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2022-2023学年广东省清远市连南县民族高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省清远市连南县民族高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=3+i1−3i+2，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=30°,B=45°,a= 2，则b=( )
A. 6B. 2C. 3D. 2 6
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且O′A′=2，则△ABC的面积为( )
A. 4 2B. 8 2C. 2 2D. 6 2
4.如图，已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，则异面直线B1C与BD所成角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. y=sin(2x−π3)B. y=sin(x2+π6)
C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x+2π3)
6.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则DF=( )
A. −13AB+23ADB. −23AB+13ADC. 13AB−23ADD. 23AB−13AD
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B. 若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m//α，n//β，则α//β
D. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β
8.如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为( )
A. 10 6米B. 20 3米C. 20 33米D. 20 63米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A. 若a//b,b//c，则a//c
B. 若|a|=|b|且a//b，则a=b
C. 若a,b为非零向量且|a+b|=|a−b|，则a⊥b
D. 若a//b，则有且只有一个实数λ，使得a=λb
10.下列四个等式中正确的有( )
A. sin62°cs32°−cs62°sin32°=12B. sin75°cs75°= 34
C. 1+tan75°1−tan75∘= 3D. sin50°( 3sin10°+cs10°)cs10°=1
11.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=π6，a=5，则△ABC外接圆半径为10
C. 若a=2bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=1，c=2，A=2π3，则S△ABC= 32
12.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点．则下列结论中，其中正确的有( )
A. BC//平面DEF
B. 平面DEF//平面ABC
C. 三棱锥P−DEF与三棱锥P−ABC的体积比为1：4
D. 异面直线DE与BC所成角为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(3,1),b=(1,−1),c=a+kb，若a⊥c，则k= ______．
14.已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则EF⋅(EA+AB)= ______．
15.已知α，β都为锐角，sinα=35,cs(α+β)=513，则csβ的值为______．
16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2的值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sinα=45，且α是第二象限角．
(Ⅰ)求sin2α的值；
(Ⅱ)求cs(α+π4)的值．
18.(本小题12分)
已知向量a=(3,−4),b=(1,2)．
(1)设向量a与b的夹角为θ，求sinθ；
(2)若向量ma−b与向量a+b垂直，求实数m．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点．
(1)证明：平面AEC1//平面BDF；
(2)求异面直线AC1与BF所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合；
(3)求函数的单调递减区间．
21.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinAacsB= 3．
(1)求角B的大小；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①b=3；②S△ABC=9 34；③a+c=6．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=DC=2，AB= 11，∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)证明：AP⊥平面PDC；
(2)若E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，求点D到平面PAB的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵复数z=3+i1−3i+2=(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)+2=2+i，
∴复数z在复平面内对应的点(2,1)位于第一象限，
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵A=30°,B=45°,a= 2，
又asinA=bsinB，
则b=asinBsinA= 2sin45°sin30°= 2× 2212=2．
故选：B．
由已知结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由斜二测法知该△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，
