2023-2024学年四川省成都七中高新校区高一（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都七中高新校区高一（下）月考数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，值为12的是( )
A. 2cs215°−1B. 2sin75°cs75°
C. cs18°cs42°+sin18°sin42°D. tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘
2.已知向量a=(−2,1)，b=(m,3)，且a//b，那么a−b等于( )
A. (−8,−2)B. (−72,−2)C. (4,−2)D. (−12,−2)
3.设a为函数y=sinx+ 3csx(x∈R)的最大值，则a的值是( )
A. 2B. 1C. −2D. −1
4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示，则正数A值为( )
A. 3
B. 2
C. 2
D. 32
5.如图所示，函数y=csx|tanx|(0≤x<3π2且x≠π2)的图象是( )
A. B. C. D.
6.在△ABC中，AB=1,AC=4,∠BAC=π3，点D为边BC上靠近B的三等分点，则AD⋅BC的值为( )
A. −163B. 163C. −4D. 4
7.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
8.已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π3)满足f(π2−x)=−f(x)，且在区间[π6,π3]上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为( )
A. 443B. 563C. 463D. 203
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，则下列结论正确的是( )
A. 若a/​/b，则tanα= 3
B. 若a⊥b，则tanα=− 33
C. 若a与b的夹角为π3，则|a−b|=3
D. 若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是(−12,− 32)
10.设函数f(x)=cs(ωx+φ)，其中ω>0，若对任意的φ∈[π6,π4]，f(x)在[0,2π]上有且仅有4个零点，则下列ω的值中不满足条件的是( )
A. ω=136B. ω=116C. ω=54D. ω=34
11.下列结论正确的是( )
A. (sin2α−cs2α)2=1−4sin4α
B. sin347°cs148°+sin77°cs58°=12
C. 1+sin2θ−cs2θ1+sin2θ+cs2θ=tanθ
D. 若cs2θ=35，则sin4θ+cs4θ=1725
12.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0.以下命题正确的有( )
A. 若OA+2OB+3OC=0，则SA：SB：SC=1：2：3
B. 若|OA|=|OB|=2,∠AOB=5π6,2OA+3OB+4OC=0，则SABC=92
C. 若O为△ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则∠C=π2
D. 若△ABC的垂心O在△ABC内，AD，BE，CF是△ABC的三条高，则ODAD⋅OA+OEBE⋅OB+OFCF⋅OC=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设向量a=(x,−4)，b=(1,−x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的范围为______．
14.已知α+β=−π4(α,β≠kπ+π2,k∈Z)，则(1−tanα)(1−tanβ)= ______．
15.设函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ∈R.若f(x)≤f(π6)对任意的x∈R恒成立，则f(x)的增区间是______．
16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水车从点A(3,−3 3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水车旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，
①φ=−π3；
②当t∈(0,60]时，函数y=f(t)单调递增；
③当t=100时，|PA|=6；
④当t∈(0,60]时，f(t)的最大值为3 3．
则上面叙述正确的是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E在AB上，且BE=2EA，AD与CE交于点O，设AO=λAD．
(1)求λ的值；
(2)当AB=5，AC=3时，求AO⋅BC的值．
18.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，向量a=(3,4)．
(Ⅰ)若向量b满足|b|=10，且b⊥a，求b的坐标；
(Ⅱ)若向量c满足|c|=2 3，且a与c的夹角为π6，求a−2c与a的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
在条件：①2sin(2024π−α)=cs(2024π+α)；②sinα+csα=− 55；③sin2α=−45中任选一个，补充在下面的题目中，并求解．
已知α∈(0,π)，且满足条件_____．
(1)求3sinα+4csαcsα−sinα的值；
(2)若β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，求α+β的值．
20.(本小题12分)
已知向量a=(csx,sinx)，b=( 3csx,2csx− 3sinx)，设函数f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)=f(x−π6)+af(x2−π6)−af(x2+π12)在区间[0,π]上的最大值为6，求实数a的值．
