专题4.2 数列求通项的常见方法（2）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、累加法（叠加法）
若数列满足，求数列的通项时，利用累加法求通项公式。
具体步骤：
，将这个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=
二、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。
具体步骤：
，
将这个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
三、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，从而求出数列的通项公式.
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，进而可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
四、倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列）
2022·新高考1卷——累乘法
1．为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式.
2020·全国Ⅲ卷（理）
2．设数列{an}满足a1=3，，求an.
重点题型·归类精讲
题型一 累加法、累乘法
在数列中，，，则
A．B．C．D．
已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
已知数列满足，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．n
2023·江苏省苏州市高考模拟数学试题（二）
数列满足，，则
已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
数列满足：，，则的通项公式为 .
已知数列的前项和为，且，求的通项公式.
在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
2023届·湖北省部分重点中学高三上学期1月第二次联考
已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等比数列
C．D．
2023届高·武汉市高三二月调研
记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3，求数列{an}的通项公式.
2023·河北衡水中学校考三模
已知为等差数列，，求的通项公式.
湖南省邵阳市2023届高三上学期一模数学试题
已知数列满足，，，且，求数列的通项公式.
已知数列中，，是数列的前项和，且，求数列的通项公式
已知数列满足.
(1)求证：是等差数列；(2)若，求的通项公式.
已知数列的前n项和为，且满足，求的通项公式.
已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式.
题型二 构造：差、等比，常数列
已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；
已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．
已知数列中，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式；
广东省广州市2023届高三综合测试（一）
已知数列的前项和为，且，求.
2023·广东惠州一模
已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
已知数列的首项，且满足，求.
已知在数列中，，，则 ．
2022届·八省八校（T8联考）高三下学期第二次联考
设数列的前n项和为，且，求.
已知数列的前n项和为，且．求数列的通项公式.
题型三 已知等差或等比求通项
2024·湖北省黄冈市9月调研
设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式
2024届·江苏省苏州市高三上学期期初调研
已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和.
2023届佛山二模
已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，
(1)求数列的通项公式；(2)记为数列在区间中最大的项，求数列的前项和．
2023届潍坊一模
已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
题型四 取倒数
已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
在数列中，若，则 .
已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．2
已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
在数列中，，，且满足，则 .
2022届·重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）
（多选）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．