用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．
点O′是斜边B′C′的中点，且O′A′=2，
∴BC=4，AB=4 2，
∴△ABC的面积为S△ABC=12×4×4 2=8 2．
故选：B．
利用斜二测法求解．
本题考查三角形面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接A1D，DB，A1B，则A1D//B1C，
∴∠A1DB是异面直线B1C与BD所成角，且△A1BD为等边三角形，
∴∠A1DB=60°，即异面直线B1C与BD所成角为60°．
故选：C．
连接A1D，DB，A1B，可得出∠A1DB为异面直线B1C与BD所成角，并看出△A1BD为等边三角形，从而得出答案．
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，
得到：y=sin(x+π3)再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
得到：y=sin(2x+π3)的图象，
故选：C．
直接利用函数图象的平移变换和伸缩变换求得结果．
本题考查的知识点：函数图象的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
6.【答案】D
【解析】解：因为E是BC的中点，AD//EC，所以|DF||EF|=|AD||EC|=2，
所以DF=23DE=23(DC+CE)=23(AB−12AD)=23AB−13AD．
故选：D．
由题可得DF=23DE，再根据向量运算法则即可表示．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，因为n⊥β，所以α⊥β；
当n⊄α时，如图所示，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m，n′的平面γ∩α=l，
由m⊥α，得m⊥l，所以l//n′//n，
又n⊥β，所以l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，即A正确；
对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，
又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，
所以c//n，所以c⊥α，所以α⊥β，即B正确；
对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，取平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，即C错误；
对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，
又n⊥β，所以α//β，即D正确．
故选：C．
利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断D．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：依题意可得如下图形，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，
由正弦定理得BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12 22=20 2，
在Rt△BCD中，∠BDC=30°，
所以CD=BCtan30°=20 2× 33=20 63，
所以红豆树的高度为20 63千米．
故选：D．
根据图形，在△ABC中利用正弦定理求得BC的值，在Rt△BCD中求出CD的值．
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A选项，当b为0时，a与c可能不平行，故A错误；
B选项，由|a|=|b|且a//b，可得a=b或a=−b，故B错误；
D选项，根据向量共线基本定理可知当a,b都为非零向量时成立，a为零向量时也成立(λ=0)，若b=0时，λ不存在，但b//a(零向量与所有的向量共线)，故D错误；
C选项，|a+b|=|a−b|，根据数量积规则，则两边平方化简可得a⋅b=0，
∴a⊥b，故C正确．
故选：ABD．
对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论．
本题考查命题真假的判断，考查向量相等、向量相反、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：sin62°cs32°−cs62°sin32°=sin30°=12，A正确；
sin75°cs75°=12sin150°=14，B错误；
1+tan75°1−tan75∘=tan45°+tan75°1−tan45∘tan75∘=tan120°=− 3，C错误；
sin50°( 3sin10°+cs10°)cs10°=2sin40°cs40°cs10∘=sin80°sin80∘=1，D正确．
故选：AD．
根据两角和与差的公式、二倍角公式逐一进行计算即可．
本题考查了两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为A>B，所以a>b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，A正确；
由正弦定理asinA=2R可知2R=10，所以△ABC外接圆半径为5，B不正确；
因为a=2bcsC，所以sinA=2sinBcsC，即sin(B+C)=2sinBcsC，
整理可得sinBcsC−csBsinC=0，即sin(B−C)=0，
因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C正确；
因为b=1，c=2，A=2π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×1×2× 32= 32，D正确．
故选：ACD．
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B，C的正误，利用三角形面积公式可知D正确．
本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点，
所以EF//BC，EF⊂平面DEF，BC⊄平面DEF，
所以BC//平面DEF；故A对；
同理可得AB//平面DEF，又AB∩BC=B，所以平面DEF//平面ABC；故B对；
三棱锥P−DEF与三棱锥P−ABC的边长的相似比为1：2，所以体积比为1：8；故C错；
