专题8.4 四大分布：二项分布，超几何分布，正态分布（13类题型）-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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\l "_Tc155814872" 题型二 二项分布
\l "_Tc155814873" 题型三 建立二项分布模型解决问题
\l "_Tc155814874" 题型四 服从二项分布的随机变量概率最大问题
\l "_Tc155814875" 题型五 利用二项分布求分布列
\l "_Tc155814876" 题型六 二项分布之高尔顿钉板问题
\l "_Tc155814877" 题型七 超几何分布
\l "_Tc155814878" 题型八 超几何分布与二项分布
\l "_Tc155814879" 题型九 正态分布：正态曲线的对称性
\l "_Tc155814880" 题型十 正态分布的实际应用(选填)
\l "_Tc155814881" 题型十一 正态分布大题专练
\l "_Tc155814882" 题型十二 二项分布与正态分布
\l "_Tc155814883" 题型十三 超几何分布与正态分布
1、两点分布
（1）两步法判断一个分布是否为两点分布
①看取值：随机变量只取两个值：0和1.
②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是
（2）若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、二项分布
定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
1.独立重复试验的特点
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
2.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
①的取值为0，1，2，…，n；
②P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．
注意：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
3.二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
4.二项分布的期望、方差
若，则，．
3、超几何分布
（1）本质：超几何分布的模型是不放回抽样，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
（2）超几何分布中的参数是M，N，n；
（3）超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成.
4、正态分布
一、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲 乙
二、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
正态分布在四个特殊区间内取值的概率若则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
三、超几何分布与二项分布的区别∶
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
重点题型·归类精练
题型一 两点分布
设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
已知随机变量ξi满足Pξi=0=pi，Pξi=1=1−pi，且0A．p1p2，且Dξ1>Dξ2
C．p1Dξ2D．p1>p2，且Dξ1已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=1−p，P(ξ=1)=p，其中0A．E(η)>E(ξ)B．E(η)C．D(η)>D(ξ)D．D(η)若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=13，EX,DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A．PX=1=EXB．E3X+2=4
C．D3X+2=4D．DX=29
有3个人在一楼进入电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为ξ，则Eξ= .
有一个盒子里有1个红球，现将（）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着（）的增加，下列说法正确的是（ ）
A．减小，增加B．增加，减小
C．增加，增加D．减小，减小
某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．
题型二 二项分布
【点拨】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
设随机变量，若，则p的值为 .
已知随机变量服从二项分布，则 .
在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ．
假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是 ．
题型三 建立二项分布模型解决问题
知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据：）
32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（ ）
A．24B．25C．26D．27
设随机变量，则函数存在零点的概率是 ．
题型四 服从二项分布的随机变量概率最大问题
若，则取得最大值时， .
有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时点数1出现5次．若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为的概率最大．
设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方向移动一个单位.若移动次，则当时，质子位于原点的概率为 ，当 时，质子位于6对应点处的概率最大.
题型五 利用二项分布求分布列
甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
(1)求甲获胜的概率；
(2)设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
一个袋子中装有大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机地摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数.
(1)若采取不放回摸球，当，，，时，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，当，，，时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例，求误差不超过的概率(用分数表示).
“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；
(2)从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望.
甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：g/cm3）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.5．
(1)估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X，求随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）．
某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.
假设拟购进的这批原料的合格率为p0(1)若p=23，即方案二中所需的检验费用为随机变量X，求X的分布列与期望；
(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.
题型六 二项分布之高尔顿钉板问题
高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）
A．B．C．D．
如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.
高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.
题型七 超几何分布
【点拨】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ．
袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)= ．
某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（x≥3,x∈N∗）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，x−1张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，x−2张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．
(1)若老师选择了第3个盒子，x=7，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望EX；
(2)若x=5，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．
为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学A类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为23．
(1)若该同学只抽取3道A类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；
(2)若该同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求ξ的分布列和数学期望
为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯：年用电量在2161度到4 200度内(含4200度)，超出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的电量执行第三档电价0.8653元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
题型八 超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布的区别∶
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样（独立重复），当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.
