海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知在中，，则（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知向量，，，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知为第二象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，为测量河对岸一点与岸边一点之间的距离，已经测得岸边的，两点间的距离为，，，则，间的距离为（ ）

A. B. C. D.
5. 在中，已知，，若有两解，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设为的重心，则（ ）
A. 0B. C. D.
7. 如图，在边长为2正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ）
A. 1B. 3C. D.
8. 中，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知函数,则下列描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 是函数图象的一个对称轴
C. 是函数图象一个对称中心
D. 若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数
10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ）
A. 当时，满足条件的三角形共有个
B. 若则这个三角形的最大角是
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则为等腰直角三角形
11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则___________.
13. 若向量满足，且在上的投影向量为，则__________.
14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量，，．
（1）若，求x值；
（2）若，求的值．
16. 如图，中，已知，，，，，AM，BN相交于点P.设，.
（1）用向量，表示；
（2）求，夹角的余弦值.
17. 在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

（1）刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
（2）缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
18. 请在下列三个条件中选择一个填入横线中并完成问题（如果多选则按第一个评卷．）
①；②；③．
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________．
（1）求角C；
（2）若面积为，且，求c．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，设点为的费马点，求；
（3）设点为的费马点，，求实数的最小值．