由DE//AB，所以∠ABC为异面直线DE与BC所成角，由于没有三角形ABC的边长信息，故无法判断∠ABC的大小，故D错误；
故选：AB．
由D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点，可得EF//BC，利用线面平行的判定定理可判断A；同理可证AB//平面DEF，利用面面平行的判定定理可判断B；根据B选项的判断利用体积比等于相似比的立方可判断C；由DE//AB，可知∠ABC为异面直线DE与BC所成角，由于没有长度关系，故无法判断该角的大小．
本题考查了立体几何中的平行关系以及异面直线所成角的问题，属于基础题．
13.【答案】−5
【解析】解：由题意知，c=(3+k,1−k)，
因为a⊥c，
所以a⋅c=3(3+k)+(1−k)=0，解得k=−5．
故答案为：−5．
先求得c的坐标，再由a⋅c=0，即可得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：如图，以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则根据题意可得A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，F(1,2)，
∴EF=(1,1)，EA=(0,−1)，AB=(2,0)，
∴EA+AB=(0,−1)+(2,0)=(2,−1)，
∴EF⋅(EA+AB)=1×2+1×(−1)=1．
故答案为：1．
建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可．
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，坐标法的应用，属中档题．
15.【答案】5665
【解析】解：因为α，β都是锐角，
所以0<α+β<π，csα= 1−sin2α=45，sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665．
故答案为：5665．
首先利用角的变换得csβ=cs[(α+β)−α]，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S=12×4πR2+2πRh=143πR2，则h=43R，
所以V1=πR2h=43πR3，V2=12×43πR3，
故V1V2=2，
故答案为：2．
设圆柱的高为h，表示出表面积可得h=43R，再分别表示出V1，V2即可
本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵sinα=45，α是第二象限角，
∴csα=− 1−sin2α=−35，
∴sin2α=2sinαcsα=2×45×(−35)=−2425．
(Ⅱ)∴cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4=−35× 22−45× 22=−7 210．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求值得解．
(Ⅱ)由已知利用两角和的余弦函数公式即可求值得解．
18.【答案】解：(1)a=(3,−4),b=(1,2)，
csθ=a⋅b|a|⋅|b|=3−8 32+(−4)2× 22+12=−55× 5=− 55，
∴sinθ= 1−cs2θ= 1−( 55)2=2 55．
(2)若向量ma−b与向量a+b垂直，
则(ma−b)⋅(a+b)=0，
即ma2+(m−1)a⋅b−b2=0，
a=(3,−4),b=(1,2)，
a2=32+(−4)2=25,a⋅b=3−8=−5,b2=12+22=5，
故25m−5(m−1)−5=0，解得m=0．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：E、F分别为棱DD1，CC1的中点，
所以DE=12DD1，C1F=12CC1，
因为CC1=DD1，且CC1//DD1，所以DE=C1F，且DE//C1F，所以四边形DEC1F是平行四边形，所以DF//EC1,
又DF⊂平面BDF，EC1⊄平面BDF，所以EC1//平面BDF，
E、F分别为棱DD1，CC1的中点，所以DE=12DD1，CF=12CC1，
因为CC1=DD1，且CC1//DD1，所以DE=CF，且DE//CF，
所以四边形DEFC是平行四边形，所以DC//EF且DC=EF，
因为正方体底面为正方形，所以DC//AB且DC=AB，
所以EF//AB且EF=AB，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以BF//AE，又BF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE//平面BDF，
又AE∩EC1=E，AE，EC1⊂平面AEC1，所以平面AEC1//平面BDF．
(2)解：由(1)知BF//AE，所以∠EAC1为异面直线AC1与BF所成的角，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，所以AE=C1E= 5，AC1=2 3，
从而cs∠EAC1=5+12−52× 5×2 3= 155，即异面直线AC1与BF所成角的余弦值为 155．
【解析】本题考查面面平行的证明、异面直线所成的角、余弦定理，属中档题．
(1)证明四边形DEC1F是平行四边形，可得DF//EC1,从而可证EC1//平面BDF，同理证明四边形ABFE为平行四边形，可得BF//AE，从而可证AE//平面BDF，最后根据面面平行的判定定理可证平面AEC1//平面BDF；
(2)BF//AE，即∠EAC1为异面直线AC1与BF所成的角，利用余弦定理求解即可．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12=1−cs2x2+ 32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π．
(2)函数f(x)的最大值为1+1=2，此时，2x−π6=2kπ+π2，求得x=kπ+π3，k∈Z．
故函数的最大值为1，取得最大值时自变量X的取值集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}．
(3)令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
故函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．
(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期．
