2024年高一上学期数学期末押题卷01（测试范围：必修一全部）

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1．（5分）已知集合U＝{x∈N|0＜x＜8}，A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是（ ）
A．∁UB＝{1，2，7}B．集合U有7个元素
C．A∩B＝{3}D．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}
【分析】分别根据交集，并集，补集的定义即可求出．
【解答】解：U＝{x∈N|0＜x＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，
则A∩B＝{3，4}，
A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，
∁UA＝{5，6，7}，
∁UB＝{1，2，7}．
故选：C．
【点评】】本题考查了集合的基本运算，属于基础题．
2．（5分）设3a＝5b＝m，且，则m＝（ ）
A．B．C．或D．15
【分析】推导出a＝lg3m，b＝lg5m，从而＝lgm3+lgm5＝lgm15＝2，由此能求出m．
【解答】解：设3a＝5b＝m，且，
∴a＝lg3m，b＝lg5m，
∴＝lgm3+lgm5＝lgm15＝2，
解得m＝．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查指数式、对数式的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则t＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由分针、时针每小时所走格数，以及再一次重合时分针比时针多走的格数，
利用路程、速度与时间的关系即可求得结果．
【解答】解：分针每小时走60个格，时针每小时走5个格，
再一次重合时分针应比时针多走一圈，
又每小时分针比时针多走60﹣5＝55（格），
所以再过t＝＝（小时），分针与时针第一次重合．
故选：A．
【点评】本题考查了路程、速度与时间的应用问题，是基础题．
4．（5分）用二分法研究函数f（x）＝x2+3x﹣1的零点时，第一次经过计算发现f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点∈（0，0.5），则第二次还需计算函数值（ ）
A．f（1）B．f（﹣0.5）C．f（0.25）D．f（0.125）
【分析】根据题意，由二分法的步骤分析可得答案．
【解答】解：根据题意，第一次经过计算发现f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点∈（0，0.5），
由于（0+0.5）＝0.25，则第二次需计算f（0.25），
故选：C．
【点评】本题考查二分法的应用，注意二分法的步骤，属于基础题．
5．（5分）下列不等式中正确的是（ ）
A．a+≥4B．x2+≥2
C．≥D．a2+b2≥4ab
【分析】对于选项A、C、D，可举例判断错误，由基本不等式可判断选项B正确．
【解答】解：对于选项A，当a＝﹣1时，a+≥4不成立，故错误；
对于选项B，x2+≥2（当且仅当x2＝时，等号成立），故正确；
对于选项C，当a＝2，b＝8时，＜，故错误；
对于选项D，当a＝1，b＝1时，a2+b2≥4ab不成立，故错误；
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的应用及整体思想的应用，属于中档题．
6．（5分）已知函数f（x）＝csπx（0＜x＜2），若a≠b，且f（a）＝f（b），则的最小值为（ ）
A．B．9C．18D．36
【分析】根据余弦函数的对称性，结合题意得出a+b＝2，再利用基本不等式求+的最小值．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝csπx（0＜x＜2），
当a≠b，且f（a）＝f（b）时，
必有a+b＝（1+x）+（1﹣x）＝2，
∴+＝（+）（a+b）×
＝++≥+2＝，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立；
∴+的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦函数的性质以及基本不等式的应用问题，是中档题．
7．（5分）已知，若对任意的x1，x2∈（1，2），都有（x1≠x2），则实数b的取值范围为（ ）
A．b≥2B．b≤2C．b≥8D．b≤8
【分析】由已知不等式特点考虑构造函数h（x）＝g（x）+x＝2x+，则易得h（x）在（1，2）上单调递减，然后结合对勾函数单调性可建立关于b的不等式，可求．
【解答】解：因为对任意的x1，x2∈（1，2），都有，
不妨设x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）＞x2﹣x1，
所以g（x1）+x1＞g（x2）+x2，
令h（x）＝g（x）+x＝2x+在（1，2）上单调递减，
当b≤0时，显然不符合题意，
当b＞0时，根据对勾函数的单调性可知，≥2，
故b≥8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数单调性的定义，对勾函数单调性的应用，属于中档题．
8．（5分）已知函数f（x）＝3sin2x+mcs2x，若对任意的，恒成立，则x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】构造以m为自变量的一元一次函数g（m）＝mcs2x+3sin2x，将条件转化为解不等式组．
