第23节 双变量问题之极值点偏移 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通

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1.设函数在定义域上有极值点，但由于函数在极值点左右两侧的增减速率不对称，造成函数的图象不关于直线对称，那么当时，极值点会偏向或中的某一个，也即或，在给定的函数背景下，证明上面的两个不等式，这类问题称为极值点偏移问题.
2．极值点偏移问题常用的解题方法有三种：
（1）构造对称差函数，研究其单调性，证明不等式；
（2）通过变形，转化为双变量问题，用齐次换元化归成单变量不等式证明问题；
（3）利用对数平均不等式证明.（由于在作答时要先证明此不等式，故一般正式作答时不使用此法）
3.对数平均不等式：设，，且，则.
典型例题
【例1】已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）设，若，证明：.
【例2】已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，，证明：.
强化训练
1.已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实根，，证明：.
2．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若的图象与x轴有两个交点，，且，证明：.
3.已知函数有两个不同的极值点，
（1）求a的取值范围；
（2）证明：.