2024年高二上学期数学期末押题卷01（测试范围：选修一+选修二第四章）

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1．（5分）过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角为（ ）
A．45°B．135°C．45°或135°D．60°
【分析】先求出过两点的直线的斜率，由此能求出过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角．
【解答】解：过点A（﹣，）与点B（﹣，），
kAB＝＝1，
∴过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角为45°，
故选：A．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）已知a＞0，b＞0，那么“b+4a≤ab”是“a+b≥9”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，则+≤1，根据基本不等式和充分条件必要条件的定义即可判断．
【解答】解：a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，则+≤1，
∴a+b≥（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当b＝2a时取等号，
若a+b≥9
+≤（a+b）（+）＝（5++），
∵5++≥5+2＝9，
∴不能由“a+b≥9”得到“b+4a≤ab”，
故“b+4a≤ab”是“a+b≥9”充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查基本不等式的运用，充分条件，必要条件，考查运算能力，属于中档题．
3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a10＝a11+3，则S11＝（ ）
A．33B．66C．22D．44
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7+a10﹣a11＝a6＝3，又由S11＝＝11a6，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若a7+a10＝a11+3，则a7+a10﹣a11＝a6＝3，
则S11＝＝11a6＝33；
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（ ）
A．x＝1，y＝1B．x＝1，C．，D．，y＝1
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．
【解答】解：依题意
＝
＝，
又，所以，．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则下列四组向量中能使l⊥α的是（ ）
A．＝（﹣1，0，1），＝（1，0，1）
B．＝（0，2，1），＝（0，1，﹣2）
C．＝（1，﹣2，1），＝（﹣2，1，﹣2）
D．＝（2，﹣1，1），＝（﹣4，2，﹣2）
【分析】根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则，以此判断即可．
【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则，
对于A、B、C，均不满足，故不平行，
对于D，，故，
故选：D．
【点评】本题考查平面的法向量与直线方向向量相关问题，属于基础题．
6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是＝（﹣2，1，2），＝（3，﹣2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A．B．C．D．
【分析】先计算两直线方向向量间夹角的余弦值，然后转化为异面直线间的夹角的余弦．
【解答】解：因为cs＜＞＝＝，
所以＝．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的计算方法，属于基础题．
7．（5分）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（ ）
A．1：2：4B．2：3：4C．2：4：5D．2：3：6
【分析】由，可得A为中点，进而可得A，N的坐标，再由三角形的对应比成比例可得B的坐标，进而求出|BF|：|BA|：|BN|的值．
【解答】解：由题意如图所示，若，可得2＝（）+（）＝2+，可得＝，可得A为NF的中点；
因为焦点F（，0），所以xA＝，代入抛物线的方程可得yA＝，即A（，p），所以N（0，p），
设B（，y0），y0＜0，由＝，即＝可得：y0＝﹣p，x0＝p，即B（p，﹣），
所以：|BF|＝x0+＝，|BA|＝+p+p＝，|BN|＝＝3p，
所以|BF|：|BA|：|BN|＝：：3p＝2：3：4，
故选：B．
【点评】考查抛物线的性质，属于中档题．
8．（5分）已知F是椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，在三角形AFF'中利用余弦定理，结合基本不等式，转化求解离心率的范围即可．
【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，
由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，
在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cs∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，
所以，
即，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，
即，可得，所以椭圆的离心率，
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列四个命题中，正确的有（ ）
A．数列的第k项为
B．已知数列{an}的通项公式为，则﹣8是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为
