专题2.3 焦点弦和焦半径公式在高考中的应用-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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比如说2022年全国一卷第16题，硬做当然可以做出来，但是不仅容易翻车而且很耗时间，就算真算对了，在考场上又有几人有魄力相信的答案呢？
不过，必须指出的是二级结论要想在考场上玩的转，必须熟练掌握，注意是必须，光知道是不够的。
有人认为只要知道它在那里，可以考场上推一次再用，然而以某人某段时间的悲惨经历可以告诉大家：“你，想多了”。
因为现推耗时耗力不说，在考场上大部分人是推不出的。
其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。
再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？
怎么会用？
从实际操作的角度来讲，我们必须记忆。
记得我的高中数学老师第一节课就曾说过：“数学好的第一个必要条件就是记忆力好”。
当然，不是指死记硬背，更不是指不要死记硬背。
某些同学曾经陷入过一个误区，认为只要理解就可以记住或者只要在刷题中巩固就可以熟练掌握。
这其实是矫枉过正，我们过度重视了理解与实践，而在最基本的层面上一些机械性的成分其实必不可少，因为机械记忆是所谓一切种种的根基所在。
真的，各位千万不要忽略记忆的重要性，某些同学深受其害，只到高三才意识到事情的严重性。
因为，如果你不先记住，怎么在刷题中想到去应用去实践？
而且理解了也不代表掌握，功利地讲，在考场上如果不能直接运用结论，理解其实也没什么用。
不过话说回来，我并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视。
椭圆焦半径与焦点弦夹角公式
焦半径长公式：（长），（短），
证明：在中，由余弦定理得，
将代入得：，
移项合并得：，
同理，在中，由余弦定理得，
将代入化简得：
则
焦点弦被焦点分成定比：若，则（注：抛物线默认e=1）
简证：
交叉相乘得：
双曲线焦半径与焦点弦夹角公式
已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦
情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α
【答案】情况1：
在中，由余弦定理得，
将代入得：，
移项合并得：，
同理可得：，则.
情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β
【答案】情况2：
在中，由余弦定理得，
将代入得：，
移项合并得：，
同理可得：，则.
抛物线焦半径公式：抛物线焦半径与焦点弦公式相信同学们都比较熟悉，这里就不证明了
记抛物线，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，直线AB与x轴夹角为
焦半径（短）：；焦半径（长）：；，
2022年新高考I卷第16题
已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
重点题型·归类精讲
题型一 椭圆焦半径最值
2023·深圳市一模
若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ．
2023届·温州市第一次适应性考试（11月）
已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 ．
题型二 抛物线焦点弦与焦半径公式
已知抛物线EQ y\S\UP6(2)＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则__________；的最小值为__________.
湖南师范大学附属中学2023届高三上学期第一次月考
(多选)已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A.直线过焦点时，最小值为4
B.直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C.若中点的横坐标为3，则最大值为8
D.点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
佛山二模第11题—无坐标系，焦半径公式与交点弦公式
(多选)如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）
A. B. 四边形的面积为100
C. D. 的取值范围为
已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
题型三 椭圆焦点弦公式与焦半径公式
2023浙江绍兴二模T16——椭圆的中的对称
已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
2023·浙江嘉兴二模
已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
如图F是椭圆的右焦点，过点F作条与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于点A，B，线段AB的中垂线l交x轴于点M，证明：
题型四 双曲线焦点弦与焦半径公式
2023湖南雅礼中学高三月考T16
过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.
2023届·山东省新高考3月联合质量测评
过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ．（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）
2023青岛三模T8——2个二级结论
已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________．
题型五 焦点弦被焦点分成定比
若AB是过焦点的弦，且，则
2024届·浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16
已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率 ．