专题3.4 立体几何体中的截面问题（常考题型梳理）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、如何做截面？
作出过EFG三点的截面
法一：作平行线并标出棱上的交点
法二：作延长线并标出棱上的交点
二、如何确定截面是否已经“搞定”？
题目所要求的点是否都用上？
你所画的线是否围成了一个封闭图形？
这个封闭图形的边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)？
重点题型·归类精讲
题型一 作截面
类型1：三个点在棱上
作出过EFG三点的截面
【答案】（1）作平行线即可
（2）第一步：延长GF和BC，交于点H，可知H点为底面和右侧面的点；
第二步：连接EH，交CC1与点K
第三步：连接FK，交CC1与点K，此时截面为GFKE，GE这条线没有在正方体表面上，所以还需要继续补全截面，在左侧面过点G作EK的平行线GM，故截面为GFKEM
.
作出过EFG三点的截面,EFG为所在棱上中点（三条边都在正方体内部）
【答案】

【第（2）问简析】

如图①，正方体的棱长为，为线段的中点，为线段上的动点，过点、、的平面截该正方体所得的截面记为，若，请在图中作出截面（保留尺规作图痕迹）；

【解析】延长交延长线于点，此时，延长交于点
延长交延长线于点，连接，并延长交于点，连接
此时五边形就是截面
如图，已知正方体，点为棱的中点，在图中作出平面截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并说明位置)，并说明理由.

【解答】如图取的中点，连接、，则为平面截正方体所得的截面，
证明：取的中点，连接、，因为为棱的中点
所以且，且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，即、、、四点共面，即为平面截正方体所得的截面；
类型二：两个点在棱上，一个点在面上
已知G是底面ABCD上一点，E,F为棱上的点，作出过EFG三点的截面
【答案】
题型二 补全截面再判断位置关系
武汉调研&浙江杭州二模
（多选）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，满足直线MN//平面ABC的是( )
【答案】ABC
【解答】解：选项A，如图所示，点E，F为正方体的两个顶点，则MN∥EF∥AC，
∵MN⊄平面ABC，AC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，即选项A正确；
选项B，如图所示，D为正方体的一个顶点，则AC∥MD，BC∥ND，
∵AC∩BC＝C，MD∩ND＝D，AC、BC⊂平面ABC，MD、ND⊂平面DMN，
∴平面ABC∥平面DMN，
又MN⊂平面DMN，
∴MN∥平面ABC，即选项B正确；
选项C，如图所示，G为正方体的一个顶点，则平面ABC∥平面GMN，
∵MN⊂平面GMN，
∴MN∥平面ABC，即选项C正确；
选项D，连接CN，则AB∥CN，
∴A，B，C，N四点共面，
∴MN∩平面ABC＝N，与MN∥平面ABC相矛盾，即选项D错误．
2023·温州模拟
下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足平面MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由与平面MNP相交，判断A；由，结合不在平面判断B；由线面平行的判定判断C；由中位线定理判断D.
【详解】对于A：连接，由图可知，与平面相交，故不满足平面，故A错误；

