专题4.5 隔项等差与隔项等比以及和为等比-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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1、隔项等差数列（和为等差）
已知数列，满足，（k≠0）
则；
；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列（积为等比）
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
3、和为等比数列（和为等比）
已知数列，满足，
则
，再通过累加法和错位相减求出的通项公式
重点题型·归类精讲
题型一 隔项等差（和为等差）
已知,求的通项公式．
【答案】；
思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列
解答过程
由，可推出，两式作差
所以是隔项等差数列：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
下结论
求通项
当为奇数：为第项：
求通项
当为偶数：为第项：
综上：无论为奇数还是偶数：.
已知各项均为正数的数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由，
当时，，
∴，
又，，
∴。
当时，，
∴为奇数时， ；
当时，，
∴为偶数时，
∴
已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式．
【答案】
由条件，可得：
两式相减得： ……7分
因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
……8分
偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分
综上： ……10分
已知数列的前n项和为，且，，则数列的前2021项的和为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得，两式相减可得数列的规律，由此可求的通项公式，从而求出其前n项和，根据通项公式的特征，采用裂项相消法即可求出结果．
【详解】∵，(*)，
∴，解得．
，∴，
两式相减，得，
数列的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，
当为偶数时，．
当为奇数时，为偶数，∴根据上式和(*)知，
数列的通项公式是，
易知是以2为首项，2为公差的等差数列，
故，，
设的前n项和为，
则．
已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.求数列的通项
【答案】无论为奇数还是偶数：
【解析】根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列
由，可推出，及两式作差
∵，∴.所以是隔项等差数列：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
当为奇数：为第项：
当为偶数：为第项：
综上：无论为奇数还是偶数：.
数列满足，，求.
【答案】为奇数，为偶数
【详解】由，得，
两式作差得，即
又
∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.
则当n为奇数时，；
当n为偶数时，.
∴.为奇数，为偶数
（多选）已知数列满足，，则（ ）
A．B．是的前项和，则
C．当为偶数时D．的通项公式是
【答案】AD
【详解】数列满足，，
因为，，所以，
，B错；
由题意，①，②，
由②①得，，由，，所以，
当为奇数时，设，
则，
当为偶数时，设，
则，
综上所述，对任意的，，C错D对；
，A对.
题型二 隔项等比（积为等比）
已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式；
【答案】
思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比数列
解答过程：
由，可推出，两式作商
所以是隔项等比数列：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
下结论
求通项
当为奇数：为第项：
求通项
当为偶数：为第项：
综上：.
山东省济南市二模
（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定的递推公式，探讨数列的特性，再逐项计算判断作答.
【详解】，，，即，则，A正确；
显然有，于是得，
因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确；
于是得，，
则，，C正确，D不正确.
2023·广东深圳二模
已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；
(2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.
【详解】（1）由 ，得
以上两式相比，得,
由，得,
所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,
数列是首项为6，公比为4的等比数列，,
综上，数列的通项公式为 .
（2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 .
由（1）得，即,两边同时除以，得(*)
(*）式左边为奇数，右边为偶数
(*）等式不成立，假设不成立.
所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列
题型三 和为等比
已知数列中，，求数列的前n和.
【答案】
思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差
变换下标，写成
所以，，．．．．．．．
累加，得
累加
求通项
所以数列的前n和为
求和
（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式．
【答案】
【分析】通过凑配法证得是等比数列.
【详解】（由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
.
已知数列满足，，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，所以，
2023·浙江杭州·统二模
设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；
（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.
【详解】（1），设公差为d，首项为
，因为公差不为0，所以解得，
，数列的通项公式为，.
（2）
①
②
得，解得
已知数列，，，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当时，
当时，
所以
则当为偶数时，
累加得：，所以
当为奇数时，为偶数，则，则此时，
综上可得
所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
其前n项和