中考数学二轮复习冲刺第07讲 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（2份打包，原卷版+解析版）

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【考纲要求】
⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；
⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；
⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、平面直角坐标系
1.平面直角坐标系
平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.
2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点
点P(x,y)在第一象限；
点P(x,y)在第二象限；
点P(x,y)在第三象限；
点P(x,y)在第四象限；
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.
3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.
4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.
5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；
点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；
点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.
6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
考点二、函数
函数的概念
设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
2.自变量的取值范围
对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.
3．表示方法
⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.
4．画函数图象
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、几种基本函数（定义→图象→性质）
1.正比例函数及其图象性质
（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．
（2）正比例函数y=kx（ k≠0)的图象：
过（0，0），（1，K）两点的一条直线．

（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质
①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小 .
2.一次函数及其图象性质
（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．
（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象

（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质
一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．
当k>0时，y随x的增大而增大；
②当k<0时，y随x的增大而减小．
3.反比例函数及其图象性质
（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.
三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).
（2）反比例函数解析式的特征：
①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；
②比例系数；
③自变量的取值为一切非零实数；
④函数的取值是一切非零实数.
（3）反比例函数的图象
①图象的画法：描点法
列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；
描点（由小到大的顺序）；
连线（从左到右光滑的曲线）.
②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.
③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.
④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.
（4）反比例函数性质：

（5）反比例函数解析式的确定：
利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）
（6）“反比例关系”与“反比例函数”：
成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.
【典型例题】
题型一、坐标平面有关的计算
例1． 已知点A(a，-5)，B(8，b)，根据下列要求确定a，b的值.
(1)A，B两点关于y轴对称；
(2)A，B两点关于原点对称；
(3)AB∥x轴；
(4)A，B两点都在一、三象限的角平分线上．
【变式】已知点A的坐标为(-2，-1)．
(1)如果B为x轴上一点，且，求B点的坐标；
(2)如果C为y轴上的一点，并且C到原点的距离为3，求线段AC的长；
(3)如果D为函数y＝2x-1图象上一点，，求D点的坐标．
例2．已知某一函数图象如图所示．
(1)求自变量x的取值范围和函数y的取值范围；
(2)求当x＝0时，y的对应值；
(3)求当y＝0时，x的对应值；
(4)当x为何值时，函数值最大；
(5)当x为何值时，函数值最小；
(6)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
(7)当y随x的增大而减小时，求x的取值范围．
【变式1】下图是韩老师早晨出门散步时，离家的距离y与时间x的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是( )
【变式2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )．
题型二、一次函数
例3．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a= ，b= ；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？
【变式1】
(1)直线y＝2x+1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_____ ___.
(2)直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的解析式是___ _____；
直线y＝2x+l关于y轴对称的直线的解析式是___ ______；
直线y＝2x+1关于原点对称的直线的解析式是____ _____．
(3)如图所示，已知点C为直线y＝x上在第一象限内一点，直线y＝2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是__ ______．
【变式2】某地夏天旱情严重．该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为( )
A．23 B．24 C．25 D．26
题型三、反比例函数
例4．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．
【变式】已知正比例函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点，是反比例函数图象上的两点，且，试比较的大小．
题型四、函数综合应用
例5．如图，直线（＞0）与双曲线（＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且.
（1）试用、表示C、P两点的坐标；
（2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；
（3）若△OAB的面积等于，试求△COA与△BOD的面积之和.

【变式1】如图所示是一次函数y1＝kx+b和反比例函数的图象，观察图象写出y1＞y2时x的取值范围________．
【变式2】已知函数，m为何值时，
(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?
(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?
