广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题（含解析）

这是一份广东省韶关市2024届高三综合测试（二）数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．或 B．或
C．或D．或
2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（ ）
A．极差不变B．平均数不变C．方差不变D．上四分位数不变
4．过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（ ）
A．B．C．2D．
5．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
6．在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．定义，对于任意实数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若是非零复数，且，则D．若是非零复数，则
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在上有6个零点
C．的是小值为D．在上单调递减
11．已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．
C．的周期为4D．
三、填空题
12．二项式的展开式中，项的系数是常数项的倍，则 ．
13．已知平面向量均为单位向量，且，则向量与的夹角为 ，的最小值为 ．
14．在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为 ．
四、解答题
15．已知函数在点处的切线平行于轴．
(1)求实数；
(2)求的单调区间和极值．
16．小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．
(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；
(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．
17．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动．
(1)证明：；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
18．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列并求；
(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．
参考答案：
1．B
【分析】
先利用题给条件求得集合和集合B，进而求得.
【详解】，则或，
又，
则或或.
故选：B
2．C
【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.
【详解】对于选项A：若，，则与平行或相交，故选项A不正确；
对于选项B：若，，则与 可平行、异面、或相交；故选项B不正确；
对于选项C：若，，则,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故选项C正确；
对于选项D：若，，则与平行或相交，故选项D不正确；
故选：C
【点睛】本题主要考查了线线平行、面面平行的判断，属于中档题.
3．D
【分析】
根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对选项一一判断.
【详解】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，
显然极差由变成了，故A项错误；
原平均数为，
现平均数为， 故B项错误；
原方差为，
现方差为，
显然方差不同，故C项错误；
对于D项，由，知原数据的上四分位数是第三个数据22，
又由，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D项正确.
故选：D.
4．D
【分析】
如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA，进而求出点A，利用反射光线的性质求出直线BA，结合点到直线的距离公式计算即可求解.
【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，
直线，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直线，即，
则点到直线直线的距离为，
即.
故选：D
5．C
【分析】
设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米，
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以平整这块场地所需的最少费用为元.
故选：C
6．A
【分析】
求出，为钝角，故，确定，求出，由正弦定理求出答案.
【详解】因为，
又，故为锐角，为钝角，故，
因为在上单调递增，，故，所以，
又，，解得，同理可得，
由正弦定理得，即，解得.
故选：A
7．C
【分析】
利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】设双曲线右焦点为，连接.
又中，，则,
由直线可得，则，
又由双曲线可得，
则，则有，即
又，则有，
整理得，解之得
则双曲线的渐近线方程为.

故选：C
8．A
【分析】
设，则，构造函数，利用导数求出函数的最小值进而得，化简即可求解.
【详解】设，则，
得，
设，则，
令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
得，
所以，
得，即.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由构造函数，利用导数求得即为题意所求.
9．BC
【分析】
对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设，则，代入等式两边验证即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例对结论进行否定.
【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；
对于B项，设，则，，故而，故B项正确；
对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；
对于D项，当时，是非零复数，但 ，故D项错误.
故选：BC.
10．ABC
【分析】
求得的奇偶性判断选项A；求得在上的零点个数判断选项B；求得的最小值判断选项C；举特例否定选项D.
【详解】
选项A：函数定义域为R，
由，
可得是偶函数.判断正确；
选项B：当时，，
由，可得，或，
则当时，或或，
又是偶函数，则当时，或或，
则在上有6个零点. 判断正确；
选项C：当时，，
则当时取得最小值，
又是偶函数，则的最小值为.判断正确；
选项D：，
则，则 在上不单调递减.判断错误.
故选：ABC
11．ACD
【分析】
由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由，得①，
②，得③，
由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；
由，得，令，得；
由，得，
令，得，
∴④，
又⑤，令，得，故B错误；
④⑤两式相加，得，得，
所以，即函数的周期为4，故C正确；
由，令，得，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.
12．5
【分析】
利用题给条件列出关于n的方程，解之即可求得n的值.
【详解】二项式的展开式通项为，
则项的系数是，常数项是，
由题意得，即，
整理得，解之得或（舍）
故答案为：5
13． / /
【分析】
由可得，根据平面向量数量积的定义即可求出与的夹角；根据数量积的运算律可得，结合的取值范围即可求解.
【详解】由题意知，，
由，得，
所以，又，
所以，即与的夹角为；
，
又，所以，
当且仅当与同向时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：；
14．或或或
【分析】过作面于，过作，根据题设可得，，分为三角形的内心或旁心讨论，设，利用几何关系得到，再根据条件得到在以为焦点的椭圆上，再利用是直角三角形，即可求出结果.
【详解】如图，过作面于，过作，
因为面，面，所以，又，面，
所以面，又面，所以，故为二面角的平面角，
由题知，，同理可得，
当在三角形内部时，由，即为三角形的内心，
设，则，得到，所以，
三棱锥的体积为；

又因为，所以点在以为焦点的椭圆上，
如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
由题知，椭圆中的，所以椭圆的标准方程为，
设，因为是直角三角形，
当时，易知，此时，所以，得到，
当时，易知，此时，所以，得到，
又因为，故以为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，即，
综上所述，；
同理，当在三角形外部时，由，即为三角形的旁心，
设，则，得到，
所以，三棱锥的体积为；
或，得到，
所以，三棱锥的体积为；
或，得到，
所以，三棱锥的体积为.

故答案为：或或或.
【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出后，得出，再将问题转化到以为焦点的椭圆上来求的面积，即可解决问题.
15．(1)1
(2)答案见解析
【分析】
（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数；
（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.
【详解】（1）由可得：，
由题意，，解得；
（2）由（1）得，，则，
当时，，则在上是减函数；
当时，，在上是增函数.
故时，函数有极小值为，无极大值.
故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.
16．(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，分析可知，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求即可.
（2）根据题意判断，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.
【详解】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；
射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以，
，所以.
（2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，；
记“获得三等奖”为事件，所以，
所以，，
，，
，所以
显然，.
17．(1)证明见解析.
(2).
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，由得到；
（2）先由，得到点是线段的中点，求出的一个方向向量和平面的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）
连接并延长，交于，交圆柱侧面于，
，为圆柱的高，
两两垂直，以为原点，过点做平行线为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
，，
在中，由射影定理得 ，
，
从而，
，
设，，
，
.
（2）由（1）可得，，
，得，即点是线段的中点，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设的一个方向向量为，于是得：
，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；
（2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；
（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.
【详解】（1）因为，则，从而有，
由，则，
则，解得则有，所以；
（2）由，则，
所以，
故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（3）由等比数列的前n项和公式得：，
因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，
所以对任意的恒成立，令，，
则，当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
又，且，，，则，
当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；
当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；
综上可知，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；
（2）①易知当时；当时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线、方程，联立方程组，化简计算求出点T的坐标，即可求解点T的轨迹方程；②利用面积公式建立关于的方程，化简计算即可求解.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①：由（1）知，，设，则，
易知当时，，，此时，
由，解得，即；
当时，，，设直线的斜率为，
则，
所以直线方程为，又直线方程为，
由，得，即，
解得，
将代入直线方程，得，即，
又，所以，
故点的轨迹方程为；
②：由，得，
又，所以，得，
整理得，又，所以，
整理得，即，
由，解得.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找点与直线的斜率之间的关系，即是求出直线方程的解题关键，表示出的代数式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.