辽宁省铁岭市开原市2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省铁岭市开原市2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共26页。

2．请将所有试题的答案写在答题卡相应的位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图所示的工件，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，
故选：B．
2. 用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个数为( )

A. 最多需要8块，最少需要6块B. 最多需要9块，最少需要6块
C. 最多需要8块，最少需要7块D. 最多需要9块，最少需要7块
【答案】C
解析：由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
3. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：将三条路平移，如图所示：
剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，
，
故选：C．
4. 若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为( ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：∵从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条的可能结果有：3、5、6；3、5、9；3、6、9；5、6、9；
能组成三角形的有：3、5、6；5、6、9；
∴能组成三角形的概率为：．
故选A．
5. 如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿修了一条近路，已知米，新修小路与的夹角为，则走这条近路的长可以表示为（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：由题意，在中，米，，，
∴，
∴米，
故选：D．
6. 如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：连接，

∵点C为的中点，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，的顶点在第一象限，顶点在轴上，反比例函数的图象经过点，若，的面积为8，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. D. 16
【答案】B
解析：过点作轴，交轴于点，
，
，
的面积是，
，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，中，D、E分别为、边上的点，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
9. 如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
解析：解：四边形为正方形，
，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，①结论正确；
，，
，
，
，②结论错误；
为中点，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，④结论正确；
，
，，
，
，
，
与不平行，③结论错误，
综上可知，正确的结论为：①④，
故选B．
10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
解析：解：∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象与x轴的一个交点在和之间，
∴图象与x轴另一交点在之间，
∴时，，
即，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴时，，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为，
∴有两个相等实数根，
∴，
∴，
故③正确，符合题意．
∵的最大函数值为，
∴没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______．
【答案】##
解析：解：根据题意得，，
∴，
故答案为：．
12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割.如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号）
【答案】##
解析：解：∵为的黄金分割点，
∴
∴（）
故答案为：
13. 若a，b分别是方程的两根，则______________．
【答案】##
解析：解：∵a，b分别是方程的两根，
∴，，
∴，
即，
∴
．
故答案为：．
14. 若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______．
【答案】7
解析：解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：7．
15. 有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=_________．
【答案】
解析：如图，连接，延长交于点，连接、
∵扇形ABC
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
由题意得：，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
16. 河堤横断面如图所示，斜坡的坡度（即BC：AC），，则的长是___________．
【答案】
解析：解：斜坡的坡度，
设，则，
，
在中，，
即，
解得或(舍去)，
故的长是，
故答案为：．
17. 如图，在平行四边形中，已知，平分交边于点E，则的长等于_______厘米．

【答案】4
解析：解：∵在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴；
故答案为：4
18. 如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为_____．

【答案】
解析：解：过作于点，过作于点，如图：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设点的坐标为，则，
∴，，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故答案是：
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为点，点为四边形外一点，平分，，且．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
小问1解析】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2解析】
解：∵，
∴，
设，则，
在和中，可有，
即，
∴，即，
∴在中，，
∴．
20. 2022年卡塔尔世界杯倍受世界各地人民的关注．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，某校初三年级体育组在体育第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级A、B、C、D进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛．
（1）求抽第一张卡片时，抽到D班的概率；
（2）请用树状图或者列表法求出半决赛中A班与B班进行比赛的概率．
【答案】（1）
（2）
【小问1解析】
解：抽第一张卡片时，抽到D班的概率为：；
【小问2解析】
根据题意画图如下：

由图可知：共有12种等可能的结果，其中抽到A和B或C和D的有4种，
∴A班与B班进行比赛的概率为．
四、解答题（每小题12分，共24分）
21. 电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2021年8月首映，深受人们的喜爱．2022年清明节来临之际某电影院开展“清明祭英烈共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价元，这样按原定票价需花费元购买的门票张数，现在只花费了元．
（1）求每张零售电影票的原定价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求原定零售票价平均每次的下降率．
【答案】（1）每张零售电影票的原定价为40元．
（2）原定零售票价平均每次的下降率为．
【小问1解析】
解：设每张零售电影票原定价为x元，则题意可得，
，
解得，,
经检验，是原方程的根且符合题意，
答：每张零售电影票的原定价为40元．
【小问2解析】
解：设原定零售票价平均每次的下降率为m，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
即原定零售票价平均每次的下降率为．
答：原定零售票价平均每次的下降率为．
22. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）2米；（2）米
解析：解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中，，
∴CH=3DH，
∵CH2+DH2=CD2，
∴（3DH）2+DH2=（）2，
解得：DH=2或-2（舍），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，
由题意得，∠AGC=30°，
∴GH===，
∵CH=3DH=6，
∴GC=GH+CH=+6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴tan∠AGB=，
解得：AB=，
即大树AB的高度为米．
五、解答题（每小题12分，共24分）
23. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）轴上是否存在一点，能使，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在；或
【小问1解析】
解：（1）将代入得
，解得，
∴，
将代入，
得，
解得，
∴点B坐标为，
将，代入得
，
解得，
∴．
小问2解析】
解：存在，
理由如下：设直线交x轴于点C，再设轴上存在一点，
对于直线，
当时，，解得，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或
24. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【答案】（1）见解析；（2）
解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
六、解答题（本题12分）
25. 如图，为的直径，为弦，且于E，F为延长线上一点，恰好平分．
（1）求证：与相切；
（2）连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
【小问2解析】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
七、解答题（本题14分）
26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）面积的最大值为4，此时P的坐标为
（3）存在，点F的坐标为，
【小问1解析】
将，代入得：，
∵抛物线对称轴为对称轴为，
∴，即，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2解析】
如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
把代入得，
∴C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；
【小问3解析】
存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
①当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．