福建省南平市高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. ∈N*，，则（20－）（21－)…（100－）等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：由排列数公式即可得到答案，需注意项数．
详解：由题意可得：共有项， ，
故选C．
点睛：本题考查排列及排列数公式，易错点在于项数的计算，属于基础题．
2. 展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到时为常数项，代入求出答案.
【详解】展开式的通项公式为，
令得：，
故
故选：C
3. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）
A. 72种B. 84种C. 180种D. 390种
【答案】A
【解析】
【分析】可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须同色且同色；若4种颜色全用，只能同色或同色，其它不相同，从而可得结果.
【详解】选用3种颜色时，必须同色且同色，与进行全排列，
涂色方法有种；
4色全用时涂色方法：同色或同色，有种情况，
涂色方法有种，
不同的着色方法共有种，故选A.
【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
4. 由组成没有重复数字，且不相邻的六位数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将1、4、5、6四个数全排列，再利用插空法可得答案．
【详解】根据题意，分2步进行：
①，将1、4、5、6四个数全排列，有种排法，
②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排2和3，有种情况，
则有个符合题意的六位数；
故选：C．
5. 为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有（ ）
A. 18种B. 36种C. 68种D. 84种
【答案】B
【解析】
【分析】由题意：2名女教师分派到同一个学校考虑该校否分配男教师，即可求出答案.
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况:
①2名女教师和1名男教师分派到同一个学校，则有种方法.
②2名女教师分派到同一个学校，且该学校没有分配没有男教师，则有：种方法.
故一共有：36种分配方法.
故选：B.
6. 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？
A. 680B. 816C. 1360D. 1456
【答案】A
【解析】
【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”，
个苹果有个空，插入三个 “板”，共有680种方法.
故选：A.
7. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．
【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），
在男生甲被选中情况下，
基本事件总数，
男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：
，
男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是．
故选：C.
8. 的展开式中的系数为（ ）
A. B.
C. 100D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】先利用二项式定理求得的通项公式，再将式子化为，从而得解..
【详解】因为通项公式为，
所以的展开式中的项为
，
故所求系数为.
故选：D.
二、多选题
9. 在的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n的值可能为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合二项式系数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，
当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，
当时，二项式系数最大项是第项，符合题意，
当或时，二项式系数最大项不包括第项.
故选：ABC
10. ，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（ ）
A. 的值最大
B.
C. 随着概率的增大而减小
D. 随着概率的增大而增大
【答案】BD
【解析】
【分析】本题可通过取得出A错误，然后通过得出B正确，最后通过得出C错误，D正确.
【详解】由，取，则，，A错误；
因为，所以，即，B正确，
，
因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，
故选：BD.
11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据概率的加法公式及条件概率公式求解.
【详解】，故A对.
，故B错.
，故C对.
，
，故D对.
故选：ACD.
三、填空题
12. 设的分布列如图，又，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据分布列的性质求出，再求，进一步就可求出.
【详解】由分布列的性质得，得，
从而，
而，
所以.
故答案为：.
13. 的展开式中的系数为__________（用数字作答）
【答案】80
【解析】
【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可.
【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都，
则，系数为80.
故答案为：80
14. A，B两地间有如图所示方格形道路网，甲沿路网随机选择一条最短路径从A地出发去往B地，则甲经过C地的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出从A地到B地总的路径数量，再求出甲经过C地再到B地的路径数量，根据古典概型的概率公式可得答案.
【详解】从A地到B地的最短路径包含向下走4步，向右走4步，且前4步至多只能向右走2步，则总的路径有种，
甲经过C地再到B地的路径数量有种，
故甲经过C地的概率.
故答案为：
15. 杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的《详解九章算法》一书中，辑录了图①所示的三角形数表，这比欧洲早500多年．杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用．借助图②所示的杨辉三角，可以得到，从第0行到第行：第1斜列之和；第2斜列之和．类比以上结论，并解决如下问题：图③所示为一个层三角垛，底层是每边堆个圆球的三角形（底层堆积方式如图所示），向上逐层每边少1个，顶层是1个．则小球总数______．
【答案】或．
【解析】
【分析】根据已知，利用数列求和以及组合数的性质进行计算求解.
【详解】由题可知，在三角垛中，第1层1个球，第2层有1+2个球，第3层有1+2+3，……，
第层有个球，又，
所以三角垛的小球总数为：
.
故答案为：或.
四、解答题
16. 从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数.（所得结果用数值表示）
（1）A，B必须被选出；
（2）至少有3名女生被选出；
（3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数.
（2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数.
（3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数.
【小问1详解】
由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种.
【小问2详解】
从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，
选出的人中有名女生的方法数有,选出的人中有名女生的方法数有.
所以至少有2名女生被选出的选法数为.
【小问3详解】
先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为.
17. 已知展开式前三项的二项式系数和为.
（1）求展开式中各项的二项式系数和；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件利用组合数计算公式求出，进而求二项式系数和；
（2）根据项数直接写出二项式系数最大的项即可.
【小问1详解】
因为展开式前三项的二项式系数和为，
所以，解得或（舍去），
所以展开式中各项的二项式系数和为.
【小问2详解】
由（1）可知为偶数，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
18. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
【答案】（1）
（2）来自丙班的可能性最大
【解析】
【分析】（1）依据题意根据全概率公式计算即可；
（2）根据条件概率公式分别计算，即可判断.
【小问1详解】
设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,
“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，

.
【小问2详解】
；


所以其来自丙班的可能性最高．
19. 已知.
（1）求（所得结果用幂指数表示）
（2）求的值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可得，再令，则，利用赋值法计算可得；
（2）写出二项式展开式的通项，利用通项即可求出.
【小问1详解】
因为，
所以，
令，则，
令可得，
令可得，
所以，即.
【小问2详解】
二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以.
20. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列.
【小问1详解】
记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件，
则；
【小问2详解】
由题意可知的可能取值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
21. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i）0.815；（ii）
【解析】
【分析】（1）服从超几何分布，直接用公式求解.
（2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式求解该问题的输入没有语法错误的概率即可.
【小问1详解】
易知的所有可能取值为
此时，，，
所以的分布列为：
则.
【小问2详解】
（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，
则，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为
.
X
0
1
2
P
1
2
3
4
P
a
0
1
2
3
P