(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合．
(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．
21.【答案】解：(1)根据正弦定理bsinAacsB=sinBsinAsinAcsB=sinBcsB=tanB= 3，
∵0(2)选①②：b=3,S△ABC=9 34，
根据余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得9=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
又S△ABC=12acsinB=9 34，∴ac=9，
∴(a+c)2=36，∴a+c=6．
选②③：S△ABC=9 34,a+c=6，
由S△ABC=12acsinB=9 34，∴ac=9，
由b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−27=9，∴b=3．
选①③：b=3，a+c=6，b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，32=62−3ac，
∴ac=9，∴S△ABC=12acsinB=9 34．
【解析】(1)根据正弦定理，边长之比等于正弦之比即得；(2)B=π3，再利用余弦定理，三角形面积公式即可得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=DC=2，AB= 11，∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又AD⊥DC，所以DC⊥平面PAD，
所以DC⊥AP，
因为DP⊥AP，且DP∩DC=D，
所以AP⊥平面PDC；
(2)解：取AD的中点Q，连接PQ，BQ，EQ，
因为E是棱PA的中点，所以EQ//PD，
又EQ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以EQ//平面PCD，
因为BE//平面PCD，BE∩EQ=E，所以平面BEQ//平面PCD，
又平面BEQ∩平面ABCD=BQ，平面PCD∩平面ABCD=CD，
所以BQ//CD，即AD⊥BQ，
所以AQ=DQ= 2，BQ=3，PQ= 2，BP= 11，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又AD⊥PQ，所以PQ⊥平面ABCD，所以VP−ABD=13×12×2 2×3× 2=2，
在△PAB中，S△PAB=12× 11−1×2= 10，
设点D到平面PAB的距离为h，因为VP−ABD=VD−PAB，
所以13× 10h=2，解得h=3 105，所以点D到平面PAB的距离为3 105．
【解析】(1)在平面PDC内找到两条相交的的直线，使得PA垂直于它们即可；
(2)运用等体积法，求出三棱锥P−ABD的体积和和三角形PAB的面积即可．
本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题
1.已知复数z=3+i1−3i+2，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=30°,B=45°,a= 2，则b=( )
A. 6B. 2C. 3D. 2 6
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且O′A′=2，则△ABC的面积为( )
A. 4 2B. 8 2C. 2 2D. 6 2
4.如图，已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，则异面直线B1C与BD所成角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.把函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. y=sin(2x−π3)B. y=sin(x2+π6)
C. y=sin(2x+π3)D. y=sin(2x+2π3)
6.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则DF=( )
A. −13AB+23ADB. −23AB+13ADC. 13AB−23ADD. 23AB−13AD
7.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A. 若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B. 若m//n，m⊥α，n//β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m//α，n//β，则α//β
D. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α//β
8.如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为( )
A. 10 6米B. 20 3米C. 20 33米D. 20 63米
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A. 若a//b,b//c，则a//c
B. 若|a|=|b|且a//b，则a=b
C. 若a,b为非零向量且|a+b|=|a−b|，则a⊥b
D. 若a//b，则有且只有一个实数λ，使得a=λb
10.下列四个等式中正确的有( )
A. sin62°cs32°−cs62°sin32°=12B. sin75°cs75°= 34
C. 1+tan75°1−tan75∘= 3D. sin50°( 3sin10°+cs10°)cs10°=1
11.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=π6，a=5，则△ABC外接圆半径为10
C. 若a=2bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若b=1，c=2，A=2π3，则S△ABC= 32
12.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点．则下列结论中，其中正确的有( )
A. BC//平面DEF
B. 平面DEF//平面ABC
C. 三棱锥P−DEF与三棱锥P−ABC的体积比为1：4
D. 异面直线DE与BC所成角为60°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(3,1),b=(1,−1),c=a+kb，若a⊥c，则k= ______．
