专题4.1 数列求通项的常见方法（1）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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因式分解：如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解
例：设正项的前项和为
（1）若满足,,数列的通项公式为__________
（2）若，，的通项公式为_____________
（3）若，，的通项公式为____________
【答案】（1）；（2）；（3）
2021·全国高考乙卷（理）——前n项积，消求
记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
重点题型·归类精讲
题型一 递推一项再作差，即消求：用，得到
已知数列满足：对任意，有，求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】当时，易知，当时，有递推关系可知，将其与与原递推关系作差，即可得到结果，再检验是否满足，进而得到结果；
【详解】（1）解：当时，，故，
当时，，则
，
故，
当时，上式亦满足；
综上， ；
已知数列的前项和为，且有．求数列的通项公式.
【答案】
【详解】（1）由题，
当时，，∴；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，∴．
当时，满足，∴．
已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式
【答案】
（2023·广东惠州二模）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.
【解析】当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为；
（2023·广东佛山二模）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为；
（2）由，，可得，
所以，又，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以.
即.
已知数列的前项和为，且有,求数列的通项公式.
【答案】(1)
【详解】由题，
当时，，∴；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，∴．
当时，满足，∴
在数列中，，求的通项公式.
【答案】
【详解】解：因为，①
则当时，，即，
当时，，②
①②得，所以，
也满足，故对任意的，.
2024届·湖南师大学附中月考(一)
已知数列的前项和为，若，，则有（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．为等差数列D．为等比数列
【答案】D
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.
【详解】由题意，数列的前项和满足，
当时，，两式相减，可得，
可得，即，又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.
当时，，又由时，，适合上式，
所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.
2024届·重庆实验外国语学校月考（10月）
（多选）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.
【详解】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确
题型二 消求：将题意中的用替换涉及导数
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=Sn,n∈N*,则Sn= .
【答案】2n-1
解析 由an+1=Sn,得Sn+1-Sn =Sn,
即Sn+1=2Sn,n∈N*,
因此数列{Sn}是以S1=1为首项,2为公比的等比数列,
所以Sn =2n-1
2023届·广东省广州市高三冲刺训练（二）
设为数列的前项和，已知，求
【详解】由题意知，，
又，得．
当时，由，得，得．
则数列是首项为，公差为1的等差数列．
所以．
又，则．
当时，，
又满足上式，
所以．
已知正项数列的前n项和为，且满足，
(1)求
(2)求
【答案】
【分析】先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合
等差数列的定义和通项公式求出.
【详解】根据题意可得，当时，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1的等差数列，则，
在数列中,,则的通项公式为 .
【答案】.
【解析】当时,,
整理可得:,
为公差为2的等差数列,,
已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．
【答案】
【详解】
，即是以2为公差，1为首项的等差数列
，即
当时，
显然，时，上式不成立，所以.
(多选)设是数列的前项和，，，则下列说法正确的有
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
【解答】解：由，得，
，即，
又，数列为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故正确；
当时，，
，数列的最大项为，故错误，正确．
故选：．
2023·江苏盐城中学三模
已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足，求数列{}的通项公式
【答案】
【详解】（1）正项数列{}，，满足，所以，
所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，
所以
题型三 因式分解（正项数列）
浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟
正项递增数列的前项和为，，求的通项公式；
【答案】(1)或
【详解】（1）当时，，解得或.
当时，，即，解得或，∴.
当时，，即，解得.
由，
当时，，
两式相减得，即，
当时，，所以，即，
∴或.
2023届广东省一模
已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式.
【详解】（1）当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第二次月考（2015·高考真题）
为数列{}的前项和.已知＞0，=，求{}的通项公式.
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1
2023届茂名一模
已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式.
【详解】（1）当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
已知正项数列和，数列的前项和为，若，，，求数列与的通项公式.
【答案】(1)，
【详解】当时，，解得：或，又，；
当且时，，
整理可得：，
又，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
，，则，.
已知各项为正的数列的前n项和为 ，满足 ，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．22D．
【答案】A
【分析】由数列的递推式可得，继而结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】各项为正的数列, ,
∵，∴，
∴ 时， ，
化为： ，
∵ ,
又 ，解得 ．
∴数列是等差数列，首项为1，公差为2．
∴ ,
∴,
∴ ,
，当且仅当n=2时取等号,
∴的最小值为4
已知为数列的前n项和，，求数列的通项公式
【答案】
题型四 前n项之积Tn
对于数列，前项积记为；
； ②；①②：
2024届·江苏省连云港，南通市调研(一)
已知数列的前项积为，且，求的通项公式
【答案】；
【详解】（1）由数列的前项积为，得，又，
所以，当时，，整理得，即，
所以，当时，为定值，
因为，令，得，，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，得.
所以，当时，，显然符合上式，所以.
已知数列前n项积为，且,求证：数列为等差数列；
【详解】因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列
已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式
【详解】（1）由已知得，当时
.
∴
当时，，也满足上式．所以
当时，，∴
当时，，符合上式
当时，，所以，也符合上式，综上，
∴，.
设数列的前n项积为，且.求证数列是等差数列；
因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列
记为数列的前n项积，已知，，求数列的通项公式
由题意可得，因为，
所以，即，
所以.
又，，
所以，
故是以3为首项，2为公差的等差数列，与同时存在
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题中的
例：已知；
已知
角度3：等式中左侧含有：
作差法
（类似）
例子：已知求
前n项积
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.