例6．已知直线(n是不为零的自然数)．当n＝1时，直线与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1(其中O是平面直角坐标系的原点)的面积为S1；当n＝2时，直线与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2，…，依此类推，直线与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn．
(1)求的面积S1；
(2)求S1+S2+S3+…+S6的面积．
【中考过关真题练】
一．选择题（共9小题）
1．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2022•攀枝花）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/h
C．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
3．（2022•阜新）如图，平面直角坐标系中，在直线y＝x+1和x轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（图中所示的阴影部分），其中一条直角边在x轴上，另一条直角边与x轴垂直，则第100个等腰直角三角形的面积是（ ）
A．298B．299C．2197D．2198
4．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x＜0或x≥1B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
5．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）
6．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）
7．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．2C．4D．6
9．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（ ）
A．38B．22C．﹣7D．﹣22
二．填空题（共3小题）
10．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝x交于点B1，B2，B3，B4…记△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，△OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2022＝ ．
11．（2022•遵义）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M，N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，AB＝．当AM+BN的值最小时，CM的长为 ．
12．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 ．
三．解答题（共11小题）
13．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．
14．（2022•黑龙江）为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
15．（2022•六盘水）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将直线y＝x向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若＝，求a的值．
16．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
17．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．
18．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
19．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
20．（2022•攀枝花）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．
（1）证明：＝；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）
21．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 （用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为 ；
当S＝时，m的值为 ．
22．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共9小题）
1．（2023•鼓楼区校级一模）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（3，2）C．（3，3）D．（2，3）
2．（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是V，R；常量是，πB．变量是R，π；常量是
C．变量是V，R，π；常量是D．变量是V，R3；常量是π
3．（2023•奉贤区一模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•碑林区校级模拟）如图，正比例函数y＝﹣3x与一次函数y＝kx+4的图象交于点P（a，3），则不等式kx+4＞﹣3x的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞﹣2D．x＞0
5．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣4B．4C．﹣1D．1
6．（2023•石家庄模拟）若点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y1＞y3
7．（2023•榆林一模）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•秀英区一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（5，0），sin∠COA＝，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值是（ ）
A．10B．12C．48D．50
9．（2023•鼓楼区校级一模）规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3．那么函数y＝[x]的图象为（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题）
10．（2023•奉贤区一模）一次函数y＝3x+1的图像不经过的象限是 ．
11．（2023•包头一模）如图，直线y＝﹣2x+5与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C．S△BOC＝，若将直线y＝﹣2x+5沿y轴向下平移n个单位，所得直线与双曲线y＝（k＞0，x＞0）有且只有一个交点，则n的值为 ．
12．（2023•邢台一模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线y＝（k＜0，x＜0）把Rt△AOB分成W1，W2两部分，且与AB，OA交于点C，D，点A的坐标为（﹣6，4）．
（1）连接OC，若S△OAC＝9．
①k的值为 ；