【解答】解：对任意m，3sin2x+mcs2x成立，构造以m为自变量的一元一次函数g（m）＝mcs2x+3sin2x．
所以条件等价于，即，
则（k∈Z），解得（k∈Z），
故x的取值范围是（k∈Z）．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查解三角不等式，三角恒等变换，属于中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列表达式正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角△ABC中，sinA＞csB恒成立
C．
D．∀α，，sin2α+cs2β＜sinα+csβ
【分析】利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断A、C；由且结合诱导公式判断B；作差法比较大小判断D．
【解答】解：A：由题设＝|sinθ﹣csθ|，
又，故，错；
B：由题意且，则，所以，对；
C：，对；
D：由sin2α+cs2β﹣（sinα+csβ）＝sinα（sinα﹣1）+csβ（csβ﹣1），
又α，，故0＜sinα，csβ＜1，故sin2α+cs2β﹣（sinα+csβ）＜0，
所以sin2α+cs2β＜sinα+csβ，对．
故选：BCD．
【点评】本题考查了三角恒等变换，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）可能是奇函数B．f（x）可能是偶函数
C．f（x）+f（﹣x）是偶函数D．f（x）﹣f（﹣x）是减函数
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性的性质，分别判断各选项即可．
【解答】解：对于A，当a＝﹣时，f（x）＝﹣，其定义域为R，
f（﹣x）＝﹣＝﹣，此时f（x）+f（﹣x）＝1﹣1＝0，f（x）为奇函数，A正确；
对于B，若f（x）为偶函数，则f（x）＝+a，f（﹣x）＝+a＝+a，
所以f（x）＝f（﹣x），即+a＝+a，
则＝不成立，故f（x）不可能为偶函数，B错误；
对于C，对于函数f（x）+f（﹣x），其定义域为R，则f（﹣x）+f（x）＝f（x）+f（﹣x），
所以函数f（x）+f（﹣x）为偶函数，C正确；
对于D，f（x）＝+a，函数y＝2x为增函数，则函数y＝2x+1为增函数，故函数f（x）为减函数，
同理f（﹣x）为增函数，故函数f（x）﹣f（﹣x）为减函数，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
（多选）11．（5分）函数（0＜ω＜1）的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．方程在[0，2π]上有5个根
C．函数y＝g（x）sinx的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
【分析】根据三角恒等变换及图象特殊值，求出，进而求出，求出最小正周期，即可判断A；
求出g（x）＝2csx及，结合[0，2π]及函数图象，判断出有5个交点，即有5个根，即可判断B；
求出y＝g（x）sinx＝sin2x，代入检验得到图象不关于直线对称，即可判断C；
当时，，得到的单调性，即可判断D．
【解答】解：＝，
由图象可知：，
所以，解得：，
因为0＜ω＜1，所以，
所以，因为k∈Z，所以k＝0，
所以，此时，所以最小正周期为2π，A正确；
，
则，即，
因为x∈[0，2π]，所以，
画出y＝csx在的图象，如下：
函数图象与有5个交点，故方程在[0，2π]上有5个根，B正确；
函数y＝g（x）sinx＝2sinxcsx＝sin2x，当时，，所以y＝g（x）sinx的图象关于直线不对称，C错误；
，当时，，
故函数在上单调递减，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知正实数a，b满足a＞0，b＞0，且a+b＝1，则下列不等式成立的有（ ）
A．B．a2+b2＜1
C．D．
【分析】利用基本不等式的性质即可求解，注意一正，二定，三等的应用．
【解答】解：∵，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确，
∵a2+b2＜a2+b2+2ab＝（a+b）2＝1，∴B正确，
∵，当且仅当a＝b时取等号，∴C错误，
∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴0＜a＜1，
∵，当且仅当a＝1时取等号，∴a+＞2，D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）函数f（x）＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝ ﹣2 ．
【分析】直接利用函数的性质和三角函数的的定义求出三角函数的值．
【解答】解：函数f（x）＝ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象都过定点P（﹣1，2），且点P在角θ的终边上，
故tanθ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，函数的图象和性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