D．数列{an}的通项公式为，则数列{an}是递增数列
【分析】A，由数列通项求解判断；的第k出项为，B，令n2﹣n﹣50＝﹣8求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断an+1﹣an的符号即可．
【解答】解：对于A，数列的第k出项为，故A正确；
对于B，令n2﹣n﹣50＝﹣8，得n＝7或n＝﹣6（舍去），故B正确；
对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，
设该数列为{bn}，则其通项公式为，
因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为，故C错误；
对于D，，则，
因此数列{an}是递增数列，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于中档题．
（多选）10．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比的倒数，即e0＝的双曲线称为黄金双曲线，若a，b，c分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（ ）
A．当焦点在x轴时，其标准方程为
B．若双曲线的弦EF的中点为M，则kEF•kOM＝﹣e0
C．a，b，c成等比数列
D．双曲线的右顶点A（a，0），上顶点B（0，b）和左焦点F（﹣c，0）构成的△ABF是直角三角形
【分析】由双曲线离心率及a2+b2＝c2可判断A；
利用点差法可判断B；由 及ac＝a2e0 可判断C；由斜率之积为﹣1可判断AB⊥BF，进而判断D．
【解答】解：对于A，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为，
又，
所以，
所以黄金双曲线的方程为，故A正确；
对于B，由A可知，黄金双曲线的方程为，
设E（x1，y1），F（x2，y2），
线段EF的中点M（x0，y0），
则，
两式相减得，
所以 ，
即，
即，
所以，则kEF•kOM＝e0，故B错误；
对于C，因为，
所以b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故C正确；
对于D，，
所以kAB•kBF＝﹣×＝﹣＝﹣1，即AB⊥BF，
故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰三角形，顶角∠OAB＝θ，点D（3，0）为AB的中点，记△OAB的面积S＝f（θ），则（ ）
A．
B．S的最大值为6
C．|AB|的最大值为6
D．点B的轨迹方程是x2+y2﹣4x＝0（y≠0）
【分析】令A（x，y）且y≠0，根据题设及两点距离公式求A轨迹为（x﹣4）2+y2＝4且y≠0，应用余弦定理、三角形面积公式求S＝f（θ）表达式，利用S△OAB＝S△OAD+S△OBD，结合圆的性质求面积、|AB|最大值，令B（m，n），则x＝6﹣my＝﹣n≠0．代入A轨迹求B的轨迹方程，即可判断各项的正误．
【解答】解：由∠OAB＝θ，|OA|＝|AB|，D（3，0）为AB的中点，
若A（x，y）且y≠0，则B（6﹣x，﹣y），
故x2+y2＝（6﹣2x）2+（﹣2y）2＝4（x﹣3）2+4y2，
整理得：（x﹣4）2+y2＝4，则A轨迹是圆心为（4，0），半径为2的圆（去掉与x轴交点），
如下图，由圆的对称性，不妨令A在轨迹圆的上半部分，即0＜yA≤2，
令|OA|＝|AB|＝2|AD|＝2a，则|OD|2＝|OA|2+|AD|2﹣2|OA||AD|csθ，
所以5a2﹣4a2csθ＝9，则，
所以，A正确；
由，则S的最大值为6，B正确；
由下图知：|OA|＝|AB|∈（2，6），所以|AB|无最大值，C错误；
令B（m，n），则xA＝6﹣myA＝﹣n≠0．代入A轨迹得（m﹣2）2+n2＝4，即m2﹣4m+n2＝0，
所以B轨迹为x2﹣4x+y2＝0且y≠0，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，考查了圆的几何性质，属于中档题．
（多选）12．（5分）在棱长为2的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，DA的中点，则（ ）
A．AC∥平面EFG
B．过点E，F，G的截面的面积为
C．异面直线EG与AC所成角的大小为
D．CD与平面GBC所成角的大小为
【分析】由线面平行的判定定理即可判断选项A，分析证明四边形EFGH是边长为1的正方形，且为截面，求解即可判断选项B，利用异面直线所成角的定义得到∠EGF为所求的角，即可判断选项C，利用线面垂直的判定定理证明DA⊥平面GBC，从而得到∠DCG为直线CD与平面GBC所成的角，利用边角关系求解即可判断选项D．
【解答】解：对于A，因为F，G为棱CD，DA的中点，所以FG∥AC，
又FG⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，
所以AC∥平面EFG，故选项A正确；
对于B，取AB的中点H，则四边形EFGH为截面，
由选项A可得，FG∥AC，FG＝，
同理可得，HE∥AC，HE＝，
所以HE∥HG，且HE＝HG，
故四边形EFGH为平行四边形，
取BD的中点M，则BD⊥AM，BD⊥CM，
又AM∩CM＝M，AM，CM⊂平面ACM，
所以BD⊥平面AMC，又AC⊂平面AMC，
故BD⊥AC，则EF⊥FG，
所以四边形EFGH为正方形，且边长为1，
故截面的面积为1，故选项B错误；
对于C，因为AC∥FG，故异面直线EG与AC所成的角即为∠EGF，
由选项B可得，∠EGF＝，故选项C正确；
对于D，如图所示，因为DA⊥GB，DA⊥GC，且GB∩GC＝G，GB，GC⊂平面GBC，
所以DA⊥平面GBC，
则∠DCG为直线CD与平面GBC所成的角，
在△DCG中，∠DCG＝，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的理解与应用，主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果依然是一个向量． 错误 （判断对错）
【分析】根据已知条件，结合空间向量数量积的定义，即可求解．
【解答】解：空间向量乘法坐标运算结果为一个数字，
故原命题错误．
故答案为：错误．
