专题3.2 立体几何中的最值问题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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三元均值不等式：，
应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值
（1）；（2）
可以跳过求导的操作得出最值
2022新高考1卷第8题
1．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
[方法二]：基本不等式法（3元）
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
2022年全国乙卷·文12·理9
2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
重点题型·归类精讲
题型一 利用基本不等式求最值
2024届·江苏省南京外国语学校阶段测（10月）
已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为 ．
【答案】8
【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.
【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以由长方体模型可知，，即.
，当且仅当时，取等号.
即的最大值为
已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．
【答案】
【详解】试题分析：设正六棱柱的底面边长为，高为，则，正六棱柱的体积
，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为，所以外接球的表面积为．
广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题
足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值.
【详解】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径.
由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为
故选:C
已知长方体的外接球O的体积为，其中，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】A
【分析】设，根据长方体的外接球O的体积和，可求得外接球的半径，根据基本不等式求得的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案；
【详解】设，
∵长方体的外接球O的体积为，，
∴外接球O的半径，
∴，
∴，
∴，
∵O到平面的距离，
，
∴三棱锥的体积．
∴三棱锥的体积的最大值为1．
将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解.
【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由与相似，可得，则，
所以圆柱的体积为，所以圆柱的最大体积为，此时.
已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式，面积最大时的外接圆半径为，中边上的高为，的最大值等于，可求三棱锥体积的最大值.
【详解】如图，设为的外心，则为的中点，又设，中边上的高为.

由已知，，，
当且仅当等号成立，即当时，面积取得最大值4.
此时，.
显然，的最大值等于，故，即三棱锥体积的最大值为.
题型二 由几何性质得出最值
已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】D
【分析】设是的外心，即可得到，再根据球的表面积求出球的半径，即可得，当且仅当、、三点共线且平面和点位于点异侧时，三棱锥的体积最大，再由勾股定理计算可得.
【详解】在中，根据正弦定理，可得，所以．
如图，设为的外心，则为AC的中点，且，由于球O的表面积为，所以球O的半径，当，，三点共线且平面CAB和点S位于点O的异侧时，
三棱锥的体积最大．此时
三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（ ）
A．2B．
C．D．
【答案】C
【分析】设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，利用勾股定理求出，再求出到平面的距离，即可求出到平面的距离最大值，最后算出，即可求出；
【详解】解：因为为等边三角形，为的中点，所以，即为直角三角形，设的中点为，则的外接圆的直径为，圆心为，半径为，设三棱锥的外接球的半径为，球心为，则，解得，又平面，平面，所以，所以的外接圆是以为直径的圆，设的中点为，则，所以，即到平面的距离为，所以到平面的距离最大值为，又，所以；
已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）

A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，由余弦定理可得，再由正弦定理可得的外接圆半径，再由勾股定理即可得到结果.
【详解】
因为圆的面积为，所以圆的半径，因为母线与底面所成角的余弦值为，所以，所以圆锥的高，
因为点在底面圆周上，所以，要使三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即，此时.
在中，由余弦定理得，所以，
由正弦定理得的外接圆半径，设的外接圆的圆心为，即，设圆锥的外接球的球心为，半径为，连接，依题意，在上，在中，，解得，即，
在中，，所以，所以当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为.
设A，B，C，D是同一个直径为8的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点M为三角形ABC的中心，为球心，当为MO与球的交点，判断出当平面，此时三棱锥体积最大，然后进行计算可得.
【详解】如图所示，
设点M为三角形ABC的中心，为球心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
则，所以,
所以点M为三角形ABC的中心，所以，
中，有，
，
.
题型三 结合导数求最值
（2023·深圳·高二期末）如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 .
【答案】
【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为，高为，利用相似关系可知，由此可将正三棱柱体积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值.
【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆；
要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆；
设小圆的半径为，正三棱柱的高为，
，解得：；又正三棱柱的底面三角形面积，
正三棱柱的体积，则；
当时，；当时，；
当时，.
2023届·广东省汕头市三模
将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值.
【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，
由球的体积为，则，解得，
，即，故，
正三棱锥的体积为：，
，
由得：，此时函数单调递增，
由得：，此时函数单调递减，
当时，取得最大值，且最大值为.
盐田高级中学2023届高三上学期11月月考
已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A．B．18C．D．27
【答案】C
【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于的函数，利用导数求函数的最值..
【详解】如图，设正四棱锥的底面边长 ，高为h，外接球的球心为,
则，
∵球的体积为，所以球的半径，
在中，，
所以正四棱锥的体积，
整理为，
，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得最大值，.
已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数.
【详解】由题意，圆锥的母线长为3，
设圆锥的底面半径为，高为，则，，
∴
体积：，
∴，
∴当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，取得最大值，
此时，侧面展开图的圆心角.
2023届·湖北省高中名校联盟（圆创）高三下学期第三次联合测试
已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 .
【答案】
【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，
如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，
要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，
因为是正三棱锥，所以D是的中心，
所以，
又因为，所以，
，
所以，
令，
解得或，
当，；当，，
所以在递增，在递减，
故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.
云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）
已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解.
【详解】
如图，设高为，底边长为，
则，
又，∴，
又，，
,
所以当时，，当时，，
所以函数在单调递增，单调递减，
故
2023届·南京师范大学附属中学5月模拟
在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设内接圆柱的底面半径为r，高为h，由轴截面中相似三角形把用表示，求出体积后利用导数求最大值及取最值时高的条件．
【详解】
设内接圆柱的底面半径为r，圆柱体的高为h.
是圆柱上底面与三棱锥侧面的切点,是连接直线与棱锥下底面的交点，
是圆柱上底面所在平面与的交点，
，，

