陕西省西安市第八十九中学2024届高三下学期三模文科数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市第八十九中学2024届高三下学期三模文科数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知（，是虚数单位），若，则（ ）
A．2B．1C．D．
3．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
正（主）视图 侧（左）视图 俯视图
A．B．C．D．2
5．已知是等比数列的公比，首项，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知函数，则（ ）
A．8B．12C．16D．24
7．已知平面向量，的夹角为，若，，则（ ）
A．2B．C．或2D．2或
8．我国古代数学著述《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？二马相遇问题的程序框图如图所示，那么执行相应的程序后输出的结果为（ ）
A．8B．9C．12D．16
9．定义，，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
12．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（ ）
A．7B．6C．D．
二、填空题
13．某校是排球传统项目学校，该校某班参加学校排球赛的7名主力阵容（含自由人1名）身高（cm）的茎叶图如图所示；根据比赛现场介绍该队主力平均身高为179cm，则图中的为 ．
14．甲先生接到某快递公司快递员乙的电话通知，约定于下午2点~3点之间到某小区便利店门口签收货物．由于甲先生从写字楼出来的时间不确定，快递员乙也在边送其他快递边往约定地点赶，两人约定到达后需要等待对方20分钟，假设两人都在下午2点~3点之间的任意时刻到达约定地点，不考虑其他因素的影响，则甲先生能签收到货物的概率是 ．
15．如图，已知球的半径为，在球的表面上，，连接球心与，沿半径旋转使得点旋转到球面上的点处，若此时，且球心到所在截面圆的距离为，则球的表面积为 ．
16．某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：
①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌 ②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多
③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌 ④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题
17．已知，垂直，其中，，为的内角．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
18．2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：
(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成列联表，据此调查你是否有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？
(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．
附：参考公式及附表
19．如图，已知是圆的直径，平面，是的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求证：平面平面．
20．已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围．
21．已知函数，函数在区间上为增函数．
(1)确定的值，求时曲线在点处的切线方程；
(2)设函数在上是单调函数，求实数的取值范围．
22．已知曲线（为参数），以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
(1)判断和分别是哪种曲线，并求出和的交点的直角坐标；
(2)在上任取一点，在上任取一点，试求取最大值时的面积．
23．已知函数（其中）．
(1)在给定的平面直角坐标系中画出时函数的图象；
(2)求函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时的值．
参与调查问卷次数
参与调查问卷人数
8
14
8
14
10
6
男
女
合计
关注流行语
8
不关注流行语
合计
40
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】解指数、对数不等式分别化简集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】由，得，即，
由，得，解得，则，
所以.
故选：C
2．C
【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.
【详解】由题意知，，
所以，解得.
故选：C.
3．A
【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性、单调性比较大小即得.
【详解】函数的定义域为，，
函数是偶函数，当时，是增函数，而，
所以，即.
故选：A
4．D
【分析】根据给定的三视图，还原几何体，再利用锥体的体积公式计算即可.
【详解】依题意，三视图所对应的几何体，如图中四棱锥，其中平面，
底面是直角梯形，，
梯形的面积，
所以该四棱锥的体积为.
故选：D
5．C
【解析】根据，，由题意可得；再利用充要条件的定义即可求解.
【详解】在等比数列中，，
若数列是递增数列，则；
反之，若，则，
数列是递增数列，所以“”是“数列是递增数列”的充要条件，
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的性质及充要条件的判定，需掌握等比数列的性质.
6．D
【分析】根据给定条件，判断并代入计算函数值即得.
【详解】由，得，
所以.
故选：D
7．A
【分析】将平方后，结合平面向量数量积公式计算即可.
【详解】因为，，
所以，解得（舍负）.
故选：A.
8．B
【分析】根据给定的程序框图，依次计算即可判断得解.
【详解】由程序框图知：输入，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行否，，
，执行是，输出，
所以执行相应的程序后输出的结果为9.
故选：B
9．D
【分析】按给定定义把元素排成三角形数阵，再探求规律求解即得.
【详解】依题意，把排列成如下数阵：
第n行有n个数对，各个数对的两数和为，每个数对的第一个数从左起依次为1，2，3，…，n，
则前n行共有个数对，显然数列单调递增，而，
所以是第64行第一个数对，即.
故选：D
10．A
【分析】作出不等式组表示的平面区域，结合的几何意义是可行域中的点到定点距离的平方，从而结合图象即可求得结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
表示可行域中的点到定点距离的平方，
，即，
由图可知，点与可行域中的点的距离的最小值是点到直线的距离，则，
点与可行域中的点的距离的最大值是点到点的距离，则，
所以，即的取值范围为.
故选：A.
11．C
【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值.
【详解】设椭圆上的点，而，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
12．B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，根据对称性求和.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：
则函数的图象关于直线对称，
求函数的零点，等价于解，
由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则或，，
根据函数的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线对称，
所以这6个零点之和为，
故选：B.
13．6
【分析】根据给定的茎叶图，结合平均数的定义列式计算即得.
【详解】依题意，，解得，
所以图中的为6.
