陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷（含解析）

这是一份陕西省西安市长安区2024届高三下学期第一次模拟考试文科数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．等于（ ）
A．B．C．D．1
5．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上B．一个离心率为2的双曲线上
C．一个离心率为的椭圆上D．一个离心率为的双曲线上
7．一个四面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积与体积之和为（ ）

A．B．C．D．
8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．60B．61C．75D．76
9．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A．B．C．D．
11．已知定义在上的可导函数，满足，且.若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，关于有下面说法：①函数的最小正周期为.②函数在单调递减.③函数的图像关于点对称.④函数的最小值是.则正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．若满足约束条件，则目标函数的最小值为 .
14．已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 .
15．某网店统计了商品最近40天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且，则商品这40天的总销量为 .
16．若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
三、解答题
17．我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
(1)求x和y的值．
(2)分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．
参考公式：，
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
19．如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，圆的半径为1，，点是线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离.
20．已知椭圆的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)为直线上一动点，记椭圆的上下顶点为，直线分别交椭圆于点，当与的面积之比为时，求直线的斜率.
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)曲线与交于两点，求直线的直角坐标方程及.
23．已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
非一线
一线
总计
愿生
40
y
60
不愿生
x
22
40
总计
58
42
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．C
【分析】分别求出，，然后求出，从而可求解，
【详解】由题意得，解得或，所以，
由的值域为，所以，即，
所以，故C正确.
故选：C.
2．A
【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可
【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，
第一个数为253，第二个数是313，
第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，
下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，
第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.
故选：A.
3．A
【分析】
根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.
【详解】
因为圆内切于圆，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．C
【分析】
利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】
.
故选：C
5．A
【分析】
依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可.
【详解】因为，所以，即，
又，所以，
因为点是线段上一点，即、、三点共线，
所以，解得.
故选：A
6．B
【分析】
首先求出圆的圆心坐标，依题意可得直线过圆的圆心，从而得到，即可得到点所满足的曲线方程，再求出离心率.
【详解】圆的圆心为，
依题意可知直线过圆的圆心，则，
所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．
故选：D.
7．A
【分析】由三视图画出直观图，然后求出外接球半径1，从而可求解.
【详解】由题意得四面体的直观图如图所示，侧面底面，
且，，
故四面体的外接球球心即为的中点，
所以外接球的半径为1，外接球的体积为，
外接球的表面积为，
所以，故A正确.
故选：A.

8．B
【分析】先由“两个等差数列的公共项构成的新的等差数列的公差为两个等差数列公差的最小公倍数”得，再由基本不等式求得的最小值.
【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，
所以，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当时取最小值为．
故选：B.
9．D
【分析】
先由的外接圆与抛物线C的准线相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再由题意，列出方程求解得p的值，然后利用正弦定理可求得结果
【详解】因为的外接圆与抛物线C的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为，所以圆的半径为，
又因为圆心在OF的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为，
则圆心到准线的距离为，解得，
在中，由正弦定理得，其中R是外接圆半径，
即，所以,
故选：D

10．B
【分析】先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解.
【详解】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：