电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．
近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围．
4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0,2、2,4、4,6、6,8、8,10、10,12、12,14、14,16、16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在6,8、14,16、16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在14,16内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用Pk表示这8名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在8,12内的概率，其中k=0,1,2,⋅⋅⋅,8.当Pk最大时，请直接写出k的值.（不需要说明理由）
某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值.
为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中25是男性，35是女性.
(1)当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1；有二项分布中（即男性员工的人数X∼B3,25）男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即P1−P2≤0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：578≈24.04）
杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：
(1)若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可作为“基地校”的学校个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
(2)现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为25，每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
题型九 正态分布：正态曲线的对称性
已知随机变量X服从正态分布，若，则 .
已知随机变量，，且，则 .
已知，若函数为偶函数，则 .
设，且，那么的值是（ ）
A．pB．C．D．
已知随机变量，随机变量，若，，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
题型十 正态分布的实际应用(选填)
研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（ ）
参考数据：若，则，，.
A．0.8186B．0.9759C．0.74D．0.84
长风工厂产品质量指标服从正态分布.质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这种产品的良品率达到，则需要调整生产工艺，使得至多为 .（若，则）
山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（ ）（参考数据：，．，）
A．3000B．13654C．16800D．19946
在某次大型人才招聘活动中，共有2000人参加笔试，笔试成绩位于区间，，的人数分别为683，272，45，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为 （参考数据：若，则）
题型十一 正态分布大题专练
某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后方可参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，估计样本的平均数；
(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计所有考生中初试成绩不低于80分的人数；
(3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中前两题每道题能答对的概率均为，后两题每道题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为，求.
附：若随机变量服从正态分布，则：，，.
零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
参考数据：；若随机变量，则，，.
某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ=376,σ2=12100，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在[266,596)内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”．
(1)若P(X2a−1)，求a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，X~Nμ,σ2，则P(μ−σ在某市举行的2024届高三第一次市统考中，为调查本次考试数学试卷的有效性，市教研部门从参加本次数学考试且成绩在50分及以上的学生中随机抽取1000名学生的成绩作为样本，并将数据统计如下表所示．
(1)假设样本中的数学考试成绩X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为样本的平均数，σ2为样本的方差，以各组区间的中点值代表该组的取值，求μ和σ2；
(2)在（1）的条件下，若全市数学考试成绩在84.25∼131.5分的考生人数占80%及以上，则认为本次考试数学试卷的有效性符合要求，用样本估计总体，试判断本次考试数学试卷的有效性是否符合要求？
参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：
(1)求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；
(2)假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为（1）中的平均数，σ2=12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？
附：若X服从正态分布X∼Nμ,σ2，则P(μ−σ2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则，，.
《山东省高考改革试点方案》规定：高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．
(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；
(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．
附：当时，，．
某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人，2020年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小时)，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组数据区间的中间值代表)；
(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
(i)利用直方图得到的正态分布，求；
(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求(结果精确到0.001)，以及Z的数学期望(结果精确到0.01)．
参考数据：，，，，.若，则，，.
某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;
(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;
(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．
附：若随机变量服从正态分布，则，
题型十二 二项分布与正态分布
若随机变量，若，则 ．
某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则 ．
2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
题型十三 超几何分布与正态分布
为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间ξ近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本的平均数，经计算知σ≈2.39．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在(7.45,14.62]内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在[7,9),[9,11)内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在[7,9)内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．
2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20~9:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20~8:40记作区间[20,40)，8:40~9:00记作40,60，9:00~9:20记作60,80，9:20~9:40记作80,100，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知m=2n，8:20~9:40时间段内的车辆数的频数如下表：
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X，求X的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T~Nμ,σ2，其中μ可用（1）中这1000辆车在8:20~9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在8:28~9:22之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若T~Nμ,σ2，则①Pμ−σ书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．0
1
…
…
…
…
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
用户
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量/度
1000
1260
1400
1824
2180
2423
2815
3325
4411
4600
零件直径（单位：厘米）
零件个数
10
25
30
25
10
成绩X
50,70
70,90
90,110
110,130
130,150
人数Y
20
220
530
200
30
丑橘数量（箱）
100,200
200,300
300,400
400,500
500,600
购物群数量（个）
a
18
a+8
a+20
18
时间段
[20,40)
40,60
60,80
80,100
频数
100
300
m
n