2022-2023学年广东省河源市源城区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省河源市源城区七年级（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算3x2y⋅(−43x4y)的结果是( )
A. −4x6y2B. −4x6yC. x6y2D. x8y
2.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (3a+b)(a−b)B. (−3a−b)(−3a+b)
C. (3a+b)(−3a−b)D. (−3a+b)(3a−b)
3.如图所示，∠1和∠2是( )
A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 邻补角
4.如图，在灌溉时，要把河水引到农田P处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点P作PQ⊥AB于Q，垂线段PQ即为渠道的位置，其中的数学依据是( )
A. 两点之间，线段最短B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 垂线段最短D. 两条直线相交有且只有一个交点
5.如图，直线a/​/b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C，如果∠1=52°，那么∠2的度数为( )
A. 52°B. 48°C. 38°D. 32°
6.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=22°，则∠BOC的大小为( )
A. 152°B. 168°C. 148°D. 158°
7.今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为( )
A. y=−4x+10000B. y=−3x+8000
C. y=−2x+4000D. y=−4x+5000
8.对于球体的体积公式V=43πR3，下列说法中正确的是( )
A. π是变量B. R3是常量
C. V，π，R都是变量D. V，R是变量
9.(x−2)(x+9)的计算结果为( )
A. x2−11x+11B. x2+11x+18C. x2+7x+18D. x2+7x−18
10.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠1=40°，则∠ABC的大小为( )
A. 20°
B. 40°
C. 70°
D. 80°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.冠状病毒粒子呈不规则形状，直径约60～220纳米．220纳米等于0.00000022米，把0.00000022用科学记数法表示为______．
12.如图，小明从A处出发沿北编东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，则∠ABC的度数是______．
13.若x2+axy+9y2是完全平方式，则a=______．
14.一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式是______．
15.利用平方差公式计算12−223+32−427+52−6211+…+20192−202024039的结果为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
化简：
(1)(x+3)2−(x−1)(x−2)；
(2)(−2x2y)⋅(−3xy)2÷3xy2．
17.(本小题8分)
如图，EF交AD于O，AB交AD于A，CD交AD于D，∠1=∠2，∠3=∠4，试判AB和CD的位置关系，并说明为什么．
18.(本小题8分)
如图(1)利用尺规作∠CED，使得∠CED=∠A.(不写作法，保留作图痕迹)．
(2)判断直线DE与AB的位置关系：______．
19.(本小题9分)
先化简，再求值：(2a−1)2+2a(3−2a)，其中a= 3−1．
20.(本小题9分)
某种型号汽车油箱容量为63升，每行驶100千米耗油8升．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x千米．
(1)写出汽车耗油量y(升)与x之间的关系式；
(2)写出油箱内剩余油量Q(升)与x之间的关系式；
(3)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议汽车油箱内剩余油量为油箱容量的17时必须加油．按此建议，问该辆汽车最多行驶多少千米必须加油？
21.(本小题9分)
已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，∠1=∠2.求证：CD/​/EF．
22.(本小题12分)
如图，已知△ABC的面积为5，点M在AB边上移动(点M与点A、B不重合)，MN/​/BC，MN交AC于点N，连接BN.设AMAB=x，S△MBN=y．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)点E、F分别是边AB，AC的中点，设△MBN与△EBF的公共部分的面积为S，试用含x的代数式表示S．
23.(本小题12分)
规定a，b两数之间的一种运算，记作(a,b)，如果ac=b，那么(a,b)=c.例如：∵23=8，∴(2,8)=3．
(1)根据上述规定，填空：(3,27)= ______，(5,1)= ______，(2,14)= ______．
(2)小明在研究这种运算时，发现(3n,4n)=(3,4)，他给出了以下理由：
设(3n,4n)=x，则(3n)x=4n，即(3x)n=4n，
∴3x=4，即((3,4)=x，
∴(3n,4n)=(3,4)．
请你尝试运用这种方法判断(3,4)+(3,5)=(3,20)是否成立，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查单项式乘单项式，属于基础题．
根据单项式乘单项式的运算法则，即可求出答案．
【解答】
解：原式=−4x6y2，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：A、中不存在互为相反数的项，
B、−3a是相同的项，互为相反项是b与−b，符合平方差公式的要求；
C、D中不存在相同的项；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选：B．
运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由图可知，
∠1和∠2是同旁内角，
故选：C．
根据同旁内角的定义和图形，可以判断∠1和∠2的关系，本题得以解决．
本题考查同位角、内错角、同旁内角，解答本题的关键是明确同位角、内错角、同旁内角的定义．
4.【答案】C
【解析】解：∵PQ⊥AB，
∴PQ为农田P到河的最短距离，其中的数学道理是垂线段最短．
故选：C．
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段的性质得出即可．
本题考查了垂线段最短，它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”这两个中去选择．
5.【答案】C
【解析】解：如图：
∵直线a/​/b，
∴∠1+∠BAD=180°，
∵AC⊥AB于点A，∠1=52°，
∴∠2=180°−90°−52°=38°，
故选：C．
先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大．
6.【答案】D
【解析】解：由图可得，∠COD=90°，∠AOB=90°．
因为∠AOD=22°，
所以∠AOC=∠COD−∠AOD=90°−22=68°．
所以∠BOC=∠AOC+∠AOB=68°+90°=158°．
故选：D．
根据角的和差关系解决此题．
本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为(2000−x)辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y=x+5(2000−x)，
整理得：y=−4x+10000，
故选：A．
已知两轮电动车停车辆数为x辆次，则小汽车停车辆数为(2000−x)辆次，结合已知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
本题考查用关系式表示变量之间的关系，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：在球体的体积公式V=43πR3中，V是因变量，R是自变量，43，π是常量．