②点D的坐标为 ；
（2）若W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为3：4，则k的取值范围是 ．
13．（2023•碑林区校级一模）已知一次函数y＝﹣2x+3与反比例函数的图象有交点，则k的取值范围是 ．
三．解答题（共10小题）
14．（2023•雁塔区校级二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
15．（2023•西安一模）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
（1）B品牌10分钟后，每分钟收费 ；
（2）求出A品牌的函数关系式；
（3）求两种收费相差1.4元时，x的值．
16．（2023•小店区校级一模）已知函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，﹣2）及点B（1，6）．
（1）求此一次函数解析式，并画图象；
（2）求函数y＝2x+4图象与坐标轴围成的三角形的面积．
17．（2023•秦都区校级模拟）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
（1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？
（2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
18．（2023•雁塔区校级模拟）我市某镇组织若干辆汽车装运完A、B两种水果共100吨到外地销售．根据表中的信息，解答以下问题．
（1）设共转运A种水果x吨，获利y元，求y与x之间的函数表达式；
（2）受客观因素限制，每辆汽车只能装运同一种水果，且必须装满．如果20辆车恰好装完所有水果，请计算所获总利润为多少元？
19．（2023•深圳模拟）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
20．（2023•天涯区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作BA⊥x轴负半轴于点A，过点B作BC⊥y轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交AB于点F；
（1）当点B的坐标为（﹣4，2）时，点D恰好在线段AC的中垂线上，求k的值；
（2）在上题中，线段AC的中垂线交线段AO于E，直接写出四边形AEDF面积的数值；
（3）连接DF，判断DF与AC的位置关系并说明理由．
21．（2023•未央区校级三模）如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD＝4，AB＝5，DE＝1，F是BC边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．
[初步探究]
（1）当BF＝2时．
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是 ；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是 ；
[问题解决]
（2）如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝1，CD＝3，AF＝8，CD∥AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y＝图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是．求GN的长．
22．（2023•槐荫区模拟）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．
（1）当t＝1时，求点F的坐标．
（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？
（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
23．（2023•萧县一模）如图，反比例函数y1＝（k≠0）的图象与正比例函数y2＝x的图象相交于B（a，3），C两点．
（1）求k的值及B点的坐标；
（2）不等式≥x的解集为 ；
（3）已知AB∥x轴，以AB、BC为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
【名校自招练】
一．选择题（共7小题）
1．（2022•北碚区自主招生）小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022•巴南区自主招生）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙两辆车从A地出发，沿相同的路线匀速行驶，前往B地，甲车先出发1小时后，乙车才出发，乙车比甲车先到达B地并停留1小时，再按原路原速返回，途中与甲车相遇，甲车到达B地后停止，两车与A地的距离y（单位：km）与乙车行驶的时间x（单位：h）之间的函数关系如图，下列说法错误的是（ ）
A．乙的速度是120km/h
B．A、B两地相距640km
C．乙出发7.4小时第二次与甲相遇
D．甲从A地出发到达B地需要9小时
3．（2022•荣昌区自主招生）甲、乙两车均从A地开往相距300km的B地，如图，反映了甲、乙两车的路程y（单位：km）之间的关系，下列结论正确的是（ ）
A．甲车的速度为75km/h
B．甲乙两车同时从A地出发
C．乙车比甲车提前1小时到B地
D．甲车行驶1.5小时追上乙车
4．（2022•南岸区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，线段AB是一辆小轿车加满油后油箱剩余油量y1（L）与行驶路程x（km）的函数图象，线段CD是一辆客车加满油后油箱剩余油量y2（L）与行驶路程x（km）的函数图象．当两车油箱加满油后，下列描述错误的是（ ）
A．当用完油箱的油，小轿车比客车多行驶100km
B．小轿车和客车耗油量分别是0.1L/km和0.2L/km
C．若两车行驶的路程差为10km，两车油箱剩余油量都为18L
D．当两车行驶的路程为300km时，两车油箱剩余油量相同
5．（2022•九龙坡区自主招生）在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的行驶速度是60千米/小时
B．乙车的行驶速度是90千米/小时
C．A，B两地的路程为240千米
D．出发4.5小时，甲、乙两车同时到达B地
6．（2022•长寿区自主招生）一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．32B．34C．36D．38
7．（2022•瓯海区校级自主招生）如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By+C＝0不通过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二．多选题（共2小题）
（多选）8．（2022•工业园区校级自主招生）甲、乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务，甲比乙多加工的零件数量）（个）与加工时间x（分）之间的函数关系如图所示，点A的横坐标为12，点B的坐标为（20，0），点C的横坐标为128，则下列说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个
B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点D的横坐标是200
D．y的最大值是216