14．（5分）已知2cs2x﹣sin2x＝Asin（ωx+φ）+b（A＜0），则A＝ ﹣ ，φ＝ ．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出对应的值．
【解答】解：2cs2x﹣sin2x＝cs2x﹣sin2x+1＝，
故A＝，φ＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
15．（5分）已知函数的图象关于坐标原点对称，则ab＝ ．
【分析】由f（x）的图象关于坐标原点对称得f（x）是一个奇函数，根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果．
【解答】解：依题意函数f（x）是一个奇函数，
又2x﹣a≠0，所以x≠lg2a，
所以f（x）定义域为{x|x≠lg2a}，
因为f（x）的图象关于坐标原点对称，所以lg2a＝0，解得a＝1．
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以，
所以，即，
所以，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的性质的应用，函数的奇偶性的应用，是基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝k有且仅有3个不等的实数根，则实数k的取值范围为 （0，1） ．
【分析】方程f（x）＝k的根的个数等价于函数y＝f（x）与函数y＝k的图象交点个数，作出y＝f（x）的图象，结合图象得k的取值范围．
【解答】解：如图，作出函数f（x）＝的图象，
方程f（x）＝k有且仅有3个不等的实数根，
由图象有k的取值范围为0＜k＜1，
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查函数零点个数问题，函数图象的变换，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）设函数f（x）＝x2﹣x+m，且f（lg2a）＝m，lg2f（a）＝2，（a≠1）．
（1）求a，m的值；
（2）求f（lg2x）的最小值及对应的x的值．
【分析】（1）由题意，可由f（lg2a）＝m，lg2f（a）＝2，（a≠1）建立起方程求出a，m的值．
（2）由（1）得，当当时 f（x）取得最小值，故可令求出函数取最小值时x的值
【解答】解：（1）f（lg2a）＝lg22a﹣lg2a+m＝m
∴lg2a（lg2a﹣1）＝0∴a＝1（舍）或a＝2
∴a＝2f（2）＝2+m
∴lg2f（a）＝lg2f（2）＝lg2（m+2）＝2
∴m＝2
综上：a＝2m＝2
（2）
当时 f（x）取得最小值
∴时，f（lg2x）取得最小值
∴时，f（lg2x）最小，
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征
18．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1满足f（2）＝1，且方程f（x）＝x+1有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）是R上的奇函数，且x＞0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式；
（3）若不等式f（x）≤t2+ct+3对一切实数t∈R，x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
【分析】（1）利用f（2）＝1得到4a+2b＝0，再利用方程f（x）＝x+1有两个相等的实数根，得到（b﹣1）2＝0，求出a，b，即可得到答案；
（2）利用奇函数的定义与性质，分别求解x＝0和x＜0的解析式，即可得到答案；
（3）先求出f（x）的最大值，将不等式恒成立问题转化为对一切实数t∈R恒成立，列式求解即可．
【解答】解：（1）∵f（2）＝1，∴4a+2b＝0，
又方程f（x）＝x+1有两个相等的实数根，
即方程ax2+（b﹣1）x＝0有两个相等的实数根，
∴（b﹣1）2＝0，
∴，
∴+1；
（2）因为g（x）是R上的奇函数，且x＞0时，g（x）＝+1，
则g（0）＝0，
设x＜0，则﹣x＞0，
所以g（﹣x）＝﹣g（x）＝，
则g（x）＝，
故；
（3）由（1）可知，，
所以，
因为不等式f（x）≤t2+ct+3对一切实数t∈R，x∈R恒成立，
则对一切实数t∈R恒成立，
即对一切实数t∈R恒成立，
故，解得，
故实数c的取值范围为．
【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数奇偶性定义的应用以及性质的应用，二次函数求解最值的应用以及不等式恒成立的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
19．（12分）已知，．
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求t得an2α的值．
（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
（Ⅲ）先求得 sin2α、cs2α 的值，再利用两角差的正弦公式，求出的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，，
∴tan2α＝＝﹣．
（Ⅱ）由tanα＝﹣，可得＝＝＝．
（Ⅲ）∵sin2α＝＝＝﹣，cs2α＝＝＝＝，
∴＝sin2αcs﹣cs2αsin＝﹣×﹣×＝﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，属于中档题．