21.(本小题12分)
如图，扇形OPQ的半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，点C是圆弧PQ上的动点(不与P、Q点重合)，现在以动点C为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于13，则称这两个四边形为“和谐四边形”.试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx−csx．
(1)求方程f(α)=cs2α在[0,2π]上的解集；
(2)设函数F(x)=f(x)+32lnx；
(i)证明：y=F(x)有且只有一个零点；
(ii)记函数y=F(x)的零点为x0，证明：−23答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为2cs215°−1=cs30°= 32，选项A错误；
2sin75°cs75°=sin150°=sin30°=12，选项B正确；
cs18°cs42°+sin18°sin42°=cs(18°−42°)=cs(−24°)≠12，选项C错误；
tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘=tan(30°+15°)=1，选项D正确．
故选：B．
利用二倍角公式与两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可．
本题考查了三角函数求值应用问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：向量a=(−2,1)，b=(m,3)，且a//b，
∴m−2=31，解得m=−6，∴b=(−6,3)，
∴a−b=(4,−2)．
故选：C．
由向量平行列方程，求出m=−6，从而b=(−6,3)，由此能求出a−b．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．
利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦型函数的值域求得它的最值，从而得出结论．
【解答】
解：∵a为函数y=sinx+ 3csx=2sin(x+π3)(x∈R)的最大值，则a=2，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：由图像可得T=2(11π12−5π12)=π，解得ω=2ππ=2，
而x=16π122=2π3时，函数取最小值，所以2×2π3+φ=2kπ+3π2,k∈Z，
解得φ=2kπ+π6,k∈Z，又0<φ<π2，所以φ=π6，
因为函数图像过点(0,1)，所以1=Asinπ6，解得A=2．
故选：B．
根据图像可得函数的周期，从而求出ω，再根据对称轴求出φ，结合图像过点(0,1)可求A．
本题考查了三角函数的图像与性质应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．
根据x的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．
【解答】
解：∵y=csx|tanx|=sinx,0≤x<π2−sinx,π2∴函数y=csx|tanx|(0≤x≤3π2且x≠π2)的图象是C．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：已知AB=1,AC=4,∠BAC=π3，
则AB⋅AC=1×4×12=2，
又点D为边BC上靠近B的三等分点，
则AD⋅BC=(AB+BD)⋅BC=(AB+13BC)⋅BC=(23AB+13AC)⋅(AC−AB)=13AC2−23AB2+13AB⋅AC=13×16−23×1+13×2=163．
故选：B．
由平面向量基本定理，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，
则(a+λb)⋅a|a|×a|a|=2a，即(a+λb)⋅a=2，
a，b是夹角为120°的两个单位向量，
则a2+λa⋅b=2，即1+λ×1×1×(−12)=2，解得λ=−2．
故选：A．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：函数的最小正周期为T=2πω，则ω=2πT，
在区间[π6,π3]上恰好存在两条对称轴，π3−π6=π6，
所以T2≤π6<32T，即πω≤π6<3πω，
解得6≤ω<18，
因为f(π2−x)=−f(x)，
所以f(π4+x)=f[π2−(π4−x)]=−f(π4−x)，
所以点(π4,0)是函数图象的一个对称中心，
则f(π4)=sin(ωπ4+π3)=0，得ωπ4+π3=kπ,k∈Z，即ω=4k−43,k∈Z，
因ω>0，则k∈N*，且ω随k的增大而增大，
当k=4时，ω=443<18，当k=5时，ω=563>18，
则ω的最大值为443．
故选：A．
由已知条件得出周期的范围，即得ω的范围，由f(π2−x)=−f(x)得函数图象的一个对称中心是(π4,0)，则ω=4k−43,k∈Z，结合ω的范围可得答案．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，a/​/b，
则sinα= 3csα，解得tanα= 3，故A正确；
a⊥b，则csα+ 3sinα=0，解得tanα=− 33，故B正确；
|a|=2，|b|=1，若a与b的夹角为π3，
则a⋅b=|a||b|csπ3=2×1×12=1，
故|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 4−2+1= 3，若a与b方向相反，
则b在a上的投影向量的坐标是：|b|csπ⋅a|a|=1×(−1)×12a=(−12,− 32)，故D正确．
故选：ABD．
对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；对于C，结合向量模公式，即可求解；对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：设t=ωx+φ，则φ≤t≤2πω+φ，所以y=cst在[φ,2πω+φ]上有4个零点，
可知7π2≤2πω+φ<9π2，所以74−φ2π≤ω<94−φ2π，
又φ∈[π6,π4]，所以74−π62π≤ω<94−π42π，即53≤ω<178，不满足的有A，C，D，
