专题5.4 向量中的隐圆问题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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目录
知识点梳理： TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc150212196" 构隐圆的几大角度 PAGEREF _Tc150212196 \h 1
\l "_Tc150212197" 题型一 定值圆（由模长是定值构造圆） PAGEREF _Tc150212197 \h 3
\l "_Tc150212198" 题型二 直径圆（两向量垂直构造圆） PAGEREF _Tc150212198 \h 4
\l "_Tc150212199" 题型三 外接圆（定边对定角构造圆） PAGEREF _Tc150212199 \h 6
\l "_Tc150212200" 题型四 对角互补构造圆 PAGEREF _Tc150212200 \h 6
\l "_Tc150212201" 题型五 向量与阿氏圆 PAGEREF _Tc150212201 \h 7
\l "_Tc150212202" 题型六 向量圆（极化圆） PAGEREF _Tc150212202 \h 7
\l "_Tc150212203" 题型七 其它隐圆 PAGEREF _Tc150212203 \h 8
\l "_Tc150212204" 题型八 设点坐标，构造函数求最值 PAGEREF _Tc150212204 \h 8
构隐圆的几大角度
角度一、定值圆（由模长是构造圆）
记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆
有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式
角度二、直径圆
圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．在向量问题中，向量a，b的垂直条件体现为，，等．
角度三、外接圆（定边定角）
均为定值时，可以构造圆
在三角形中，若遇到一边一对角问题，可以考虑构造此三角形的外接圆，从几何的角度进行解题．同样的道理，在向量问题中，若两个或三个向量可以构造出一个三角形(如a，b，a-b)，且给出边一对角的条件，可以考虑构造外接圆模型进行解题．
角度四、四点共圆（对角互补）
圆内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸．
角度五、比例圆(阿波罗尼斯圆)
在平面上给定两点A，B，设点P满足λ，则当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．在向量问题中，若|a|=λ|b|(λ>0且λ≠1)，即两个向量的模长呈现一定的比例时，可以考虑构造阿波罗尼斯圆进行解题
角度六、向量圆（极化恒等式）
若(λ≠0且λ∈R)，其中点P为动点，A，B为两个定点，则点P的轨迹为圆．
简证：取AB中点M，，故PM为定值
以此为突破口，可以将向量的最值与范围问题转化为圆的最值与范围问题进行求解．值得注意的是，在向量问题中也表示为(c－a)·(c－b)＝λ，其中a，b为定向量．
角度七、其它隐圆
极化恒等式和型：
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
定幂方和型
若为定点，，则的轨迹为圆．
证明：
．
重点题型·归类精讲
题型一 定值圆（由模长是定值构造圆）
平面内非零向量a，b，c，有，，ab＝0且，则的最大值为______．
已知是边长为的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若，则的最小值是
A．B．C．D．
平面内非零向量，，，有，，．且，则的最大值为 7 ．
已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.
已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（ ）
已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B．[2，4]
C． D．
已知平面向量满足：，，，则的取值范围是______.
已知平面内非零向量，满足，，，若，则的取值范围是_______.
已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝2，则(a－c)(b－c)的最大值是_______
已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
题型二 直径圆（两向量垂直构造圆）
已知是平面内两个互相垂直单位向量，若向量满足，则的最大值为_______.
设向量满足，且，则的最大值等于______.
已知向量a，b，c满足：|a+b|=3，且，则|a－b|的取值范围是______.
已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足，则的最大值是____．
若都是单位向量，且，，则能的值为( )
A． B．1 C． D．
已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，取值范围为 ．
已知平面向量，若，且.若向量，且则______；若向量满足，则的取值范围是______.
（2023·山东青岛·统考三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型三 外接圆（定边对定角构造圆）
已知向量满足，若向量与的夹角为30°，则的最大值是______.
设向量满足，，，则的最大值等于
A．4B．2C．D．1
已知向量满足，则的最大值为________．
平面四边形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB， ∠ADC=，则的最小值为（ ）
A．-B．-1C．-D．-
题型四 对角互补构造圆
设向量a，b，c满足，，，则|c|的最大值等于______.
已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是
题型五 向量与阿氏圆
在中，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
已知都是平面中的单位向量，且，则的最小值是_______.
题型六 向量圆（极化圆）
在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满足:(为实常数)，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．不能确定
已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
如图，梯形中，，，，,和分别为与的中点，对于常数，在梯形的四条边上恰好有8个不同的点，使得成立，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
题型七 其它隐圆
已知四点共面，，，，则的最大值为 ．
正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为 .
如图，是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且（a为常数），下列结论中正确的是
A．当时，满足条件的点P有且只有一个
B．当时，满足条件的点P有三个
C．当时，满足条件的点P有无数个
D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
题型八 设点坐标，构造函数求最值
设，为单位向量，则的最大值是________
已知向量，满足，，则的最大值为___________.