陕西省西安市临潼区2024届高三第二次模拟检测数学（文科）试题（含解析）

这是一份陕西省西安市临潼区2024届高三第二次模拟检测数学（文科）试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．B．2C．D．
2．设直线与圆交于两点，则（ ）
A．B．C．4D．
3．已知全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
5．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）
A．众数B．中位数
C．方差D．极差
6．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：．
A．B．C．D．
7．“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知是等比数列，是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
9．如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（ ）

A．在处取得极大值B．是函数的极值点
C．是函数的极小值点D．函数在区间上单调递减
10．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，以它的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周围成一旋转体，则此旋转体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的数是（ ）
A．B．C．D．
12．过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知向量，，，若，则实数k的值为 ．
14．某学校举办作文比赛，共5个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为 ．
15．过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点，且，则直线AB的斜率为 ．
16．已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为 ．
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求证：是正三角形．
18．某工厂用A，B两台机器生产同一种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器生产的产品质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如表：
(1)若用A，B两台机器各生产该产品5万件，用频率估计概率，试估算此次生产的一级品的数量有多少万件？
(2)能否有90%的把握认为A机器生产的产品质量与B机器生产的产品质量有差异？
附：，其中．
19．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点．
21．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论在上的最大值；
(3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若与有公共点，求实数的取值范围．
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使成立，求实数的取值范围.
一级品
二级品
合计
A机器
70
30
100
B机器
80
20
100
合计
150
50
200
0.15
0.10
0.05
2.072
2.706
3.841
参考答案：
1．A
【分析】
利用复数乘法法则化简，再求虚部即可.
【详解】，故其虚部为.
故选：A.
2．B
【分析】先计算圆心到直线的距离，再利用勾股定理求弦长即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
∵圆心到直线的距离，
.
故选：B.
3．A
【分析】分析Venn图，图中的阴影部分为属于集合B且不属于集合A中的元素构成的集合，再根据集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，分析Venn图，可知阴影部分为，
，则，
故选：A.
4．C
【分析】A项，定义域不合题意；B项，单调性不符合；C项，先利用定义判断函数的奇偶性，由函数在上单调递减，再结合奇函数图象的对称性可得；D项，特殊取值可判断不是奇函数.
【详解】选项A，的定义域为，不符合题意，故A错误；
选项B，设，定义域为，
因为，
所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故B错误；
选项C，设，定义域为，
由，故为奇函数，
当时，，且在上单调递减，
又因为函数图象关于原点对称，所以在上单调递减，故C正确；
选项D，设，则，
由，知不是奇函数，故D错误.
故选：C.
5．D
【分析】
根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】对A：假设，，中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为，那么众数为和；
再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A错误；
对B：假设，，分别为：，满足平均数为，其中位数为；
添加以后，其中位数为，中位数发生改变，故B错误；
对C：，，的平均数为，方差；
添加2以后，其平均数还是，方差，故方差发生改变；
对D：若是，，的最大值或最小值，因为其平均数为，故这组数据都是2，其极差为，添加2后，极差也是0；
若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D正确.
故选：D.
6．C
【分析】
根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.
【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．
再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．
故选：C.
7．A
【解析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，是偶函数，充分性满足，
但时，也是偶函数，必要性不满足．
应是充分不必要条件．
故选：A．
8．C
【分析】当时，，两式相减可得，因为是等比数列，所以，令时，，由此解出，再由等比数列的通项公式求出的值.
【详解】当时，，
两式相减可得：，即，即，
因为是等比数列，所以，
又令时，，所以，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
9．C
【分析】
根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，
故是函数的极小值点，无极大值.
故选：C
10．C
【分析】
根据题设旋转体描述确定其外接球半径长度，再由球体面积公式求表面积即可.
【详解】由题设，所得旋转体为两个圆锥体的组合，它们以三角形斜边上高为底面半径，斜边长为两圆锥高之和，

该旋转体外接球半径为三角形斜边的一半，为，故表面积为.
故选：C
11．D
【分析】
根据题意，利用圆上一点到原点的距离的取值计算出公差的范围，进而判断即可求解.
【详解】
函数等价为，
表示为圆心在半径为1的上半圆，
半圆上点到原点的最短距离为1，最大距离为3，
若存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，
则最大的公差应有，即，
最小的公差应满足，即，
所以公差的取值范围为，
所以不可能成为该等差数列的公差．
故选：D.
12．C
【分析】
取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.
【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，