故答案为：6
14．
【分析】根据给定条件，设出两人到达约定地点的时刻，列出不等式组并画出平面区域，利用几何概率求解即得.
【详解】设甲、乙到达约定地点的时刻分别为2点后第分钟，
则试验的样本空间，
甲先生能签收到货物的事件，
在同一坐标系内作出样本空间表示的平面区域及事件表示的平面区域（图中阴影区域），如图，
正方形的面积，阴影区域的面积，
所以甲先生能签收到货物的概率.
故答案为：
15．/
【分析】根据给定条件，求出截面小圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径即得.
【详解】依题意，在中，，，则，
因此的外接圆半径，
由球心到所在截面圆的距离为，得，则，
所以球的表面积为.
故答案为：
16．②
【分析】取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌，取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌，即可得出结论.
【详解】由题意，取双红乙盒中得红牌，取双黑丙盒中得黑牌， 取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到黑牌， 故答案为②．
【点睛】本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
17．(1)；
(2)4.
【分析】（1）根据给定条件，利用垂直关系的坐标表示，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解即得.
（2）由（1）的信息，结合基本不等式，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）由，垂直，得，
即，
整理得，
在中，由正弦定理得，由余弦定理得，
所以的大小为.
（2）由（1）知，在中，，则，
由，得，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以的面积的最大值是4.
18．(1)列联表见解析，有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；
(2)
【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对得解.
（2）求出抽取的6人中男女人数，再利用列举法求出古典概率即得.
【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为，不关注流行语居民人数为，
所以列联表如下：
的观测值，
所以有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”.
（2）依题意，男居民选出（人），记为，女居民选出2人，记为，
从6人中任选3人的样本空间
，共20个，
选出的3人为2男1女的事件，共12个，
所以选出的3人为2男1女的概率.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由面面平行判断定理可证得平面平面，结合面面平行性质可证得平面.
（2）由直径所对的圆周角为直角可证得，由线面垂直性质可证得，结合线面垂直判断定理可证得平面，由线面垂直性质及面面垂直判定定理可证得平面平面.
【详解】（1）在中，由题可知，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，、平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
（2）因为是圆的直径，
所以，
因为平面，
所以，
又因为，、平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，进而可求出，，由此能求出椭圆的方程；
（2）先研究直线的斜率不存在时，点在椭圆内，再研究直线的斜率存在时，以为直径的圆的圆心为，联立直线方程与椭圆方程，结合根的判别式、韦达定理、弦长公式及，由此能求出的取值范围.
【详解】（1）如图所示，
由题意知，，即，
故以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，且边长为，
所以，解得，
所以，
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
如图所示，
此时为椭圆的上下顶点，且，
因为点总在以线段为直径的圆内，且，
所以.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
如图所示，
由方程组得，
因为直线与椭圆有两个公共点，即，得；
设，则，.
设的中点，则，，
所以.所以，
，
因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立，
所以，
化简，得，整理得，
而（当且仅当时等号成立）所以，
由，得，
综上，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21．(1)，；
(2)或./
【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调性列出不等式求出；求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由（1）求出函数的解析式，利用导数结合单调性求出的范围.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由函数在上为增函数，得，由，得，
因此对恒成立，而恒成立，则，
因此，所以；
当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，函数，
求导得，由函数在上是单调函数，
得，或恒成立，
即或对恒成立，而当时，恒有，
且，当且仅当时取等号，因此或，
所以实数的取值范围或.
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
①若函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立；
②若函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立；
③若函数在区间上不单调，则在区间上存在极值点；
④若函数在区间上存在单调递增区间，则，使得成立；
⑤若函数在区间上存在单调递减区间，则，使得成立.
22．(1)见解析，交点为；
(2).
【分析】（1）消去参数求出的普通方程，化极坐标方程为直角坐标方程，由方程特征确定曲线，现联立方程求出交点坐标.
（2）求出长的最大值，原点到直线的距离，再求出面积即可.
【详解】（1）曲线，消去参数得的普通方程：，
因此曲线是以点为圆心，2为半径的圆；
曲线的极坐标方程是，即，
把代入得的直角坐标方程：，即，
因此曲线是以为圆心，2为半径的圆，
由，解得或，所以和的交点坐标为.
（2）由（1）知，，直线的方程为，
，当且仅当共线时取等号，
而原点到直线的距离，
所以的面积为.
23．(1)作图见解析；
(2)最大值为，.
【分析】（1）把代入，再画出函数图象即可.
（2）作出函数与直线围成多边形，并求出面积表达式，再求出最大值即得.
【详解】（1）当时，，
在坐标平面内作出函数的图象，如图：
（2）依题意，，其图象如图：
令，得函数的图象与直线的两个交点，
直线与直线交于点，
显然，即点，
函数的图象与直线围成多边形为四边形，其面积为：
，
显然函数在上单调递增，当时，，
所以函数的图象与直线围成多边形的面积的最大值为，此时.
男
女
合计
关注流行语
30
8
38
不关注流行语
10
12
22
合计
40
20
60