（多选）9．（2022•工业园区校级自主招生）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接OD，ED，有下列结论，其中正确的是（ ）
A．OA＝OB
B．AE⊥OD
C．S△AOD＝S△AED
D．若AC＝3CD，△AED的面积为4，则k的值为6
三．填空题（共12小题）
10．（2022•相城区校级自主招生）我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：
①f（π）＝f（）
②对于任意的实数a，f（f（a））＝0
③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正确的有 （填序号）．
11．（2022•徐汇区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为 ．
12．（2022•宁波自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B是正比例函数y＝x图象上一动点，点C是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为 ．
13．（2022•鄞州区校级自主招生）老张和小李驾驶货车从某脐橙种植园出发到果园港送货，沿同一条笔直的马路行驶．老张先出发，2小时后车速降为出发时的，此时小李出发，再过3小时后他们相遇，相遇后老张立即提速至出发时的速度，行驶途中小李停车检修2.5小时，检修结束后小李继续行驶，车速比出发时快6千米/小时，最终两车同时到达，两车相距的路程y（千米）与老张开车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，则从两车第一次相遇到小李刚开始检修时经过了 小时．
14．（2022•鄞州区校级自主招生）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE＝3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y＝的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为 ．
15．（2022•鄞州区校级自主招生）如图，一组x轴正半轴上的点B1，B2，…Bn满足条件OB1＝B1B2＝B2B3…＝Bn﹣1Bn＝2，抛物线的顶点A1，A2，…An依次是反比例函数y＝图象上的点，第一条抛物线以A1为顶点且过点O和B1；第二条抛物线以A2为顶点且经过点B1和B2；…第n条抛物线以An为顶点且经过点Bn﹣1，Bn．依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成△OA1B1、△BA2B2、…、△Bn﹣1AnBn．若三角形是一个直角三角形，则它相对应的抛物线的函数表达式为 ．
16．（2022•相城区校级自主招生）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为3，则k的值为 ．
17．（2022•渝中区校级自主招生）如图，过原点的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A在第二象限，点C在x轴负半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AD＝2DC，△ADE的面积为16，则k的值为 ．
18．（2022•海曙区自主招生）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过边EF与AB的交点G．若AG＝，DE＝2，则k的值为 ．
19．（2022•瓯海区校级自主招生）直线y＝a分别与直线y＝x和双曲线y＝交于D、A两点，过点A、D分别作x轴的垂线段，垂足为点B，C．若四边形ABCD是正方形，则a的值为 ．
20．（2022•宁波自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中等边△OAB的顶点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．反比例函数的图象交AB边于点C．若OB2﹣BC2＝12，则k的值为 ．
21．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 ，点F的坐标为 ．
四．解答题（共6小题）
22．（2022•巴南区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2（a≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（﹣1，m），且与x轴相交于点C，点B（2，﹣2）在直线AC上．
（1）求该反比例函数的解析式；并在网格中画出反比例函数图象；
（2）过点B作BD∥x轴交y轴于点D，求△ACD的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式ax+2＜的解集．
23．（2022•北碚区自主招生）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△ACD的面积．
24．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），连结AB，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD：y＝ax+b交双曲线y＝（k≠0）于D、E两点，连结CE．
（1）求双曲线y＝（k≠0）和直线BD的解析式；
（2）求△BEC的面积；
（3）请直接写出不等式ax+b＞的解集．
25．（2022•长寿区自主招生）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．
26．（2022•相城区校级自主招生）阅读材料：对于正数a、b，有（﹣）2≥0，所以a+b﹣2≥0，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）．特别地：a+≥2＝2（当且仅当a＝1时取“＝”）．
因此，当a＞0时，a+有最小值2，此时a＝1．
简单应用：
（1）函数y＝2﹣x﹣（x＞0）的最大值为 ．
（2）求函数y＝9x+（x＞1），当x＝ 时，最小值为 ．
解决问题：
（3）已知P（﹣2，3）是反比例函数y＝图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点A、B．另一直线y＝x+6与x轴、y轴分别交于点C、D，求四边形ABCD面积的最小值．
27．（2022•温江区校级自主招生）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
（1）求函数y＝x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y＝（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y＝（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？反比例函数
k的符号
k>0
k<0
图像

性质
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限.在每个象限内，y
随x 的增大而减小.
①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限.在每个象限内，y
随x 的增大而增大.
运动鞋
价格
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
A
B
进价（万元/套）
3
2.4
售价（万元/套）
3.3
2.8
水果品种
A
B
每辆汽车运载量（吨）
6
4
每吨水果获利（元）
2500
3000