专题3.6 立体几何压轴动态问题：角度，体积，折线段，轨迹，翻折-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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2021新高考1卷T12
（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
重点题型·归类精讲
题型一 与动点有关的周长，面积，体积问题
2022梅州高二下期末——求体积——等积变形：作平行线
（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ）
A．M，N，B，四点共面B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形D．三棱锥的体积为
江苏省2023届天一中学等四校入学联考第11题——割补法求体积
（多选）如图所示，已知正方体棱长为1，过对角线的一个平面交于E，交于F，下列结论中正确的是（ ）
A. 四边形一定是平行四边形B. 四边形有可能是正方形
C. 四边形周长的最小值为D. 四棱锥的体积为定值
2024届·长沙一中校考
如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，P是棱的中点．Q是棱上一动点（不包含端点），则（ ）

A． 与平面BPQ有可能平行
B．与平面BPQ有可能平行
C．三角形BPQ周长的最小值为
D．三棱锥的体积为定值
厦门市2023届高三12题：直棱柱动点问题
（多选）如图，直三棱柱中，，，．点P在线段上（不含端点），则（ ）
A. 存在点P，使得
B. 的最小值为有
C. 面积的最小值为
D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
（2023·江苏·统考一模）（多选）正方体的棱长为3，E，F分别是棱，上的动点，满足，则（ ）
A．与垂直
B．与一定是异面直线
C．存在点E，F，使得三棱锥的体积为
D．当E，F分别是，的中点时，平面截正方体所得截面的周长为
巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（一）第11题
如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在点使得平面
B. 若，则动点的轨迹长度为
C. 若平面，则动点的轨迹长度为
D. 若平面，则三棱锥的体积为定值
题型二 与动点有折线段最值问题
云南省三校2024届高三高考备考实用性联考卷（三）
如图,在正方体中,,为线段上的动点,则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．三棱锥的体积为定值
D．的最小值为
2023届衡阳市八中高三入学考试
如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上运动，则（ ）
A. 异面直线与所成角的取值范围是B.
C. 三棱锥的体积为定值D. 的最小值为
题型三 与动点有关的角度问题（定值与最值）
2023届·江苏省盐城中学三模
（多选）已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
福建宁德市2023届高三入学测试第12题：正方体动点问题
（多选）如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，是直线与平面的交点，则下列判断正确是（ ）
A. B. 三棱锥的体积是定值
C. 唯一存点使得 D. 与平面所成角为定值
2024届·广东省四校高三第一次联考
（多选）如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（ ）

A．存在点P，使平面
B．存在点P，使
C．四面体的体积为定值
D．二面角的余弦值取值范围是
如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 与所成角的取值范围为
题型四 动点的轨迹问题
2023届武汉二调T8-阿氏球
设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2023·深圳一模
（多选）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则（ ）
A．CP长度的最小值为
B．存在点P，使得
C．存在点P，存在点，使得
D．所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为
（多选）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．过点的平面与四棱锥表面交线的周长为
D．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
（多选）如图，点是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）

A．当在平面BCC1B1上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
C．使直线与平面ABCD所成的角为45°的点的轨迹长度为
D．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF平面B1CD1时，PF长度的最小值是
（多选）如图，在正三棱台中，，，棱，的中点分别为D，E，点P在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（ ）

A．平面
B．正三棱台的体积为
C．与平面所成角的正切值为
D．动点P形成的轨迹长度为
2023秋·重庆一中校考
（多选）已知正方体的棱长为4，为空间中一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线和平面所成角的余弦值为
B．正方体的外接球表面积为
C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为
D．若在正方形内部，且恒成立，则点轨迹为圆的一部分
（多选）已知四面体的所有棱长均为，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角为
B．点到平面的距离为
C．四面体的外接球体积为
D．动点在平面上，且与所成角为，则点的轨迹是椭圆
（多选）如图，在四棱台中，平面，上、下底面均为正方形，，，，则（ ）

A．直线平面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．若该四棱台内（包括表面）的动点到顶点，的距离相等，则点形成的图形的面积为
D．若底面内的动点到顶点的距离为2，则动点的轨迹的长度为
（2023·东北师大附中校二模）（多选）直四棱柱中，底面为菱形，，，P为中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则四面体的体积为定值
B．若平面，则的最小值为
C．若的外心为，则为定值2
D．若，则点的轨迹长度为
已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为 ．
题型五 由动点轨迹判断满足条件的点是否存在
2022·广佛山二模
（多选）在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点N，使得
B．三棱锥M—的体积等于
C．有且仅有两个点N，使得MN∥平面
D．有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为
2023·福建·厦门外国语5月模拟预测
（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
2023·山东聊城·统考三模
（多选）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且，点在上底面运动，则下列结论正确的是（ ）