则由与相似，可得,可得，可得.
内接圆柱体积.
因为，
单调递增,单调递减,
所以有最大值，此时.
已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知该几何体的体积为，令，求导得到当时取得最大值，从而利用球的体积公式即可求解.
【详解】由题意可知该几何体的体积为，
令，则，
令，得（舍去），
则时，，单调递增，时，，单调递减，
故当时，取得最大值，此时该几何体的体积最大．
则以2为半径的球的体积为．
直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 .
【答案】
【分析】设正六边形的边长为a, ,表示出直六棱柱的体积建立方程,将a用x表示,该六棱柱的外接球的直径为BC,可求出外接球的表面积，利用导数研究函数的最值即可.
【详解】如图，
设正六边形的边长为a,则底面面积，设，(x>0)，
则六棱柱的体积为即，故
而该六棱柱的外接球的直径为，
所以该六棱柱的外接球的表面积为，
令，则,令,解得x=2，
当 时, ,单调递减，
当时, ，单调递增,
所以当时，取最小值，
所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值是
设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．18C．20D．
【答案】D
【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值.
【详解】设球的半径为r，则，即.
设球心到四棱锥的底面距离为x，则正方形的对角线长为，则正方形的边长为，
则四棱锥的底面积为，
当棱锥的高为时，四棱锥的体积最大，
则四棱锥的体积，
，
由得，由得，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值为.
某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，可知四棱锥为正四棱锥，由勾股定理可得出，分析得出，可设，，其中，可得出，令，，利用导数求出取最大值时对应的的值，求出的值，可得出的长，进而可求得结果.
【详解】如下图所示，可知四棱锥为正四棱锥，设，则球心在直线上，
设，，则，
由勾股定理可得，即，
当四棱锥的体积最大时，则点在线段上，则，
可设，，其中，
，
令，，
则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，，
此时，，则，
因此，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是.
如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据轴截面求出圆锥底面圆的半径，设出圆柱形冰块的底面半径，用含的式子表达出圆柱形冰块的高，从而得到圆柱形冰块的体积关于x的表达式，用导函数求解最大值.
【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得:，，
设圆柱形冰块的体积为，则.
设，则，当时，；
当时，，故在取得极大值，也是最大值，所以，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为
2023届·湖南师范大学附属中学第一次月考
在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，可得的具体形状，由折叠，可得当面面时，此时的点到底面的距离最大，设，将四棱锥中底面积和高，都用表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案.
【详解】由得，由余弦定理得，
则是直角三角形，为直角，对的任何位置，当面面时，此时的点到底面的距离最大，此时即为与底面所成的角，
设，
在中，，
点到底面的距离，
则，
，
令，解得，可得下表：
故当时，该棱锥的体积最大，为.
已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】设球心到底面距离为，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论．
【详解】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心），
设正四棱锥底面边长为，则，，设，
则由得，，，，
，
， 当时，，递增，时，
，递减，∴时，取得极大值也是最大值．
此时高，，．
故选：A．
云南省昆明市2023届“三诊一模”高三质量检测
某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（ ）
A．B．8C．D．9
【答案】B
【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.
【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，
如图，借助于圆锥的轴截面，
由题意可得：，
设底面对角线，则，可得，
故该正四棱柱体积，
构建，则，
∵，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，
故该正四棱柱体积的最大值为8（）.
故选：B.
在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.
【详解】解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知
，
则.
又正三棱锥的体积
，
则，
令，
则或（舍去），
函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，V取得最大值
河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模
某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.
【详解】如图所示：
设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，
因为正六棱锥外接球的表面积为，所以有，
因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，
所以，
设，
在正六边形，因为正六边形边长为，所以，
在中，由余弦定理可知，
在直角三角形中，，所以有，
由勾股定理可知，
因为，所以，因此有，
而，所以，
该正六棱锥的体积，
，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，因为，，
所以，因此该正六棱锥的体积的取值范围是
如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母线，，四边形为正方形，平面与平面的交线平面，当四棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为 ．

【答案】
【分析】设，根据，得到，由，利用导数法求得时，取得最大值，得到，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】解：如图所示：

设，因为，所以，
则，
，令，得或（舍去），
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，此时，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
所以
已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，，点B在AC上的射影为D，则三棱锥体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥体积最大时面积最大，进而求出的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥体积最大值．
【详解】如下图，由题意，，，
取的中点为，则为三角形的外心，且为在平面上的射影，所以球心在的延长线上，设，则，
所以，即，所以.
故，
过作于，设()，则,
设，则，故，
所以，则，
所以的面积，
令，则，
因为，所以当时，，即此时单调递增；当时，，此时单调递减．
所以当时，取到最大值为，即的面积最大值为．
当的面积最大时，三棱锥体积取得最大值为.
故选D.
本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目

极大值