江苏省清江中学、南通部分学校2023-2024学年高二下学期第一次调研（3月）数学试卷（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 规定，其中，且，这是排列数（，且）的一种推广.则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为（ ）
A. 12B. 30C. 34D. 60
4. 展开式中的常数项为（ ）
A. 240B. -240C. 180D. -180
5. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A. 24B. 36C. 42D. 48
6. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 已知平行六面体中，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若的展开式中不含的项，则含的项的系数为（ ）
A. 30B. 32C. 34D. 36
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 二项式系数和为32
B. 各项系数和243
C. 二项式系数最大的项为第2项和第3项
D. 所有偶数项的系数和为122
10. 有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A. 分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B. 分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C. 分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180种分法
D. 分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
11. 在长方体中，是的中点.则（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，且，若能被8整除，则__________.
13. 现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为__________.
14. 已知正方体的棱长为2，M，N，G分别是棱，BC，的中点，Q是该正方体表面上的一点，且.若，则直线NQ与平面所成角的大小为______，若x，，则的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3.
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项.
16. 如图，在三棱柱中，，，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 现有4名男生和3名女生.
（1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
（2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数；
（3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
18. 四棱锥中，，平面平面，.
（1）求点到平面的距离；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19. （1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.