连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正确.
故选：B.
11．C
【分析】由，可得函数在上是减函数，由，可得函数为奇函数，再根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以，
所以函数在上是减函数，
又因为，所以，
所以函数为奇函数，
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，
所以满足的的取值范围是.
故选：C.
12．C
【分析】根据函数周期性定义推理易得①项错误；通过对函数求导，判断导函数在的符号易判断②项；通过函数奇偶性定义易判断③项；对于④项，由函数的最小正周期，在一个周期上讨论导函数的符号，确定函数在不同区间上的单调性，得到一个周期上的最值，从而得解.
【详解】对于①项，由题意，由的最小正周期为，的最小正周期为，
且，故是函数的最小正周期，故①项正确；
对于②项，由
可得：，
当时，，故此时，
即函数单调递增，故②项错误；
对于③项，因函数定义域为，且
，
所以故函数关于点对称，故③项正确；
对于④项，由①知函数的最小正周期为，
故只需考虑时函数的性质.
由可得：或.
因，则，
故当时，，则，在单调递增；
当时，，则，在单调递减；
当时，，则，在单调递增；
而，，
即时，，故当时，有，故④项正确.
综上所述：①③④正确，②错误，故C正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
13．
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可求目标函数的最小值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示，初始直线为：，
将初始直线平移至，取最小值，
由可得，故，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】
根据复数代数形式的除法运算化简复数，依题意可得，即，再计算，由二次函数的性质求出最小值.
【详解】因为
，
又复数是实数，所以，即，
所以，
所以当，时.
故答案为：
15．
【分析】
根据题设中的递推关系可得且，据此可求商品这40天的总销量.
【详解】当时，，
当时，，
故且，故，
故前天的总销量为：
.
故答案为：.
16．
【分析】
函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可.
【详解】不等式移项可得，
设，则，
设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，使得，①
所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，代入①可得，
所以，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；
（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性.
17．(1)
(2)有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
(3)
【分析】
（1）根据列联表中数据分析得到答案；
（2）计算出卡方，与比较后得到结论；
（3）利用列举法求出古典概型的概率.
【详解】（1）由题意得，；
（2）由，得，
∴有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2，
来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d，
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为：，
，
事件共有9个，
或
18．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）
解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）
解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：

为中点，则，又，得，
由，，得，
所以四边形为平行四边形，，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为，，，所以.
因为平面，且直线与圆柱底面所成角为，
所以，则有.
如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则有，，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，有，得，
，
设点到平面的距离为，
.
故点到平面的距离.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由椭圆的性质和点在椭圆上再结合已知条件列方程组求出即可；
设出，由直线方程和曲线方程联立，分别（2）解出点坐标，再由三角形面积公式和弦长公式以及面积比得到值，最后由斜率公式得到直线的斜率.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
因为，
设，
则直线的方程的方程为，
联立，消去可得，
，
解得，代入直线方程可得，故，
直线的方程为，由，消去可得，，
解得，故，
设与的面积分别为，则，
因为，且三点共线，三点共线，结合距离公式化简可得
，
由，化简解得，
当时，，的斜率为，
当时，，的斜率为，
综上，直线的斜率.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的面积问题时，可用三角形面积公式表达出面积，再用弦长公式表示出弦长，最后由面积比求出相应的参数值.
21．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，设，在定义域内分类讨论解含参不等式即可求出；
（2）结合（1）将问题转为证明，根据韦达定理转化为考虑的单调性，证出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，则函数的导数，
设，注意到，
①当时，恒成立，即恒成立，此时函数在上是减函数；
②当时，判别式，
（i）当时，，即，即恒成立，此时函数在上是减函数；
（ii）当时，令，得：，
令，得：或；
所以当时，在区间单调递增，在，单调递减；
综上所述，当时，在上是减函数，
当时，在，上是减函数，
在区间上是增函数.
（2）由（1）知，，，
则
，
则，则问题转为证明即可，
即证明，则，
即，即证在上恒成立，
设，，其中，
求导得，
则在上单调递减，
所以，即，
故，则成立.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为
(2)直线，
【分析】（1）根据曲线的参数方程求出曲线的普通方程，根据曲线的极坐标方程求出曲线的直角坐标方程；
（2）曲线的方程减去曲线方程得直线方程，求出直线的极坐标方程，据此即可求解.
【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，因为曲线的极坐标方程为，
所以，
所以，
所以曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；
（2）由题设，曲线的方程与曲线方程作差，
得公共弦所在直线方程为，所以直线的方程为，
设曲线圆心到直线的距离为，
所以，所以.
23．(1)
(2).
【分析】（1）将函数去绝对值，转为分段函数，即可求解.
（2）不等式，即转化为，利用绝对值三角不等式化简，求得函数的最小值即可求解.
【详解】（1）解：当时，，
当时，由，解得，当时，由，解得.
故的解集为.
（2）解：当时，恒成立，故，又，即，故，
所以的取值范围为.