因为切圆于，则，有，
因为，则有，，
而为的中点，于是，即，，
在中，，整理得，
所以双曲线E的离心率.
故选：C
13．/0.5
【分析】
根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得.
【详解】由向量，，得，而，且，
则，所以.
故答案为：
14．/
【分析】
应用古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意，甲乙每人抽到的主题都有5种，
故甲乙抽到主题的所有情况有种，
甲乙抽到相同主题的情况有5种，
所以甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】
根据给定条件，求出焦点及点的坐标，再利用斜率坐标公式计算即得.
【详解】抛物线C：的焦点，而，
由，得点在线段的中垂线上，
设，则，解得，
所以直线的斜率.
故答案为：
16．（答案不唯一）.
【分析】
根据可得，根据在区间上没有零点可得范围，即可求出的取值有几个.
【详解】
由题意，在中，，
∴ ,所以，
两式相减得，
所以，即，，
因为，所以 ，
令， ，
由题意知在上无零点，
故，，
所以，即，
两式相加得，所以，
又，
所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
所以的取值有5个，取其中一个填写即可.
故答案为：（答案不唯一）.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用其在上五零点，从而得到，解出，再根据题目所给条件代入得到，赋值即可.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式可求出结果；
（2）由面积公式列式求出，再由余弦定理求出,，联立即可解出，即可证明.
【详解】（1）根据正弦定理得，
因为，则，
由，得，
因为，则，所以，所以.
（2）因为，所以，
由，得，得.
又因为，联立解得，
所以.
故是正三角形.
18．(1)
(2)没有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异.
【分析】（1）根据频率的概念结合条件即得；
（2）由题可得，然后根据临界值结合条件即得.
【详解】（1）根据题表中数据知，
机器生产的产品中一级品的频率是，
机器生产的产品中一级品的频率是；
用频率估计概率，估算此次生产的一级品的数量有万件.
答：估算此次生产的一级品的数量有万件。
（2）根据题表中数据可得，
因为，
所以没有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明.
【详解】（1）
∵直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
∴，，
，，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
故平面.
（2）因为直三棱柱，则平面平面，
因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离，
又因为底面，则点到底面的距离即为长，
又因为N，P分别为AC，BC的中点，且，
则.
20．(1)
(2)证明见详解.
【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数.
【详解】（1）
如图1，由已知可得，，
所以.
又，所以，.
所以，椭圆的标准方程为.
（2）设，，.
则由已知可得，方程为：，方程为：.
将代入、方程整理可得，
，.
显然、点坐标都满足方程.
即直线的方程为，
令，可得，即点坐标为.
所以，为定点.
21．(1)；
(2)答案见解析；
(3)存在，可取值构成的集合为，理由见解析.
【分析】
（1）求得，，再根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）先讨论的单调性，找到极值点，再根据，，的大小关系，求函数最值即可；
（3）根据（2）中所求函数单调性和最值，结合题意可知，只需，构造函数，结合其单调性和最值，即可求得的取值.
【详解】（1）当时，，，又，，
故曲线在处的切线方程为，也即.
（2），，显然在上为单调减函数；
令，即，解得，
故当，，单调递增；
当，，单调递减；
若，即时，在上单调递增，又，
故当时，在上的最大值为；
若，即时，在上单调递减，又，
故当时，在上的最大值为；
若，即时，在单调递增，在上单调递减，
又，
故当时，在上的最大值为；
综上所述，当时，在上的最大值为.
当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为.
（3）由（2）可知，在单调递增，在单调递减，且，
故在上的最大值为；
若存在实数，对任意，都有，则，显然；
又当时，，也即，；
令，则，
则当，，单调递增，
当，，单调递减，
故的最大值为，则，当且仅当时取得等号；
故若存在实数，满足题意，则只有当时，满足；
也即当时，对任意，都有.
综上所述，a可取的值组成的集合为.
【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是，利用导数研究的单调性，再求其在区间上的最大值；处理第三问的关键是，根据第二问中函数的单调性和最值，找出需要满足的条件为，再利用导数探讨的可取值.
22．(1)
(2)
【分析】
（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；
（2）联立方程，利用判别式大于或等于零求解.
【详解】（1）
曲线的极坐标方程可化为，
又因为，，
代入极坐标方程得；
（2）
将直线的参数方程代入，
得关于参数的方程，若与有公共点，
判别式，
即，解得．
23．（1）；（2）.
【分析】（1）按照，，进行讨论，得到每段上的解析，再得到答案；（2）由题意可将所求问题转化为，再求出的最小值为，从而得到关于的绝对值不等式，解出的范围，得到答案.
【详解】（1）当时，
当时，，∴；
当时，成立，∴；
当时，，∴．
综上，解集为．
（2）由题意，，
因为，当且仅当与异号时等号成立，
所以，∴．
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，属于简单题.