专题1.1 函数对称性周期性问题（被反复考察的题型）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

这是一份专题1.1 函数对称性周期性问题（被反复考察的题型）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用），文件包含专题1-1函数对称性周期性问题被反复考察的题型原卷版docx、专题1-1函数对称性周期性问题被反复考察的题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。


【函数对称性】
，关于对称是偶函数
，且关于对称是奇函数
周期：一由对称轴与对称中心的距离推出周期T（参考三角函数图像），
偶尔也会出现这个式子
例：若题目中给出是偶函数
证：设关于对称，通过函数图像的平移和伸缩变换求出a的值
2022新高考1卷第12题——涉及2个函数，需要求导
1．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
2022全国乙卷第12题——涉及2个函数，不需要求导
2．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
点评：含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2021全国甲卷（理）12题——借助二级结论，求出其周期性进而达到简便计算
3．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
2021全国甲卷（文）12题——易得周期
4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
2021新高考2卷第8题——借助二级结论易得出周期
5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2022年全国乙卷（文）16题——考察奇偶函数定义域的对称性
6．若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
重点题型·归类精讲
题型一 不涉及导数
广东省汕头市2023届高三上学期期中·8
已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是
A．函数的周期为B．函数的周期为
C．D．
【答案】C
【分析】推导出，，可推导出函数的周期，可判断AB选项的正误；利用函数的周期性和对称性可判断CD选项的正误.
【详解】因为函数为奇函数，则，
令，则，
所以，对任意的，，
故函数的图象关于点对称，
因为函数为偶函数，则，
令，可得，
所以，对任意的，，故函数的图象关于直线对称，
所以，，
所以，，则，
所以，函数的周期为，AB都错；
对任意的，，令，可得，
，
的值不确定，C对D错.
2023届深圳市二模·15
已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.
【答案】
【解析】因为为奇函数，则，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因为，则，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函数为周期函数，且该函数的周期为，
所以，.
2023·福建·厦门外国语学校5月适应性考试·12
（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
山东省潍坊一中、山东师大附中等齐鲁名校2023届高三第二次学业质量联合检·12
（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】BCD
【解析】由，得．
由是奇函数，得，即，
所以，即，所以，故选项A错误；
由，得，由，得，所以，故选项B正确；
由，，得，即为偶函数，故选项C正确；
由，，得，则，
即为奇函数，故选项D正确．
2023广东茂名高三一模·10
（多选）已知函数对，都有，为奇函数，且时，，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图像关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意为奇函数得，即，
故的图像关于中心对称，故A正确；
由，得，
所以，即是周期为4的函数，故B错误；
由，令，则，
故，故C正确；
时，，
∵的周期为4，∴，故D正确，
故选:
2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模
（多选）已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（ ）
A．的周期是B．的图象关于点对称
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.
【详解】由得，，所以的周期是．A正确．
因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．
根据偶函数的对称性，C显然正确．
当时，，则，即；
当时，，则，即．
所以D正确．
故选：ACD．
湖南郴州九校联盟5月适应性考试·16
已知定义在R上的函数f(x)在上单调递增，且函数f(x)－1为奇函数，则f(3x＋4)＋f(1－x)＜2的解集为_________.
【答案】
【解析】
函数为奇函数函数关于(0,1)中心对称f(1－x)+f(－1+x)=2
又在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
，
∴3x＋4＜x－1，∴.
福建泉州2022届高中毕业班监测（一）·16
已知函数的定义域为 R ， f  x  2 为偶函数， 为奇函数，且当 x 0,1 时，
f (x)  ax  b ．若，则________.
【答案】50
简证：
第一步：分析奇偶性
f  x  2 为偶函数关于x=2对称，
为奇函数关于（1,0）对称，故T=4
第二步求出解析式，由对称性画出大致图像
由对称性可知：，
，，画图略
第三步通过周期求值，取1，2,3,4时
，，，
，
而
由此，规律为：
湖北圆创高三下5月联考·10
(多选)已知函数和都是偶函数,当x∈[0，1]时，，则下列正确的结论是
A.当x∈[－2，0]时，
B．若函数在区间(0，2)上有两个零点x1，x2，则有x1＋x2＜2
C.函数在[4,6]上的最小值为
D.