故选：ACD．
利用换元思想转化为y=cst在[φ,2πω+φ]上有4个零点，则需满足7π2≤2πω+φ<9π2，进而根据φ的取值范围得到ω的取值范围即可判断．
本题考查函数零点与三角函数之间的关系，涉及换元思想，属于中档题．
11.【答案】CD
【解析】解：(sin2α−cs2α)2=sin22α+cs22α−2sin2αcs2α=1−sin4α，故A错误；
sin347°cs148°+sin77°cs58°=sin13°cs32°+cs13°sin32°=sin(13°+32°)= 22，故B错误；
1+sin2θ−cs2θ1+sin2θ+cs2θ=2sin2θ+2sinθcsθ2cs2θ+2sinθcsθ=tanθ，故C正确；
若cs2θ=35，则sin4θ+cs4θ=(sin2θ+cs2θ)2−2sin2θcs2θ=1−12sin22θ=1−12(1−cs22θ)=1725，故D正确．
故选：CD．
根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，直接由奔驰定理可得，A对；
对于B，依题意有SC=S△AOB=12×2×2×sin5π6=1，SA：SB：SC=2：3：4，
所以SA+SB+SC=24+34+1=94，即S△ABC=94，故B错误；
对于C，设△ABC内切圆半径为r，
3OA+4OB+5OC=0⇒SA：SB：SC=3：4：5，
所以(12BC⋅r)：(12AC⋅r)：(12AB⋅r)=3：4：5，
即a：b：c=3：4：5，所以△ABC为直角三角形，且∠C=π2，故C对；
对于D，因为O为△ABC的垂心，且AD为BC边上的高，
所以ODAD=S△OBCS△ABC=SAS△ABC，同理OEBE=SBS△ABC,OFCF=SCS△ABC，
所以ODAD⋅OA+OEBE⋅OB+OFCF⋅OC=SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OCS△ABC=0，故D对．
故选：ACD．
运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错．
本题考查了平面向量的应用，考查了转化思想，属于中档题．
13.【答案】{x|x>0且x≠2}
【解析】解：向量a=(x,−4)，b=(1,−x)，由a//b得，x×(−x)−1×(−4)=0，所以x=±2．
由已知得，0<〈a,b〉<π2，所以cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|>0，即a⋅b>0，且a,b不共线．
则a⋅b=x×1+(−4)⋅(−x)=5x>0，所以x>0．
又a,b不共线，则x≠±2.所以x的取值范围为{x|x>0且x≠2}．
故答案为：{x|x>0且x≠2}．
根据已知可得a⋅b>0，且a,b不共线，求解即可．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：因为α+β=−π4，可得tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=tan(−π4)=−1，
所以tanα+tanβ=tanαtanβ−1，
由(1−tanα)(1−tanβ)=1−(tanα+tanβ)+tanαtanβ=2．
故答案为：2．
根据两角和的正切公式，化简得到tanα+tanβ=tanαtanβ−1，代入即可求解．
本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．
15.【答案】[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)
【解析】解：由题意：f(π6)为函数的最大值，所以f(π6)=1，
所以2×π6+φ=π2+2mπ,m∈Z⇒φ=π6+2mπ,m∈Z，
由−π2+2nπ≤2x+π6+2mπ≤π2+2nπ(m,n∈Z)⇒−π3+(n−m)π≤2x≤π6+(n−m)π(m,n∈Z)，
可记为−π3+kπ≤2x≤π6+kπ,k∈Z．
故答案为：[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．
先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间．
本题考查了三角函数单调性的计算，属于中档题．
16.【答案】①③
【解析】解：由题意，R= 32+(−3 3)2=6，T=120，所以ω=2πT=π60；
又点A(3,−3 3)代入f(x)可得−3 3=6sinφ，解得6sinφ=− 32；
又|φ|<π2，所以φ=−π3.故①正确；
因为f(t)=6sin(π60t−π3)，当t∈(0,60]时，π60t−π3∈(−π3,2π3]，所以函数f(x)先增后减，②错误；
当t=100时，π60t−π3=4π3，P的纵坐标为y=−3 3，横坐标为x=−3，所以|PA|=|−3−3|=6，③正确．
t∈(0,60]时，点P到x轴的距离的最大值为6，④错误；
所以说法正确的是①③．
故答案为：①③．
求出圆的半径R，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
本题考查了y=Asin(ω+φ)的解析式和性质的判断，求了解析式是解答本题的关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)依题意AO=λAD=λ×12(AB+AC)=12λAB+12λAC=32λAE+12λAC，
由于E，O，C三点共线，所以32λ+12λ=2λ=1,λ=12．
(2)由(1)得AO=12AD，
所以AO⋅BC=12AD⋅BC=12⋅12⋅(AB+AC)⋅(AC−AB)
=14(AC2−AB2)=14(32−52)=−4．
【解析】(1)根据三点共线的知识求得λ．
(2)根据向量数量积的运算求得AO⋅BC．
本题考查了向量数量积的计算，考查了转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)设b=(x,y)，
∵向量a=(3,4)，向量b满足|b|=10，且b⊥a，
∴x2+y2=10，且3x+4y=0，
可得x=4 105y=−3 105或x=−4 105y=3 105；
∴b=(4 105,−3 105)或(−4 105,3 105).