20．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性并用定义证明；
（3）解关于x的不等式f（x﹣1）+f（x2）＜0．
【分析】（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，代入可求b，然后根据，代入可求a；
（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；
（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．
【解答】解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，
∴b＝0，f（x）＝，
∵＝．
∴a＝1，∴．
（2）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
证明：令﹣1＜x1＜x2＜1，
∴＝，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0即 f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．
（3）由已知：f（x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），
由（2）知f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
∴，
∴不等式的解集为．
【点评】本题主要考查了奇函数的性质及函数的单调性的定义在单调性的判断中的应用，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数性质的综合应用．
21．（12分）为庆祝建国70周年，某高中准备设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面高与宽的比为a（a＜1），画的上下部分各留出5cm的空白，左右部分各留出8cm的空白．
（1）当a＝时，该宣传画的高和宽分别为多少？
（2）如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张面积最小，并求出此时a的值．
【分析】（1）设画面的高为2x cm，则宽5x cm，由题意得10x2＝4840，求解即可．
（2）设画面的高为x cm，则宽为，根据题意得利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：（1）设画面的高为2x cm，则宽5x cm，由题意得10x2＝4840，解得x＝22，
∴该画的高为：44+10＝54 cm，
宽为：110+16＝126 cm；
（2）设画面的高为x cm，则宽为，根据题意得＝，
当且仅当，即x＝55时等号成立，此时宽为，
∴．
【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式求解函数的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力．
22．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）+kf（x）＝0，其中k为整数，则称函数f（x）为定义域上的“k阶局部奇函数”．
（1）若f（x）＝lg3（2x+m）是（﹣1，1）上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若f（x）＝x2+4x+t，对任意的实数t∈（﹣∞，4]，f（x）恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的最大值．
【分析】（1）根据题意，求出函数的定义域，原问题等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）在（﹣1，1）有解，变形分析可得m2﹣4x2＝1，x∈（﹣1，1），据此分析可得答案；
（2）根据题意，因为f（x）恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+kf（x）＝0恒有解，即x2﹣4x+t+kx2+4kx+tk＝0，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，f（x）＝lg3（2x+m），满足，即m≥2．
因为f（x）＝lg3（2x+m）是（﹣1，1）上的“1阶局部奇函数”，
等价于关于x的方程f（﹣x）＝﹣f（x）在（﹣1，1）有解，即lg3（﹣2x+m）+lg3（2x+m）＝0，
化简得：m2﹣4x2＝1，x∈（﹣1，1），
所以m2＝1+4x2∈[1，5），又m≥2，所以．
（2）根据题意，因为f（x）恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+kf（x）＝0恒有解．
即x2﹣4x+t+kx2+4kx+tk＝0，化简得：（k+1）x2+（4k﹣4）x+t+kt＝0
当k＝﹣1时，解得x＝0，所以k＝﹣1满足题意；
当k≠﹣1时，Δ≥0，即：16（k﹣1）2﹣4t（k+1）2≥0对任意的实数t∈（﹣∞，4]恒成立，
即t（k+1）2﹣4（k﹣1）2≤0对任意的实数t∈（﹣∞，4]成立，
令g（t）＝t（k+1）2﹣4（k﹣1）2，g（t）是关于t的一次函数且为（﹣∞，4]上的增函数，
则g（4）≤0，即：8k≤0，解得：k≤0且k≠﹣1，
综上所述，整数k的最大值为0．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的最值，属于中档题．