【答案】ACD
【解析】易知关于x=0和x=1对称，T=2，画出图像，A对
对于B，令，设x1令，
找中间数，，故x1<
，故x1>
，故x1>
综上x1＋x2>2
法二：类似极值点偏移思路
需要比较x1关于直线x＝1的对称点2－x1与x2的大小关系，
若2－x1>x2则x1+x2<2，若2－x12.
令，即比较与的大小关系，
，令
对于C，易知x=6时取到最小值，C对
对于D，
，由对称性可知
，，故，即，D正确
题型一补充(1)：由对称性求方程根之和
广东省一模·15
已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则___________.
【答案】24
【解析】由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，
由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，
所以在的大致草图如下：
要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于对称，则.
广东省六校2023届高三上学期第一次联考·8
定义在R上的函数满足；且当时，
．则方程所有的根之和为（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】根据题中所给的函数性质可得的周期为4且关于，再画图分析与的交点对数，进而根据对称性可得根之和即可.
【详解】由可得为奇函数，且关于对称.
又由题意，故，所以关于对称，且，故的周期为4.
又当时，，此时，故在为增函数.综上可画出的函数部分图像.
又方程的根即与的交点，易得在区间上均有3个交点，且关于对称，加上共7个交点，其根之和为
题型一补充(2)：由解析式得出对称性
山东·潍坊三模·12
(多选)已知函数，实数a满足不等式，则a的值可以是
A．B．1C．D．3
【答案】CD
【分析】根据函数解析式判断出函数对称性，根据函数导数判断函数单调性，根据函数单调性将外函数的大小比较转化为内函数大小比较即可.
【详解】因为，
所以，
所以关于对称，
，
当且仅当，即时等号成立，
又因，所以恒成立，则是增函数，
因为，所以，
则.
故选：CD.
2023·湖南郴州·统考三模
已知函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数关于对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】，
，
所以函数关于对称，
，
，，
恒成立，则是增函数，
由，则
则，得，
故选：A
2022届深圳一模·8
已知函数，其中为实数，则
A．在单调递增B．在单调递减
C．曲线是轴对称图形D．曲线是中心对称图形
【答案】C
【分析】由解析式易得且定义域为且即可判断C；对求导，并讨论、研究在上的符号判断A、B；根据是否为定值判断D.
【详解】由题设，，定义域为且，
所以关于对称，C正确；
又，
当时，不妨假设，则，显然，此时在上有递减区间，A错误；
当时，在上，即在上递增，B错误；
由，不可能为定值，故D错误.
2023届广东七校第一次联考·8 & 2017全国三卷文·12/理·11
已知函数有唯一零点，则
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
题型二 涉及导数
2023·山东聊城·统考三模
已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，恰有四个零点，则这四个零点的和为________．
【答案】4
【分析】根据题意，由条件可得为偶函数，可得其所有零点之和为0，然后即可得到结果.
【详解】将函数向左平移1个单位，所以，
因为是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知，是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则为偶函数，
所以为偶函数，
又因为函数恰有四个零点，即函数恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于轴对称，其四个零点之和为0，
而是由向左平移了1个单位，
所以的四个零点之和为4.
长沙市长郡雅礼一中师大四校5月“一起考”·15
设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，根据函数的奇偶性，对称性，周期性分析即可求解.
【详解】因为函数，的定义域均为R，且函数为偶函数，
则，
求导得，
即，
所以函数的图像关于对称．
因为函数为偶函数，
所以，
所以函数的图像关于对称，
由函数的图像关于对称，且关于直线对称．
所以函数的周期为，．
由，，
，
所以，即，即，
所以当时，
于是．
2023·湖北省一模·7
已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，则（ ）
A．11B．9C．0D．
【答案】A
【详解】因为对任意的，即，
所以为奇函数，故．
由得，，
即，
设，则为奇函数，，且，
所以图像关于直线对称，
由得，，
所以，
所以
所以的周期为4．
所以，所以，
由求导可得，所以关于对称，所以
由对称性可知图像关于直线对称，
因为，所以，
所以，
所以
所以的周期为4，所以，
又，所以，
所以．
2023届珠海一中5月适应性训练·8
已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，
为偶函数，且，，则（ ）
A．670B．672C．674D．676
【答案】D
【分析】运用抽象函数的奇偶性表达式及导数运算可得的一个周期为3，再运用赋值及周期性计算可得一个周期内的和，进而可求得结果.