(Ⅱ)∵|a|= 32+42=5，
向量c满足|c|=2 3，且a与c的夹角为π6，
∴|a−2c|2=a2−4a⋅c+4c2=25−4×5×2 3× 32+4×(2 3)2=13，
(a−2c)⋅a=a2−2a⋅c=25−2×5×2 3× 32=−5，
设a−2c与a的夹角为θ，
∴csθ=(a−2c)⋅a−|a−2c|⋅|a|=−55× 13=− 1313，
即a−2c与a的夹角的余弦值为− 1313．
【解析】(Ⅰ)设b=(x,y)，根据条件列出方程求解即可，
(Ⅱ)求出对应向量的模长以及数量积，进而求解结论．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，向量夹角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：选①：
(1)已知α∈(0,π)，2sin(2024π−α)=cs(2024π+α)，
则2sin(−α)=csα，
则tanα=−12，
则3sinα+4csαcsα−sinα=3tanα+41−tanα=−32+41+12=53；
(2)β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，
则sinβ= 1−cs2β= 1010，
又α∈(0,π)，tanα=−12，
则sinαcsα=−12sin2α+cs2α=1，
则sinα= 55，csα=−2 55，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=(−2 55)×(−3 1010)− 55× 1010= 22，
又α+β∈(π2,2π)，
则α+β=7π4．
选②：
(1)已知sinα+csα=− 55，
又α∈(0,π)，sin2α+cs2α=1，
则sinα= 55，csα=−2 55，
则tanα=−12，
则3sinα+4csαcsα−sinα=3tanα+41−tanα=−32+41+12=53；
(2)β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，
则sinβ= 1−cs2β= 1010，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=(−2 55)×(−3 1010)− 55× 1010= 22，
又α+β∈(π2,2π)，
则α+β=7π4．
选③：
已知sin2α=−45，
则2sinαcsα=−45，
又α∈(0,π)，sin2α+cs2α=1，
则sinα= 55，csα=−2 55，
则tanα=−12，
则3sinα+4csαcsα−sinα=3tanα+41−tanα=−32+41+12=53；
(2)β∈(π2,π)，且csβ=−3 1010，
则sinβ= 1−cs2β= 1010，
则cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=(−2 55)×(−3 1010)− 55× 1010= 22，
又α+β∈(π2,2π)，
则α+β=7π4．
【解析】选①：
(1)由诱导公式，结合同角三角函数的关系求解；
(2)由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
选②：
(1)结合同角三角函数的关系求解；
(2)由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
选③：
(1)结合同角三角函数的关系求解；
(2)由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数及诱导公式，属中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=a⋅b= 3cs2x+sinx(2csx− 3sinx)
= 3cs2x+2sinxcsx− 3sin2x
= 3cs2x+sin2x
=2sin(2x+π3)，
解π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为：[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z；
(2)f(x−π6)=2sin2x，f(x2−π6)=2sinx，f(x2+π12)=2sin(x+π2)=2csx，
∴g(x)=4sinxcsx+2a(sinx−csx)，
设t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，∵x∈[0,π]，∴x−π4∈[−π4,3π4]，∴t∈[−1, 2]，
∴2sinxcsx=1−t2，
∴y=2−2t2+2at=−2(t−a2)2+a22+2，
①a2≤−1，即a≤−2时，t=−1时，y取最大值6，即−2(−1−a2)2+a22+2=−2a=6，解得a=−3；
②−1③a2≥ 2，即a≥2 2时，t= 2时，y取最大值6，即2−4+2 2a=6，解得a=2 2，
综上得，a的值为−3或2 2．
【解析】(1)根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出f(x)=2sin(2x+π3)，然后解π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)即可得出f(x)的减区间；
