第06讲三角函数的图象与性质（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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知识导图
考点分类讲解
考点一：三角函数的运算
1．同角关系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．诱导公式：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二级结论 (1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin α0)图象的步骤
规律方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq \f(M＋m,2)，A＝eq \f(M－m,2).
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
例题
一、单选题
1．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点成中心对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称
2．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1B．C．D．3
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
三、填空题
5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
6．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．

考点三：三角函数的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项．
例题
一、单选题
1．（22-23高三上·广东清远·期末）已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·贵州黔东南·一模）已知函数图象两个相邻的对称中心的间距为，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山东·二模）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．的最小正周期为2π
C．在区间上单调递增D．方程在区间上有2个实根
4．已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知满足，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2022·江苏·二模）已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数图象的一条对称轴是
C．若，则函数的最小值为
D．若，，则的最小值为
三、填空题
7．（2022·山西晋中·模拟预测）已知函数，且在上单调递增，则满足条件的的最大值为 .
强化训练
一、单选题
1．设函数，其中均为非零常数，若，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．不确定
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A．B．
C．D．
3．为了得到函数的图象，需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
4．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间（ ）上单调递增.
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·江西上饶·二模）已知函数的图像向左平移个单位长度后，得到偶函数的图像，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
8．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2020·山东·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．既是周期函数又是奇函数
D．的最大值为
11．下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．若，则 .
13．函数（）的最大值是 ．
14. （2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
四、解答题
15．（1）已知且，求和的值；
16．已知函数.
(1)求的值；
(2)已知，若对任意，都有，求实数的范围.
17．已知函数，且.
(1)若，求的值；
(2)若函数满足，求的值.
18．（1）化简：；
（2）已知关于的方程的两个根为和，求的值.
19．（1）已知，求的值.
（2）已知为锐角，且，求的值.
（3）化简