A．存在点使B．不存在点使平面平面
C．若，，，四点共面，则的最小值为
D．若，，，，五点共球面，则的最小值为
（多选）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形的侧面上的动点，则（ ）
A. 满足平面的点的轨迹长度为B. 满足的点的轨迹长度为
C. 存在唯一的点满足D. 存在点满足
在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ）
A．对于任意的，且，都有平面平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，不存在点，使得平面
D．当时，存在点，使得
（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ）
A．对于任意的，且，都有平面平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，存在点，使得
D．当时，不存在点，使得平面
题型六 旋转与翻折
2023·广州一模
（多选）在矩形中，，将沿对角线进行翻折，点翻折至点，连接，得到三棱锥，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的外接球表面积不变
B．三棱锥的体积最大值为
C．异面直线与所成的角可能是
D．直线与平面所成角不可能是
2023·广东深圳·统考二模T11
（多选）如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为
D．三棱锥外接球的半径为
（多选）如图，在梯形ABCD中，，，E在线段BC上，且BE=2EC，现沿线段AE将ABE折超，折成二面角，在此过程中：（ ）
A．
B．三棱锥B—AED体积的最大值为6
C．若G，F是线段AE上的两个点，GE=1，AF=，则在线段AB上存在点H，当AH=1时，HF//BG
D．
2023·东北师大附中校考
（多选）如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得与所成角为锐角
B．棱上总会有一点，使得平面
C．当三棱锥的体积最大时，
D．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是
（多选）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝2，DA＝DC＝，将四边形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是（ ）
A．两条异面直线AB与CD所成角的范围是
B．P为线段CD上一点（包括端点），当CD⊥AB时，
C．三棱锥D−ABC的体积最大值为
D．当二面角D−AC−B的大小为时，三棱锥D−ABC的外接球表面积为
（多选）如图，梯形ABCD中，，，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将△ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．MN和BC不可能平行
B．AB和CD有可能垂直
C．若AB和CD所成角是，则
D．若面ACD⊥面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28π
（多选）如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面分别在线段和侧面上运动，且，若分别为线段的中点，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）

A．面积的最大值为
B．存在某个位置，使得
C．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
D．三棱锥体积最大时，点到平面的距离的最小值为.
2024届·成都七中校考
（多选）如图，已知矩形为中点，为线段（端点除外）上某一点．沿直线沿翻折成，则下列结论正确的是（ ）

A．翻折过程中，动点在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点在平面的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角的平面角记为，直线与平面所成角记为，则．
D．当平面平面时，在平面内过点作为垂足，则的范围为
2023·常德市一中校考
（多选）已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．若翻折后，则二面角A－BD－C的余弦值为
D．在翻折的过程中，若点A在平面BCD上的射影落在△BCD的内部，则四面体ABCD的体积的取值范围为
2023届重庆巴蜀中学校考
（多选）如图甲，在矩形中，，为的中点．将沿直线翻折至的位置，为的中点，如图乙所示，则（ ）
A．翻折过程中，四棱锥必存在外接球，不一定存在内切球
B．翻折过程中，不存在任何位置的，使得
C．当二面角为时，点到平面的距离为
D．当四棱锥的体积最大时，以为直径的球面被平面截得的交线长为
（多选）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为1，.若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点，分别位于两侧，连接，则（ ）

A．平面
B．
C．多面体的体积为原多面体的体积的2倍
D．点旋转运动的轨迹长相等
（多选）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，.若将正三棱锥绕旋转，使得点E，P分别旋转至点A，处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则（ ）

A．B．
C．多面体的外接球的表面积为D．点P与点E旋转运动的轨迹长之比为
2023·华中师大一附中考前押题卷
（多选）已知正方体的棱长为1，M是棱的中点．P是平面上的动点(如图)，则下列说法正确的是（ ）

A．若点P在线段上，则平面
B．平面平面
C．若，则动点P的轨迹为抛物线
D．以的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥体积的取值范围为