Q的坐标为(7,0)或(−2,0)或(3116,0)或(4916,0)．
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y= 22x2−5 22x+2 2；
(2)过P作PK⊥x轴于K，连接BC，由C(0,2 2)，A(1,0)，B(4,0)得AB=AC，故∠ABC=12∠CAO，有∠ABC=∠PBO，即得OCOB=PKBK，设P(m, 22m2−5 22m+2 2)，从而2 24=− 22m2+5 22m−2 24−m，解方程可得P的坐标为(2,− 2)；
(3)由y= 22x2−5 22x+2 2= 22(x−52)2−9 28，知M坐标为(52,−9 28)，N(52,0)，MN=9 28，当△AOC∽△MNQ时，根据tan∠CAO=tan∠QMN，有2 21=NQ9 28，故NQ=92，从而Q的坐标为(7,0)或(−2,0)；当△AOC∽△QNM时，同理可得Q的坐标为(3116,0)或(4916,0)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度及分类讨论思想的应用．课题
测量古树的高度
测量工具
平面镜、测倾器和皮尺
测量示意图及说明
说明：①D、C、B、F四点共线，DE、AB均垂直于DF
②平面镜大小忽略
③测倾器高度忽略
测量数据
小刚眼睛与地面高度DE=1.5米，小刚到平面镜的距离CD=3米，
平面镜到测倾器的距离为CF=33米，∠AFB=53°
参考数据
sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43