14.已知正方形ABCD的边长为2，边AD，CD的中点分别为E，F，则EF⋅(EA+AB)= ______．
15.已知α，β都为锐角，sinα=35,cs(α+β)=513，则csβ的值为______．
16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2的值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知sinα=45，且α是第二象限角．
(Ⅰ)求sin2α的值；
(Ⅱ)求cs(α+π4)的值．
18.(本小题12分)
已知向量a=(3,−4),b=(1,2)．
(1)设向量a与b的夹角为θ，求sinθ；
(2)若向量ma−b与向量a+b垂直，求实数m．
19.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，CC1的中点．
(1)证明：平面AEC1//平面BDF；
(2)求异面直线AC1与BF所成角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合；
(3)求函数的单调递减区间．
21.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinAacsB= 3．
(1)求角B的大小；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①b=3；②S△ABC=9 34；③a+c=6．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=DC=2，AB= 11，∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．
(1)证明：AP⊥平面PDC；
(2)若E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，求点D到平面PAB的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵复数z=3+i1−3i+2=(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)+2=2+i，
∴复数z在复平面内对应的点(2,1)位于第一象限，
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵A=30°,B=45°,a= 2，
又asinA=bsinB，
则b=asinBsinA= 2sin45°sin30°= 2× 2212=2．
故选：B．
由已知结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由斜二测法知该△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，
用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′．
点O′是斜边B′C′的中点，且O′A′=2，
∴BC=4，AB=4 2，
∴△ABC的面积为S△ABC=12×4×4 2=8 2．
故选：B．
利用斜二测法求解．
本题考查三角形面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接A1D，DB，A1B，则A1D//B1C，
∴∠A1DB是异面直线B1C与BD所成角，且△A1BD为等边三角形，
∴∠A1DB=60°，即异面直线B1C与BD所成角为60°．
故选：C．
连接A1D，DB，A1B，可得出∠A1DB为异面直线B1C与BD所成角，并看出△A1BD为等边三角形，从而得出答案．
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：函数y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，
得到：y=sin(x+π3)再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
得到：y=sin(2x+π3)的图象，
故选：C．
直接利用函数图象的平移变换和伸缩变换求得结果．
本题考查的知识点：函数图象的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
6.【答案】D
【解析】解：因为E是BC的中点，AD//EC，所以|DF||EF|=|AD||EC|=2，
所以DF=23DE=23(DC+CE)=23(AB−12AD)=23AB−13AD．
故选：D．
由题可得DF=23DE，再根据向量运算法则即可表示．
本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A，因m⊥n，m⊥α，当n⊂α时，因为n⊥β，所以α⊥β；
当n⊄α时，如图所示，在直线m上取点P，过P作直线n′//n，则m⊥n′，过直线m，n′的平面γ∩α=l，
由m⊥α，得m⊥l，所以l//n′//n，
又n⊥β，所以l⊥β，而l⊂α，所以α⊥β，即A正确；
对于B，若m//n，m⊥α，则n⊥α，
又n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β=c，
所以c//n，所以c⊥α，所以α⊥β，即B正确；
对于C，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，取平面ABCD为平面α，直线A1B1为直线m，平面ADD1A1为平面β，直线B1C1为直线n，满足m⊥n，m//α，n//β，而α∩β=AD，即C错误；
对于D，若m//n，m⊥α，则n⊥α，
又n⊥β，所以α//β，即D正确．
故选：C．
利用线面垂直的判定定理与性质定理、面面垂直的判定定理可判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定定理与性质定理可判断D．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理，性质定理是解题的关键，考查空间立体感，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：依题意可得如下图形，
在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°−30°=45°，AB=40，
由正弦定理得BCsin30∘=40sin45∘，解得BC=40×12 22=20 2，
在Rt△BCD中，∠BDC=30°，