对于B：如图所示，分别是所在棱的中点，连接
则平面MNP和平面为同一平面，因为，
因为与平面相交，所以不满足平面，故B错误；

对于C：连接，交与点，连接，因为，分别为中点，
所以，由线面平行的判定定理可知，平面，故C正确；

对于D：分别是所在棱的中点，连接，，
平面与平面为同一平面，
取的中点为，连接，由中位线定理可知，，
因为与平面相交，所以不满足平面，故D错误；

题型三 确定截面形状
在正方体中，和的中点分别为，．如图，若以，，所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为
A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形
【解答】解：在一个棱长为12的正方体中，和的中点分别为，，
如图，截面与交于点，且点不会为或点，
截面与交于点，且点不会为或点，
截面有，，，，共计5条边，
过，，三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形．
故选：．
如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面不可能是
A．平行四边形B．等腰梯形C．五边形D．六边形
【解答】解：当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形；
当时，如图2，截面为平行四边形；
当时，如图3，截面为五边形，
当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形．
故选：．
2023·重庆巴蜀中学高三校考
（多选）已知截面定义：用一个平面去截一个几何体，得到的平面图形（包含图形内部）称为这个几何体的一个截面.则下列关于正方体截面的说法，正确的是（ ）
A．截面图形可以是七边形
B．若正方体的截面为三角形，则只能为锐角三角形
C．当截面是五边形时，截面可以是正五边形
D．当截面是梯形时，截面不可能为直角梯形
【答案】BD
【分析】根据正方体的性质判断A、C，画出图形设，，，利用余弦定理求出、、，即可判断B，利用反证法说明D.
【详解】对于A：平面最多和正方体的六个面都相交，所以最多条交线，所以形成的多边形最多为六边形，
所以截面图形一定不是七边形，故A错误；
对于B：设，，，由勾股定理得，
所以，
，
，
所以角均为锐角，所以为锐角三角形，故B正确；
对于C：正方体组对面相互平行，由面面平行的性质定理可知，五边形中有两组对边平行，
所以截面五边形不可能为正五边形，故C错误；
对于D：截面分别交棱、于点、，假设四边形为直角梯形，，则，
又因为且、共面，所以或，
当时，因为面，面，则面，
又面面，所以，又因为，
所以四边形为平行四边形，与假设矛盾，
当，因为、且，面，
所以平面，即平面，又因为平面，
所以，与矛盾，所以假设不成立，故D错误；
2024届雅礼中学月考（二）
如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），
当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为______边形
【答案】五
如图2，取中点，连接，有，且，
则四边形是平行四边形，有，过作的平行线交于点，
此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线，
连接，在上取点，使得，同证的方法得，
在棱上取点，使，连接并延长交直线于，则，
即，而，于是四边形是平行四边形，
有，则为过，，三点的平面与平面的交线，
连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面，D正确．
如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
【答案】C
【解析】当时，如下图1，是四边形，故A正确；
当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：
当时，如下图3，是五边形，C错误；
当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.
故选：C
题型四 截面周长，面积相关计算
如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点G是棱中点，则过线段AG且平行于平面的截面的面积为________．
【答案】EQ \F(9,8),
【解答】解：取BC的中点H，作如图连接，
易证平面EQ AHGD\S\DO(1)∥平面EQ A\S\DO(1)EF,
等腰梯形EQ AHGD\S\DO(1)的上下底分别为EQ \F(\R(,2),2), \R(,2),
腰长为EQ \F(\R(,5),2),求得梯形的高为EQ \F(3 \R(,2),4),进而求得梯形面积为EQ \F(9,8),
如图，在棱长为2的正方体EQ ABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，E是棱EQ CC\S\DO(1)的中点，则过三点EQ A,D\S\DO(1),E的截面面积等于（ ）
A．EQ 3 \R(,2) B．EQ \F(3 \R(,10),2) C．EQ \F(9,2) D．3
【答案】C
【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面面积即可．
【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EQ EF∥AD\S\DO(1),所以平面EQ AD\S\DO(1)EF为所求截面，
EF＝EQ \R(,2),AD\S\DO(1)＝EQ 2 \R(,2),AF＝EQ \R(,22＋12)＝EQ \R(,5),所以梯形的高为：EQ \R(,( \R(,5))2－\b\bc\((\l( \F(\R(,2),2)))2)＝EQ \F(3 \R(,2),2),
过三点EQ A,D\S\DO(1),E的截面面积：EQ \F(2 \R(,2)＋ \R(,2),2)× \F(3 \R(,2),2)＝EQ \F(9,2)．
如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为
A．B．8C．D．
【解答】解：取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，
则，取的中点，连接，可得，
则，即四边形为过，，三点的截面截正方体所得图形，
正方体棱长为4，
所求体积．
如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．

