四川省内江市资中县第二中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 下列命题正确的是（ ）
A. 单位向量都相等B. 模为0的向量与任意非零向量共线
C. 平行向量不一定是共线向量D. 任一向量与它的相反向量不相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的基本定义判断即可.
【详解】对A，单位向量模长相等方向不一定一致，故A错误；
对B，零向量与任意非零向量共线，故B正确；
对C，平行向量即共线向量，故C错误；
对D，零向量与它的相反向量相等，故D错误．
故选：B
2. 函数是（ ）
A. 以为最小正周期的偶函数B. 以为最小正周期的偶函数
C. 以为最小正周期的奇函数D. 以为最小正周期的奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，
所以函数的最小正周期，且为偶函数.
故选：B
3. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.
【详解】对于A：，故A不合题意；
对于B：，故B满足题意；
对于C：，故C不合题意；
对于D：，故D不合题意.
故选：B
4. 设，角的终边经过点，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦函数的定义求解的正余弦计算即可.
【详解】因为，故，.
故.
故选：A
5. 若向量，满足：，，且，则与的夹角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目条件直接利用平面向量数量积公式即可求解.
【详解】设向量与的夹角是，，因为， ，所以，又 所以.
故选：D．
6. 若是不平行的两个向量,其中,,则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件求出两参数的关系.
【详解】A、B、C三点共线共线，
存在使

整理得
故选：C
【点睛】本题主要考查向量共线的充要条件以及充要条件的求法，在解决三点共线的问题时，可先证明两向量共线.
7. 若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的性质求解
【详解】若函数是奇函数，
则，得
故选：C
8. 已知函数的图像可由函数(，，)的图像先向左平移个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到，则函数图像的对称中心可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换方式求出，再令()即可求解.
【详解】将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
得到的图像，
再将所得图像向右平移个单位长度，得到，
令()，则()，
故选：B.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数诱导公式一一化简各选项中三角函数式，判断正误，即可得答案.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误，
故选：BC
10. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B 若，则
C.
D 若，，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据平面向量的基本性质判断各选项即可.
【详解】 ，故A正确；
可得，
，则 ，故B正确；
表示与共线的向量，表示与共线的向量，原等式两边不一定相等，故C错误；
当均与垂直时，此时 ，但与不一定相等，故D错误.
故选：AB.
11. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）

A.
B. 若，扇形的半径，则
C. 若扇面为“美观扇面”，则
D. 若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
12. 已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是的一个周期
C. 的值域为D. 的图象关于轴对称
【答案】CD
【解析】
【分析】
代入特殊值检验，可得A错误；求得的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得的范围，利用二次函数的性质，即可求得的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为，所以，
，
所以，所以在区间上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：，
所以不是的一个周期，故B错误；
对于C：，所以的周期为，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，；
综上：的值域为，故C正确；
对于D：，所以为偶函数，即的图象关于轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】解题的关键是根据的解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，，和的夹角是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的定义计算可得.
【详解】因为，，和的夹角是，
所以.
故答案：
14. 函数的图象如图所示，的解析式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据最低点的纵坐标可得，根据周期可得，再代入最低点可得.
【详解】最小值为，故，由图可得，即，
则，故，即.
又，则，
即，又，故.
故.
故答案为：
15. 已知函数在处取到最大值，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式将函数化简得到其中，再由余弦函数的性质及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】因为，其中，
又函数在处取到最大值，
所以，
不妨令，则，
所以
.
故答案为：
16. 在三角形中，在上的投影向量为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据投影公式求，再转化向量，即可求解.
【详解】由题意，，为中点，
由在上的投影向量为，
即，又，
所以，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量与的夹角为，且，.
（1）求
（2）当为何值时，向量与互相垂直．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为向量与的夹角为，且，，
所以，
所以.
【小问2详解】
因为与互相垂直，
所以，即，
即，解得.
18. 已知.
（1）化简函数；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系化简函数即可；
（2）分式中分子分母同除，化弦为切即可求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以.
19. 已知，，且向量与向量的夹角为，
（1）当时，求向量在向量上的投影向量；
（2）当时，求向量在向量上的投影向量．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由定义法求出，再由投影向量的定义计算可得；
（2）首先由定义法求出，从而求出，再由计算可得.
【小问1详解】
因为，且向量与向量的夹角，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
【小问2详解】
因为，且向量与向量的夹角，
所以，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
20. 如图，在梯形ABCD中，，，，G为对角线AC，BD的交点，E，F分别是腰AD，BC的中点，求向量和．
【答案】；
【解析】
【分析】利用封闭图形向量加法、减法运算联立方程组可得，再利用三角形相似求得比例关系即可得.
【详解】因为E，F分别是腰AD，BC的中点，所以，
因为①，②，
可得，
因为，，，
所以，
，
因为，故，而，
故，故；
可得
21. 已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域．
【详解】函数，
当时,解得：，
因此，函数的单调减区间为．
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，
，，
的值域为．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.
22. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=

（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值
（3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案.
【小问1详解】
因P,R,C共线，则存在使，
则，整理得.
由共线，则存在使，
则，整理得.
根据平面向量基本定理，有，
则.
【小问2详解】
由（1），，，
则，，.
则；
【小问3详解】
由（1）知，则.
由共线，设.
又.
则
.
因，则，则.