专题5.1 数量积（极化恒等式与投影法）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、极化恒等式
在三角形ABC中（M为BC的中点），证明：
A
B
C
M
证明（基底法）：因为，所以
二、投影法
如图，
对于，其中是在上的投影，在Rt△PBH中
故，考虑到可能为钝角，故写成.
2023全国乙卷(理)T12
已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
2022·北京高考T10
在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2020·新高考1卷T7——投影法求数量积取值范围
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2017年全国2卷（理）T12
已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
重点题型·归类精讲
题型一 极化恒等式
2023·广东深圳·5月模拟预测
若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
2024届长沙一中月考（二）
已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为 ．
如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（ ）
A．13B．7C．5D．3
已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
在锐角中，已知，，则的取值范围是 ．
半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________．
等和线+极化恒等式
正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为 ；若为常数且，则的长度是 ．
题型二 投影法
设是圆上不同的两点.且.则 .
中，，，为的重心，为的外心，则 ．
的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是 6
题型三 极化恒等式：由数量积求其他数量积
武汉市2023届9月起点检测T15
平行四边形ABCD中，，点P满足，则________．
（江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________．
题型四 极化恒等式+隐圆
2024届湖南师大附中高三开学考
在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为 .
深圳市2023期末
四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
2023深圳高二下期末·16
已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
题型五 其它方式求数量积
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=_______.

如图在平行四边形中，已知，，，则的值是 .
骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为 .
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______
已知单位向量，满足，则的最小值为
A．B．C．D．
已知，是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知向量，的夹角为，，且对于任意的t∈R，都，则_______．