所以CD=BCtan30°=20 2× 33=20 63，
所以红豆树的高度为20 63千米．
故选：D．
根据图形，在△ABC中利用正弦定理求得BC的值，在Rt△BCD中求出CD的值．
本题考查了正弦定理的实际应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：A选项，当b为0时，a与c可能不平行，故A错误；
B选项，由|a|=|b|且a//b，可得a=b或a=−b，故B错误；
D选项，根据向量共线基本定理可知当a,b都为非零向量时成立，a为零向量时也成立(λ=0)，若b=0时，λ不存在，但b//a(零向量与所有的向量共线)，故D错误；
C选项，|a+b|=|a−b|，根据数量积规则，则两边平方化简可得a⋅b=0，
∴a⊥b，故C正确．
故选：ABD．
对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论．
本题考查命题真假的判断，考查向量相等、向量相反、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：sin62°cs32°−cs62°sin32°=sin30°=12，A正确；
sin75°cs75°=12sin150°=14，B错误；
1+tan75°1−tan75∘=tan45°+tan75°1−tan45∘tan75∘=tan120°=− 3，C错误；
sin50°( 3sin10°+cs10°)cs10°=2sin40°cs40°cs10∘=sin80°sin80∘=1，D正确．
故选：AD．
根据两角和与差的公式、二倍角公式逐一进行计算即可．
本题考查了两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：因为A>B，所以a>b，由正弦定理asinA=bsinB=2R，可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，A正确；
由正弦定理asinA=2R可知2R=10，所以△ABC外接圆半径为5，B不正确；
因为a=2bcsC，所以sinA=2sinBcsC，即sin(B+C)=2sinBcsC，
整理可得sinBcsC−csBsinC=0，即sin(B−C)=0，
因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C正确；
因为b=1，c=2，A=2π3，
所以S△ABC=12bcsinA=12×1×2× 32= 32，D正确．
故选：ACD．
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B，C的正误，利用三角形面积公式可知D正确．
本题主要考查了三角形大边对大角，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点，
所以EF//BC，EF⊂平面DEF，BC⊄平面DEF，
所以BC//平面DEF；故A对；
同理可得AB//平面DEF，又AB∩BC=B，所以平面DEF//平面ABC；故B对；
三棱锥P−DEF与三棱锥P−ABC的边长的相似比为1：2，所以体积比为1：8；故C错；
由DE//AB，所以∠ABC为异面直线DE与BC所成角，由于没有三角形ABC的边长信息，故无法判断∠ABC的大小，故D错误；
故选：AB．
由D，E，F分别是侧棱PA，PB，PC的中点，可得EF//BC，利用线面平行的判定定理可判断A；同理可证AB//平面DEF，利用面面平行的判定定理可判断B；根据B选项的判断利用体积比等于相似比的立方可判断C；由DE//AB，可知∠ABC为异面直线DE与BC所成角，由于没有长度关系，故无法判断该角的大小．
本题考查了立体几何中的平行关系以及异面直线所成角的问题，属于基础题．
13.【答案】−5
【解析】解：由题意知，c=(3+k,1−k)，
因为a⊥c，
所以a⋅c=3(3+k)+(1−k)=0，解得k=−5．
故答案为：−5．
先求得c的坐标，再由a⋅c=0，即可得解．
本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的坐标运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：如图，以A为原点，AB，AD方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，
则根据题意可得A(0,0)，B(2,0)，E(0,1)，F(1,2)，
∴EF=(1,1)，EA=(0,−1)，AB=(2,0)，
∴EA+AB=(0,−1)+(2,0)=(2,−1)，
∴EF⋅(EA+AB)=1×2+1×(−1)=1．
故答案为：1．
建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算进行求解即可．
本题考查平面向量的数量积的坐标运算，坐标法的应用，属中档题．
15.【答案】5665
【解析】解：因为α，β都是锐角，
所以0<α+β<π，csα= 1−sin2α=45，sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=1213，
所以csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=513×45+1213×35=5665．
故答案为：5665．
首先利用角的变换得csβ=cs[(α+β)−α]，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S=12×4πR2+2πRh=143πR2，则h=43R，
所以V1=πR2h=43πR3，V2=12×43πR3，
故V1V2=2，
故答案为：2．
设圆柱的高为h，表示出表面积可得h=43R，再分别表示出V1，V2即可
本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵sinα=45，α是第二象限角，
∴csα=− 1−sin2α=−35，
∴sin2α=2sinαcsα=2×45×(−35)=−2425．
(Ⅱ)∴cs(α+π4)=csαcsπ4−sinαsinπ4=−35× 22−45× 22=−7 210．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
(Ⅰ)由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求值得解．
(Ⅱ)由已知利用两角和的余弦函数公式即可求值得解．
18.【答案】解：(1)a=(3,−4),b=(1,2)，
csθ=a⋅b|a|⋅|b|=3−8 32+(−4)2× 22+12=−55× 5=− 55，