【答案】
【解析】因为、分别为、的中点，则且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以，，设平面交棱于点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，，则，
因为为的中点，所以，为的中点，
设直线分别交、的延长线于点、，连接交棱于点，
连接交棱于点，连接、，则截面为六边形，
因为，则，
所以，，
因为，则，所以，，则为的中点，
同理可知，为的中点，易知六边形是边长为的正六边形，
所以，截面面积为.
如图，在正方中，分别是的中点，存在过点的平面α与平面PMN平行，平面α截该正方体得到的截面面积为______
【答案】
分别取EQ C\S\DO(1)D\S\DO(1),A\S\DO(1)D\S\DO(1),AA\S\DO(1)的中点H，K，I，连接HF，HK，KI、EI，
可证平面EGFHKI∥平面PMN，则存在过点E，F的平面α与平面PMN平行，
六边形 EGFHKT是平面α截该正方体得到的截面，
截面的面积是EQ 6× \F(\R(,3),4)×( \R(,2))2＝EQ 3 \R(,3),故C正确；
题型五 球的截面计算
计算球截面基本规律
1.确定球心和半径
2.寻找做出并计算截面与球心的距离
3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中点”这个性质
4.强调弦的中点，不一定是几何体线段的中点。
（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，
正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径，
要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点，
连接，则，
所以，
此时截面圆的半径，
此时，截面面积的最小值.
已知某球的体积为，该球的某截面圆的面积为，则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【解析】设截面圆的半径为，球的半径为球心到截面的距离为，
则，
因为球的体积为,
所以，
因为截面圆的面积为，
所以，故，
所以，
所以球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为，
故最大距离为3.
已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在正方体中，设平面平面，且平面，
由平面平面，可得，所以是的中点，
又四面体的外接球的直径为，可得半径，
设是的中点即球心，球心到平面的距离为，
又设与的交点为，则，则，
则，则截面圆的半径，
所以截面圆的面积为.
故选：A．
题型六 截面分体积
如图，正方体，中，E､F分别是棱AB､BC的中点，过点､E､F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为，记，则 .
【答案】
【解析】延长交的延长线与点，连接交于点，连接：
延长交的延长线与点，连接交于点，连接：
所以过的截面为，如下图示：
设正方体的棱长为，
则过的截面下方几何体的体积为，
所以另一部分体积为，则.
正方体中，E，F分别是棱，的中点，则正方体被截面分成两部分的体积之比为___________.
【答案】17：7或7：17
【分析】
如图，正方体被截面所截的一部分为棱台，求出棱台的体积，然后用正方体的体积减去棱台的体积可得另一部分的体积，从而可求得结果
【详解】
设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8，因为E，F分别是棱，的中点，
所以棱台的体积为，
所以另一部分的体积为，所以正方体被截面分成两部分的体积之比为17：7或7：17，故答案为：17：7或7：17
如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
【答案】A
【分析】
由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求及剩余部分的体积，进而求其比例即可.
【详解】由图知：，，而，
∴剩余部分的体积为，
∴棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
在正四棱锥中，为的中点，过作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，则的最大值是 .
【答案】2
【解析】记正四棱锥的体积为，的最大值，由为定值知，只需求的最小值，
设过的截面分别交和于，平面与平面的交线为与相交于，如图，
则，令，则，即有，
，
当且仅当时取等号，此时，
所以的最大值是2.
题型七 截面最值与范围
2024届·长沙雅礼校考
已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为 .
【答案】
【分析】利用正方体的结构特征，判断平面​所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.
【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，可知在正方体中，平面与直线，，所成的角是相等的，
所以平面与平面平行，
由正方体的对称性：要求截面面积最大，则截面的位置为过棱的中点的正六边形（过正方体的中心），边长为，所以其面积为.
如图所示，在长方中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点F，则四棱锥的体积为___________，截面四边形的周长的最小值为___________.
【答案】20
【分析】
根据锥体的体积计算，利用切割法可得四棱锥的体积；将几何体展开，根据两点之间直线最短，即可求出最短周长的截面，进而根据勾股定理即可求得结果.
【详解】
由题意可得，利用切割法可得
；
将长方体展开，如图所示，
当点为与的交点、点为与的交点时，截面周长最小，此时截面的周长为，
而在中，，所以截面周长的最小值为.
正三棱锥中，，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.
【答案】
【分析】通过补体把正三棱锥补成正方体，则正方体的体对角线为外接球直径；求出，当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面，从而可计算截面的半径，从而推导出截面的面积.
【详解】，，，，
同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），
其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，
设的中点为，连接，则且.所以，
当平面时，平面截球O的截面面积最小，此时截面为圆面
已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】
由正三棱柱的体积为，，可求得，由于，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，可得点在以为直径的圆上，从而可求出点到底面距离的最大值，进而可求得三棱锥的体积的最小值
【详解】
如图所示，
因为正三棱柱的体积为，，所以，即，
因为，所以要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，设的中点为，作出截面如图所示，
因为，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以点到底面距离的最大值为，
所以三棱锥的体积的最小值为.
已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图：
是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径.
由勾股定理得棱锥的高设球的半径为，
则，解得，
所以，即与重合，
所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小，
此时截面半径为，截面面积为.
已知球和正四面体，点在球面上，底面过球心，棱分别交球面于，若球的半径，则所得多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正四面体，棱长为，
如图所示：
设外接球的球心为，半径为，所以，解得，
由于，所以，
在中，过O作AB垂线OH，由面积可得，则，
利用勾股定理：，
即：，,
多面体的体积为.
已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设弦的中点为，连接，依题意，可得如下图形，
由圆的性质可知，则即为二面角的平面角，
故，
四面体的体积为
，
其中
，当且仅当时取等号，
由球的截面性质，，，
所以四点共圆，则有外接圆直径，
从而，
.
在三棱锥中，，平面经过的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
如图所示，取中点及靠近的四等分点，的中点，连接，，，，，
由，所以，又是中点，是的中点，所以
可知，同理可得，
又，平面，平面，所以平面，所以平面即为平面，
又因为，所以，所以，
所以截此三棱锥所得的截面面积为，
当时，取得最大值，
设外接球球心为，半径为，，分别为，外接圆圆心，球心满足面，面，
又因为和均为边长为4的正三角形，所以，
所以四边形为正方形，且，又,所以，
∴.