培优点06概率与统计的创新题型（2大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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知识导图
考点分类讲解
考点一：概率和数列的综合问题
规律方法 概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
【例1】（2024·山东菏泽·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两数都是正数的概率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分类讨论及通项公式的特点，再利用组合数公式和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可求解.
【详解】为奇数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，，故A错误；
为偶数时，前项中有个奇数项，即有个正数，
，
，，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数列的通项公式的特点分类讨论，利用组合数和古典概型的概率的计算公式求出概率的通式即可.
【变式1】（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式2】(2023·晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观(如王家大院，常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等)．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是eq \f(2,3)，选择自然景观的概率为eq \f(1,3)，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为Pn，求Pn.
【解析】 (1)由题可知X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(2,3)))(或者列出分布列)，于是E(X)＝5×eq \f(2,3)＝eq \f(10,3)，
D(X)＝5×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(10,9).
(2)方法一 由题可知P1＝eq \f(1,3)，
P2＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,9).
当n≥3时，Pn＝eq \f(1,3)Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
即Pn＋eq \f(2,3)Pn－1＝Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn＋\f(2,3)Pn－1))为常数数列，
且Pn＋eq \f(2,3)Pn－1＝P2＋eq \f(2,3)P1＝eq \f(7,9)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝1(n≥2)，
∴Pn－eq \f(3,5)＝－eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Pn－1－\f(3,5)))，
∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Pn－\f(3,5)))是以P1－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)为首项，－eq \f(2,3)为公比的等比数列，
∴Pn－eq \f(3,5)＝－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1.
方法二 由题可知P1＝eq \f(1,3)，
P2＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,9).
当n≥3时，Pn＝eq \f(1,3)Pn－1＋eq \f(2,3)Pn－2，
即Pn－Pn－1＝－eq \f(2,3)(Pn－1－Pn－2)，
∴{Pn－Pn－1}是以P2－P1＝eq \f(4,9)为首项，－eq \f(2,3)为公比的等比数列，
∴Pn－Pn－1＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－2(n≥2)，
Pn－1－Pn－2＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－3，
……
P2－P1＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))0，
以上各式相加得Pn－P1＝eq \f(4,9)×eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))
＝eq \f(4,15)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1，
又P1＝eq \f(1,3)也满足上式，
∴Pn＝eq \f(3,5)－eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))n－1.
【变式3】(2023·邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛．比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设某选手答对每道题的概率均为p(04的n的最小值．
参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.
解 (1)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝p2，
所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，
由E(X)＝p2＋p＋1>1.75得p>eq \f(1,2)，
又08.848，又n∈N*，故n的最小值为9.
考点二:概率和函数的综合问题
规律方法 构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．
【例2】（2024高三·全国·专题练习）设为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数x的最大整数，则的最小值为 ．
【答案】/0.2
【分析】赋值法求出，结合导数判断，确定结合等差数列求和公式得，将转化为点点距的平方进而求解.
【详解】令可得，，，
设，则，
令，得
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
则
故对任意的，
故，故，即
，
则的几何意义为点到点的距离的平方，
最小值即点到的距离的平方，
与的交点横坐标，
且点到直线的距离，
点到直线的距离，
的最小值为
故答案为:
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出，进而确定.
【变式1】（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为；若前一题答对，则此题答对的概率为.记甲同学回答第题时答错的概率为，当时，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
写出甲同学回答第题时答错的概率，构造得到数列是等比数列，从而利用等比数列通项得到数列递减，由函数单调性即可得到答案.
【详解】因为回答第题时有答对、答错两种情况，则回答第题时答错的概率，
所以，
由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即.
显然数列递减，所以当时，，
所以的最小值为.
故选：D.
【变式2】(2023·浙江金丽衢十二校联考)某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立．已知生产一件产品的利润如下表：
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值；
(3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－ln n(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由．
(ln 2≈0.69，ln 3≈1.1)
【解析】(1)设一件产品是一等品为事件A，则一件产品不是一等品为事件eq \x\t(A)，P(A)＝0.5，P(eq \x\t(A))＝0.5,2件产品至少有一件为一等品事件为AA＋Aeq \x\t(A)＋eq \x\t(A)A，
其概率P＝P(AA)＋Ceq \\al(1,2)P(A)P(eq \x\t(A))＝0.52＋2×0.5×0.5＝0.75.
(2)设一件产品为一等品为事件A，二等品为事件B，次品为事件C，
则P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，
则ξ的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6，
P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01，
P(ξ＝0.3)＝Ceq \\al(1,2)P(B)P(C)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(ξ＝0.5)＝Ceq \\al(1,2)P(A)P(C)＝2×0.5×0.1＝0.1，
P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16，
P(ξ＝1.4)＝Ceq \\al(1,2)P(A)P(B)＝2×0.5×0.4＝0.4，
P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25，
则ξ的分布列为
E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22.
(3)由(2)可知，每件产品的平均利润为1.22÷2＝0.61(万元)，则增加n件产品，利润增加为0.61n万元，成本也相应提高(n－ln n)万元，
所以净利润为0.61n－n＋ln n＝ln n－0.39n，n∈N*，
设f(x)＝ln x－0.39x，则f′(x)＝eq \f(1,x)－0.39，
当x0，f(x)单调递增，
当x>eq \f(100,39)时，f′(x)