【详解】∵为奇函数，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，①
又∵为偶函数，
∴，②
∴将②中换成得：，③
∴将③中换成得：，④
由①④得：，
∴的一个周期为3，
∴，
将代入③得：，
∴
又∵，
∴.
2022年T8第一次联考·7
已知函数f(x)及其导函数的定义域均为R，记，若为奇函数，为偶函数，则
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
法一：找出一个满足条件的函数解析式
为奇函数为偶函数，且也为偶函数
设，为偶函数，故，则，即
法二：对两边求导
∵g(x)为偶函数，∴，
即，两边同时对x求导得，
即，令x＝0，则，
为奇函数，，又，即，
联立，得，即，
，故选C．
2024届黄冈市9月高三第一次调研·8
已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，，
所以，
对两边同时求导，得，所以有
所以函数的周期为，
在中，令，所以，
因此，
因为为偶函数，
所以有，
，
由可得：，
所以，
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是对两边同时求导，再利用赋值法进行求解.
2023汕头市三模·12
（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由为偶函数，可得的图象关于直线对称，由为奇函数，可得的图象关于对称，再由，可得的图象关于对称，然后逐个分析判断即可.
【详解】因为为偶函数，所以，
令，则，所以，即，
所以的图象关于直线对称，
所以，所以D正确，
由，得，
所以，所以，
所以的图象关于对称，
因为为奇函数，所以，
所以的图象关于对称，
所以的周期为，
令，则，所以，
所以
所以，所以C正确，
因为的周期为2，所以，
因为的图象关于对称，所以，所以不一定成立，所以B错误，
由，可得，所以（为常数），所以，此式不一定为零，所以A错误，
故选：CD
山东德州市三模·8
已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（ ）
A．13B．16C．25D．51
【答案】C
【解析】由，令，得，所以．
由为奇函数，得，所以，
故①．
又②，
由①和②得，即，
所以，③
令，得，得，
令，得，得．
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，
故，
所以，
所以
，
2023届杭州二模&长郡中学二模·10
(多选)已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则（ ）
A．B．的一个周期是4C．是偶函数D．
【答案】BC
【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与导数运算可得，从而可判断C项，在中，令代入计算可判断D项.
【详解】因为函数是奇函数，，
所以，
所以，即：，故的周期为4，
所以，故的一个周期为4，故B项正确；
，故A项错误；
因为函数是奇函数，
所以，
所以，即：，
所以为偶函数，故C项正确；
因为，
所以，
令，可得，解得：，故D项错误.
浙江宁波二模·10
已知函数与及其导函数与的定义域均为，是偶函数，的图象关于点对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】先证明定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．令，即可判断A，D；令，即可判断B，C．
【详解】定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
故下面可以直接引用以上定理．
由是偶函数，的图象关于点对称，则有，，
由定理1，则图象关于点对称，所以，
和定理2，则的图象关于，所以，
对于A，令，则，所以，故A正确；
对于B，令，则，所以，故B正确；
对于C，令，则，所以，故C正确；
对于D，令，则，所以，故D错误．
浙江嘉兴二模·8
设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意令可得，即函数图象关于对称，即可判断A；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数的周期为2，即可判断BD；由知函数图象关于直线对称，举例说明即可判断C.
【详解】A：
令，得，则函数图象关于点对称.
若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，
得，即①，
又，为偶函数，所以②，
由①②得，所以函数的周期为2.
所以，即，故B正确；
C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.
令，若，
则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，
所以，故D正确.
题型二补充：涉及导数，且有2个函数
2023届汕头一模·8
已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
湖北恩施二中5月适应性训练·11
（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数B．函数的图像关于点对称
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
2023浙江省浙南名校、七彩阳光联盟2月返校考·12
（多选题）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于对称
C．D．
【答案】AC
【解析】因为为奇函数，所以，取可得，A对，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，B错，
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；
因为，所以，，
所以，故函数为周期为4的函数，
所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，
所以
，C对，故选：AC．
左移1个单位得
再把横坐标变为原来的一半得
对称轴