【点评】本题主要考查空间向量乘法坐标运算，属于基础题．
14．（5分）已知直线l1经过点A（3，0），直线l2经过点B（0，4），且l1∥l2，则l1与l2的距离d的取值范围为 （0，5] ．
【分析】由题意可得AB＝5，d表示l1到l2的距离，再根据0＜d≤AB，可得d的范围．
【解答】解：由题意可得|AB|＝＝5，
d表示l1到l2的距离，再根据0＜d≤AB，
可得 0＜d≤5，
故答案为：（0，5]．
【点评】本题主要考查两条平行线间的距离的定义和范围，基本知识的考查．
15．（5分）已知数列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），则a2020的值是
【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．
【解答】解：数列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），
可得a2＝﹣3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，
a2020＝a673×3+1＝a1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基本知识的考查．
16．（5分）函数的最小值为m，则直线5x+3y﹣15＝0与曲线的交点为 2 个．
【分析】函数＝x+1++2≥2+2＝6，从而得m＝6，然后对曲线取绝对值讨论，
画其与直线5x+3y﹣15＝0图像得交点个数．
【解答】解：因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以数＝x+1++2≥2+2＝6，当且仅当x+1＝，即x＝1时等号成立，
又因为函数的最小值为m，所以m＝6，所以曲线即为+＝1，
当x＞0，y＞0时曲线方程为+＝1，当当x＞0，y＜0时曲线方程为﹣＝1，当x＜0，y＞0时曲线方程为﹣＝1，当x＜0，y＜0时曲线方程为﹣﹣＝1，不成立．
以此可画出其图像，然后画出直线5x+3y﹣15＝0，如图所示可得交点为2个．
【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学运算能力及直观想象能力，所以中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求一个焦点为（5，0），渐近线方程为y＝±x的双曲线标准方程．
【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的a，b，得到椭圆方程即可．
（2）利用焦点坐标，渐近线方程求解a，b，得到双曲线方程即可．
【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，
∵焦距为4，长轴长为6，∴a＝3，c＝2，∴b2＝5，
∴椭圆标准方程为；
（2）由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，
因为渐近线方程为，所以，
又因为双曲线的一个焦点为（5，0），所以a2+b2＝52，
故所求双曲线的标准方程为．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质以及方程的求法，是基础题．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝9，数列{bn+an}是公比为3的等比数列，且b1＝3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式；
（2）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式及错位相减法，计算可得所求和．
【解答】解：（1）数列{an}是公差为d的等差数列，满足a2＝5，a4＝9，
可得a1+d＝5，a1+3d＝9，解得a1＝3，d＝2，即有an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
数列{bn+an}是公比为3的等比数列，且b1＝3，
可得bn+an＝6•3n﹣1＝2•3n，
则bn＝2•3n﹣（2n+1）；
（2）前n项和Sn＝（6+18+…+2•3n）﹣（3+5+…+2n+1）
＝﹣n（3+2n+1）＝3n+1﹣3﹣n（n+2）．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的分组求和，错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19．（12分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点，且点P到抛物线准线的距离不大于10，过点P作斜率存在的直线与抛物线E交于A，B两点（A在第一象限），过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点C．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）求证：直线BC过定点．
【分析】（1）由抛物线的方程可知焦点F的坐标，由|PF|的大小，可得p的值，即求出抛物线的方程；
（2）设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，分别讨论直线BC的斜率存在和不存在两种情况，可证得直线BC恒过定点，
【解答】解：（1）由抛物线的方程可知：焦点F（，0），|PF|＝＝3，
∵p＞0，又点P到抛物线E准线的距离不大于10，
解得p＝2，
抛物线E的标准方程为y2＝4x；
（2）证明：依题意直线AB斜率存在，设AB的方程为y﹣3＝k（x﹣7），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化简得：ky2﹣4y+12﹣28k＝0，k≠0，
Δ＝16（7k2﹣3k+1）＞0，
则，
消去k得：y1y2+28＝3（y1+y2），①
又kAC＝＝＝，则y1+y3＝6，②
由①②得（6﹣y3）y2+28＝3（6﹣y3+y2），
∴3（y2+y3）＝y2y3﹣10，③
（ⅰ）若直线BC没有斜率，则y2+y3＝0，又3（y2+y3）＝y2y3﹣10，
∴＝﹣10（舍去）；
（ⅱ）若直线BC有斜率，因为＝，