故选：D．
根据V=43πR3中，V随着R的变化而变化解答即可．
本题侧重考查变量与常量的题目，掌握二者的概念是解决此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：(x−2)(x+9)
=x2+9x−2x−18
=x2+7x−18．
故选：D．
根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得：AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∵l1/​/l2，∠1=40°，
∴∠BAC=∠1=40°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ABC+∠ABC+40°=180°，
解得：∠ABC=70°．
故选：C．
由题意可得AC=AB，从而可得∠ABC=∠ACB，再由平行线的性质可得∠BAC=∠1=40°，由三角形的内角和即可求∠ABC的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是对熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
11.【答案】2.2×10−7
【解析】解：0.00000022=2.2×10−7，
故答案为：2.2×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12.【答案】100°
【解析】解：∵向北方向线是平行的，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴∠ABF=180°−60°=120°，
∴∠ABC=∠ABF−∠CBF=120°−20°=100°，
故答案为：100°．
根据平行线性质求出∠ABF，和∠CBF相减即可得出答案．
本题考查了方向角，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
13.【答案】±6
【解析】解：∵(x±3y)2=x2±6xy+9y2，
∴a=±6，
故答案为：±6．
这里首末两项是x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3y乘积的2倍．
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积得2倍，就构成完全平方式．注意积得2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．
14.【答案】y=12+3x
【解析】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长3xcm，
∴弹簧总长y=12+3x．
故答案为：y=12+3x．
弹簧总长=弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
本题考查了列代数式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
15.【答案】−1010
【解析】解：原式=(1+2)×(1−2)3+(3+4)×(3−4)7+(5+6)×(5−6)11+…+(2019+2020)×(2019−2020)4039
=(−1)+(−1)+(−1)+…+(−1)
=(−1)×1010
=−1010．
故答案为：−1010．
根据平方差公式把每个分数的分子化简，再与分母约分即可．
本题主要看出来平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
16.【答案】解：(1)(x+3)2−(x−1)(x−2)
=x2+6x+9−(x2−2x−x+2)
=x2+6x+9−x2+2x+x−2
=9x+7；
(2)(−2x2y)⋅(−3xy)2÷3xy2
=−2x2y⋅9x2y2÷3xy2
=−18x4y3÷3xy2
=−6x3y.
【解析】(1)根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可．
本题考查整式的混合运算等，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意完全平方公式的应用．
17.【答案】解：AB/​/CD．
理由：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴AB/​/CD．
【解析】由∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，可得∠1=∠4，然后由内错角相等，两直线平行，证得AB/​/CD．
此题考查了平行线的判定．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
18.【答案】平行
【解析】解：(1)如图，
(2)∵∠CED=∠A，
∴DE/​/AB．
故答案为平行．
(1)利用基本作图画出∠DEC；
(2)根据平行线的判定方法进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
19.【答案】解：(2a−1)2+2a(3−2a)
=4a2−4a+1+6a−4a2
=2a+1，
当a= 3−1时，原式=2( 3−1)+1
=2 3−2+1
=2 3−1．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)汽车耗油量y(升)与x之间的关系式为：y=8100x，即y=0.08x；
(2)油箱内剩余油量Q(升)与x之间的关系式为：Q=63−0.08x；
(3)当Q=17×63=9时，
63−0.08x=9，
解得x=675，
答：该辆汽车最多行驶675千米必须加油．
【解析】(1)根据“汽车耗油量=每千米的耗油量×行驶的路程”解答即可；
(2)根据“油箱内剩余油量=汽车油箱容量−汽车耗油量”解答即可；
(3)油箱内剩余油量不低于油箱容量的17，即当Q=17×63=9，求x的值．
此题为一次函数的应用，能根据实际情况写出解析式是关键，第二问是利用函数关系式求值．
21.【答案】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC( 已知 )，
∴DG/​/AC(在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行)，
∴∠2=∠DCA(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1=∠2( 已知 )，
∴∠1=∠DCA( 等量代换 )，
∴CD/​/EF(同位角相等，两直线平行)．
【解析】首先证明∠2=∠DCA，然后根据∠1=∠2，可得∠DCA=∠1，再根据同位角相等，两直线平行可判定出CD/​/EF．
此题主要考查了平行线的判定与性质定理，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
22.【答案】解：(1)∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴S△AMN：S△ABC=(AMAB)2，
即S△AMN：5=x2，
∵S△MBN：S△AMN=1x−1，
∴S△MBN=−5x2+5x，
∴y=−5x2+5x(0(2)∵E、F分别是边AB，AC的中点，∴FE//BC//MN，
①当0∴y：S=4(1−x)2，
∴S=5x4−4x，
②当12∴S：S△BEF=4(1−x)2，
∵S△BEF=54，
∴S=5(1−x)2．
【解析】(1)由MN/​/BC可知△AMN∽△ABC，得到S△AMN：S△ABC=(AMAB)2，即S△AMN：5=x2，利用相似的面积比等于相似比的平方可求得S△MBN=−5x2+5x，即y=−5x2+5x(0(2)根据FE//BC//MN可知，
①当0②当12主要考查了相似三角形的性质和根据实际问题列二次函数关系式，利用相似三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】3 0 −2
【解析】解：(1)∵33=27，
∴(3,27)=3；
∵50=1，
∴(5,1)=0；
∵2−2=14，
∴(2,14)=−2；
故答案为：3，0，−2；
(2)成立．理由如下：
设(3,4)=x，(3,5)=y，
则3x=4，3y=5．
∴3x+y=3x⋅3y=20．
∴(3,20)=x+y．
∴(3,4)+(3,5)=(3,20)．
(1)根据新规定的运算进行求解即可；
(2)利用规定的运算进行分析即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．