(2)根据f(x)的解析式可得出g(x)=4sinxcsx+2a(sinx−csx)，然后设t=sinx−csx= 2sin(x−π4)，根据x∈[0,π]即可求出t∈[−1, 2]，然后得出y=2−2t2+2at=−2(t−a2)2+a22+2，然后讨论a2和区间[−1, 2]的关系，根据g(x)的最大值为6即可求出a的值．
本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和与差的正弦函数，配方求二次函数最值的方法，分类讨论的思想，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：方案一：连接OC，假设∠COP=θ,θ∈(0,π3)，则AD=BC=sinθ，OB=csθ，

又tanπ3=ADOA，所以OA=ADtanπ3=sinθ 3，
∴AB=OB−OA=csθ−sinθ 3，
∴S四边形ABCD=AB⋅BC=(csθ−sinθ 3)⋅sinθ=sinθ⋅csθ−sin2θ 3=12sin2θ−1 3⋅1−cs2θ2= 33sin(2θ+π6)− 36，
∵θ∈(0,π3)，
∴θ=π6时，∴(S四边形ABCD)max= 36；
方案二：连接OC，假设∠COP=θ,θ∈(0,π3)，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，

则CM=sinθ，CN=sin(π3−θ)，∴S四边形OPCQ=S△OPC+S△OQC=12sin(θ+π3)，
∵θ∈(0,π3)，
∴θ=π6时，∴(S四边形OPCQ)max=12；
∵|S四边形ABCD−S四边形OPCQ|=| 36−12|=3− 36，而3− 36−13=1− 36<0，
即|S四边形ABCD−S四边形OPCQ|<13，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”．
【解析】方案一：连接OC，假设∠COP=θ,θ∈(0,π3)，用三角函数表示S四边形ABCD=AB⋅BC= 33sin(2θ+π6)− 36，由三角函数的性质即可求出S四边形ABCD的最大值，方案二：连接OC，假设∠COP=θ,θ∈(0,π3)，过点C作CM⊥OP，CN⊥OQ，用三角函数表示出S四边形OPCQ=S△OPC+S△OQC=12sin(θ+π3)，由三角函数的性质即可求出S四边形OPCQ的最大值，得出|S四边形ABCD−S四边形OPCQ|<13即可得出结论．
本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)sinα−csα=cs2α=cs2α−sin2α，
所以(csα−sinα)(sinα+csα+1)=0，
所以csα−sinα=0或sinα+csα=−1，
当sinα−csα=0时，csα≠0，则tanα=1，
又x∈[0,2π]，所以x=π4,5π4，
当sinα+csα=−1，则sin(α+π4)=− 22，
又x∈[0,2π],x+π4∈[π4,9π4]，
所以x+π4=5π4或7π4，所以x=π,3π2，
所以方程f(α)=cs2α在[0,2π]上的解集为{π4,π,5π4,3π2}；
证明：(2)(i)设F(x)=sinx−csx+32lnx= 2sin(x−π4)+32lnx,x∈(0,+∞)，
当x∈(0,3π4]，则x−π4∈(−π4,π2],
此时y= 2sin(x−π4)在(0,3π4]单调递增，
y=32lnx在(0,3π4]也单调递增，所以F(x)在(0,3π4]单调递增，
F(π4)=32lnπ4<0,F(π2)= 2sin(π2−π4)+32lnπ2=1+32lnπ2>0，
所以F(x)在x∈(0,3π4]时有唯一零点，
当x∈(3π4,5π4), 2sin(x−π4)>0,32lnx>0，所以F(x)>0，
所以F(x)在x∈(3π4,5π4)没有零点，
当x∈[5π4,+∞)时，5π4>54×3>e，所以32lnx>32> 2，所以F(x)>0，
所以F(x)在x∈[5π4,+∞)没有零点，
综上，F(x)=sinx−csx+32lnx在(0,+∞)有唯一零点x0；
(ii)记函数y=F(x)的零点为x0，
所以sinx0−csx0+32lnx0=0，且x0∈(π4,π2)，所以lnx0=23(csx0−sinx0)，
所以lnx0+13sin2x0=23(csx0−sinx0)+13sin2x0=23(csx0−sinx0)+23sinx0csx0，
令t=csx0−sinx0= 2cs(x0+π4)，因为x0∈(π4,π2)，所以t∈(−1,0)，
又t2=1−2sinx0csx0，则sinx0csx0=1−t22，
所以lnx0+13sin2x0=23t+23⋅1−t22=−13(t−1)2+23∈(−23,13)．
【解析】(1)利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；
(2)(i)根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；
(ii)然后利用换元法求值域即可证明．
本题考查了导数的综合应用，属于难题．