∴sinθ= 1−cs2θ= 1−( 55)2=2 55．
(2)若向量ma−b与向量a+b垂直，
则(ma−b)⋅(a+b)=0，
即ma2+(m−1)a⋅b−b2=0，
a=(3,−4),b=(1,2)，
a2=32+(−4)2=25,a⋅b=3−8=−5,b2=12+22=5，
故25m−5(m−1)−5=0，解得m=0．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于基础题．
19.【答案】(1)证明：E、F分别为棱DD1，CC1的中点，
所以DE=12DD1，C1F=12CC1，
因为CC1=DD1，且CC1//DD1，所以DE=C1F，且DE//C1F，所以四边形DEC1F是平行四边形，所以DF//EC1,
又DF⊂平面BDF，EC1⊄平面BDF，所以EC1//平面BDF，
E、F分别为棱DD1，CC1的中点，所以DE=12DD1，CF=12CC1，
因为CC1=DD1，且CC1//DD1，所以DE=CF，且DE//CF，
所以四边形DEFC是平行四边形，所以DC//EF且DC=EF，
因为正方体底面为正方形，所以DC//AB且DC=AB，
所以EF//AB且EF=AB，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以BF//AE，又BF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，所以AE//平面BDF，
又AE∩EC1=E，AE，EC1⊂平面AEC1，所以平面AEC1//平面BDF．
(2)解：由(1)知BF//AE，所以∠EAC1为异面直线AC1与BF所成的角，
因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，所以AE=C1E= 5，AC1=2 3，
从而cs∠EAC1=5+12−52× 5×2 3= 155，即异面直线AC1与BF所成角的余弦值为 155．
【解析】本题考查面面平行的证明、异面直线所成的角、余弦定理，属中档题．
(1)证明四边形DEC1F是平行四边形，可得DF//EC1,从而可证EC1//平面BDF，同理证明四边形ABFE为平行四边形，可得BF//AE，从而可证AE//平面BDF，最后根据面面平行的判定定理可证平面AEC1//平面BDF；
(2)BF//AE，即∠EAC1为异面直线AC1与BF所成的角，利用余弦定理求解即可．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12=1−cs2x2+ 32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π．
(2)函数f(x)的最大值为1+1=2，此时，2x−π6=2kπ+π2，求得x=kπ+π3，k∈Z．
故函数的最大值为1，取得最大值时自变量X的取值集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}．
(3)令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
故函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．
(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期．
(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合．
(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．
21.【答案】解：(1)根据正弦定理bsinAacsB=sinBsinAsinAcsB=sinBcsB=tanB= 3，
∵0
根据余弦定理b2=a2+c2−2accsB，得9=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，
又S△ABC=12acsinB=9 34，∴ac=9，
∴(a+c)2=36，∴a+c=6．
选②③：S△ABC=9 34,a+c=6，
由S△ABC=12acsinB=9 34，∴ac=9，
由b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−27=9，∴b=3．
选①③：b=3，a+c=6，b2=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，32=62−3ac，
∴ac=9，∴S△ABC=12acsinB=9 34．
【解析】(1)根据正弦定理，边长之比等于正弦之比即得；(2)B=π3，再利用余弦定理，三角形面积公式即可得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
22.【答案】(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=DC=2，AB= 11，∠ADC=∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又AD⊥DC，所以DC⊥平面PAD，
所以DC⊥AP，
因为DP⊥AP，且DP∩DC=D，
所以AP⊥平面PDC；
(2)解：取AD的中点Q，连接PQ，BQ，EQ，
因为E是棱PA的中点，所以EQ//PD，
又EQ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以EQ//平面PCD，
因为BE//平面PCD，BE∩EQ=E，所以平面BEQ//平面PCD，
又平面BEQ∩平面ABCD=BQ，平面PCD∩平面ABCD=CD，
所以BQ//CD，即AD⊥BQ，
所以AQ=DQ= 2，BQ=3，PQ= 2，BP= 11，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
又AD⊥PQ，所以PQ⊥平面ABCD，所以VP−ABD=13×12×2 2×3× 2=2，
在△PAB中，S△PAB=12× 11−1×2= 10，
设点D到平面PAB的距离为h，因为VP−ABD=VD−PAB，
所以13× 10h=2，解得h=3 105，所以点D到平面PAB的距离为3 105．
【解析】(1)在平面PDC内找到两条相交的的直线，使得PA垂直于它们即可；
(2)运用等体积法，求出三棱锥P−ABD的体积和和三角形PAB的面积即可．
本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题
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