直线BC的方程为，即4x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，
将③代入得4x﹣（y2+y3）y+3（y2+y3）+10＝0，
∴，
故直线BC有斜率时过点．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
20．（12分）设数列{an}，{bn}的各项都是正数，Sn为数列的前n项和，且对任意n∈N*，均有，b1＝e，，cn＝an•lnbn（其中e是自然对数的底数）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（1）由，n≥2时，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相减可得：an﹣an﹣1＝1，n＝1时，＝2a1﹣a1＞0，解得a1．根据等差数列的通项公式即可得出an．b1＝e，，
取对数可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．利用等比数列的通项公式即可得出bn．
（2）cn＝an•lnbn＝n•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）∵，n≥2时，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相减可得：﹣＝2an﹣an+an﹣1，又an＞0，可得：an﹣an﹣1＝1，
n＝1时，＝2a1﹣a1＞0，解得a1＝1．
∴数列{an}是等差数列，∴an＝1+n﹣1＝n．
b1＝e，，
可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．
∴数列{lnbn}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴lnbn＝1×2n﹣1，解得：bn＝．
（2）cn＝an•lnbn＝n•2n﹣1．
∴数列{cn}的前n项和Tn＝1+2×2+3×22+4×23+……+n•2n﹣1．
∴2Tn＝2+2×22+3×23+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．
∴﹣Tn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n．
化为：Tn＝（n﹣1）•2n+1．
【点评】本题考查了等比数列与等差数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4，AC⊥PC．
（1）证明：AC⊥平面PBC：
（2）若，求点D到平面PBC的距离．
【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，根据条件得出BE＝1，进而得出∠ABC＝60°，然后根据余弦定理求出AC2＝12，从而根据勾股定理得出AC⊥BC，再根据AC⊥PC，即可得出AC⊥平面PBC；
（2）可得出PB⊥平面BCD，连接BD，可求出CE的值，根据三角形面积公式可求出△BCD的面积，进而求出三棱锥P﹣BCD的体积，可求出△PBC的面积，设D到平面PBC的距离为d，从而用d表示出三棱锥D﹣PBC的体积，然后根据体积相等即可求出d的值．
【解答】解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝2，AB＝4，
过点C作CE⊥AB于E，则BE＝1，可知∠ABC＝60°，
由余弦定理知AC2＝22+42﹣2×2×4×＝12，
则AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，
又AC⊥PC，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC；
（2）解：连接BD，由（1）知平面ABCD⊥平面PBC，因为PB⊥BC，所以PB⊥平面BCD．
又CE＝2×sin60°＝，所以S△CDB＝×2×＝，
所以三棱锥P﹣BCD的体积VP﹣BCD＝××4＝4，
在△PBC中，因为PB⊥BC，所以S△PBC＝×2×4＝4，
设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC＝×4d，
由VD﹣PBC＝VP﹣BCD，得×4d＝4，解得d＝．
所以点D到平面PBC的距离为．
【点评】本题考查了勾股定理，线面垂直和面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，三棱锥的体积公式，三角形的面积公式，余弦定理，考查了计算能力和推理能力，属中档题．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点Q（1，0）且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点T（t，0），使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得a＝3b，再将点代入求得a2，b2，即可得解；
（2）设l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，利用韦达定理求得y1+y2，y1y2，再根据斜率公式计算整理，从而可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得a＝3b，故设椭圆C为+＝1，
又点在C上，
所以+＝1，得b2＝1，a2＝9，
故椭圆C的方程即为+y2＝1；
（2）由已知知直线l过Q（1，0），设l的方程为x＝my+1，
联立两个方程得，消去x得：（m2+9）y2+2my﹣8＝0，
Δ＝4m2+32（m2+9）＞0，得m∈R，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣（*），
kTM•kTN＝•＝•＝，
将（*）代入上式，可得：＝，
要使kTM•kTN为定值，则有9﹣t2＝0，又∵t＞0，∴t＝3，
此时＝﹣，
∴存在点T（3，0），使得直线TM与TN斜率之积为定值﹣，此时t＝3．
【点评】本例考查了利用待定系数法求椭圆方程，考查了椭圆中的定值问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大，属于中档题．