2024年安徽省滁州市天长市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的绝对值等于（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，据此即可作答．
【详解】解：的绝对值等于2024，
故选：B
2. 如图，该几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】根据题意得，
该几何体的主视图是．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4. 截至2023年10月末，我国建成5G基站总数为321.5万个，占移动基站总数的．其中数据321.5万用科学记数法可表示为的形式，则n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】数据321.5万用科学记数法可表示为．
∴．
故选：C．
5. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案．
【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，
则，
所以其面积，
∵，
∴，
∴，
∴的值为3．
故选：B．
6. 如图，分别过的顶点A，B作，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
7. 为落实“垃圾分类”，换位部门将某住宅小区的垃圾箱设置为三类．广宇家附近恰好有三类垃圾箱各一个，广宇姐姐将家中的垃圾对应分为两包，如果广宇将两包垃圾随机投放到其中的两个垃圾箱中，能实现对应投放的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，即可根据概率公式即可求解.
【详解】根据题意画出树状图，如下:
故实现对应投放的概率P=
故选D
【点睛】此题主要考查规律的计算，解题的关键是熟知频率的计算方法.
8. 如图，的对角线，相交于点O，点E为边的中点，连接并延长交边于点F，，．下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 四边形菱形D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点为的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
即，故A正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故C正确；
，
在中，，
，则，故B正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，
，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，三角形的中线性质，掌握菱形的判定是解题关键．
9. 已知非负数a，b，c满足，设，则S的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，一次函数的性质，设 是解题的关键．
设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得最大值．
【详解】解：设，则，，，
，
∵，
∴随的增大而减小，
，，为非负数，
，
解得：．
当时，取最大值为，
当时，取最小值，
∴S的取值范围是．
故选：A．
10. 如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，
∴，
∵的周长是18，，
∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
详解】解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键．
12. 如图，内接于，连接，若，则的度数为______．
【答案】##26度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，
先利用圆周角定理得到，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【详解】如图所示，连接，
∵内接于，
∴，
∵，
∴∠OBC=∠OCB，
∴．
故答案为：．
13. 如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
14. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若对于，有，则______；
（2）若对于，都有，则t的取值范围是______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，
（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
【详解】解：（1）∵对于，，有，
∴
∴，
∴．
∵对称轴为，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，
∴,
即．
故答案为：2；
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据乘方运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂运算法则以及二次根式的性质进行运算，然后相加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了乘方运算、负整数指数幂运算、化简绝对值以及二次根式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
16. 某商店对，两种商品开展促销活动，方案如下：
（1）商品降价后的标价为 元；（用含的式子表示）
（2）小艺购买商品件，商品件，共花费元，试求的值．
【答案】（1）；（2）30
【解析】
【分析】（1）根据题意，降价部分可表示为，由此列出降价后的标价即可；
（2）求出A商品降价后的单价，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）∵B商品每件按标价降价，
∴B商品降价后的标价为：，
故答案为：；
（2）由题意，A商品降价后的售价为，
则列方程：，
解得：，
∴的值为30．
【点睛】本题考查列代数式，以及一元一次方程的实际应用，准确根据题意列出代数式，抓住数量关系是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点．
（1）以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为；
（2）把向上平移3个单位长度后得到，请画出；
（3）的面积为______．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）8
【解析】
【分析】本题考查位似，平移作图，解题跌关键是熟练掌握位似图形的画法，平移图形的画法，
（1）根据画位似图形的一般步骤画图即可；
（2）将的每一个顶点都向上平移3个单位，再连接各顶点即可；
（3）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，就是所求作的三角形；
【小问2详解】
解：如图所示，就是所求作的三角形．
【小问3详解】
解：的面积为．
18. 如图所示是用地板砖铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形……依次递推．
（1）第3层有6个正方形和______个正三角形；
（2）第n层有6个正方形和______个正三角形（用含n的式子表示）；
（3）若第n层有6个正方形和2022个正三角形，求n的值．
【答案】（1）30； （2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律，一元一次方程的应用，解题的关键是找到正三角形个数的规律．
（1）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（2）根据前两层正三角形的个数找到规律求解即可；
（3）根据题列式求解即可．
【小问1详解】
解：第1层包括个正三角形，
第2层包括个正三角形，
∴第3层包括个正三角形；
【小问2详解】
由（1）可得，
每一层比上一层多12个，
∴第n层中含有正三角形的个数是（个）．
【小问3详解】
根据题意得，
解得．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是一条东西走向的马路，某勘察员在A处测得建筑物Р在他的东北方向上，他沿行走到达B处，再向正北方向走到达C处，此时测得建筑物P在他北偏东方向上，求的长．（参考数据：，，）
【答案】的长为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
先在中，设未知数，将铺垫好的边置于中解三角形即可．
【详解】解：作，垂足为H，交BG于点Q，设
在中，
∴

∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：，
答：的长为75m．
20. 如图，为的直径，在的延长线上取一点C，与相切于点D，交于点E，且，连接．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）已知F为的中点，连接．若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题属于几何综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定，解决本题的关键是综合运用以上知识．
（1）连接，证明，得即可证明结论；
（2）连接，过点B作于点H．求出，，．由F为的中点，得，，，进而得．
【小问1详解】
解：连接．
与相切于点D，．
为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【小问2详解】
解：连接，过点B作于点H．
由（1）知．
∵，
∴，，
∴．
∵F为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 在“双减”政策的落实中，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生每天的课后书面作业的时长（单位：）情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生进行调查，整理数据（保留整数）得出如下不完整的统计图表（作业时长用表示）：
A，B两所学校分别被抽取的50名学生每天的课后书面作业的时长频数分布表
A学校50名九年级学生中每天课后书面作业时长在的具体数据如下：
80，78，77，77，77，76，76，76，75，75，75，75，75，74，74，73，72，72．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）______，______，补全频数直方图；
（2）A学校50名九年级学生每天课后书面作业时长中位数是______；
（3）依据国家政策，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过，估计两所学校1000名学生中，能在内（包含）完成当日课后书面作业的学生共有多少人．
【答案】（1）15，12，图形见解析；
（2）74.5 （3）能在内（包含）完成当日课后书面作业的学生共有920人．
【解析】
【分析】（1）根据每个学校抽查人数为50人，结合频数分布表及分布直方图可进行求解；
（2）中位数的定义：一组数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，如果这组数有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数；
（3）根据A、B学校能在90分钟内完成课后作业所占比例可进行求解．
【小问1详解】
解：
，
补全频数分布直方图：
【小问2详解】
解：中位数为第25个和第26个平均数，
故答案为74.5，
【小问3详解】
解：（人）．
故答案为：920．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数、众数、样本估计总体，解题的关键是分析好题中所给相关数据．
七、（本题满分12分）
22. 如图，中，，，D，E分别是直线，边上的点，直线，交于点F．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）如图3，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质等；
（1）可判定为等边三角形，由等边三角形的性质得，，由可判定，即可得证；
（2）可判定为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；
（3）过点A作于点H ，由余弦的定义得，设，则有，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；
能熟练利用相似三角形的判定方法及性质进行求解是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
在和中
，
（），
；
【小问2详解】
解：，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，过点A作于点H ，
，
，
，
，
，
，
设，则有
，
，
，
，
，
又，
，
．
八、（本题满分14分）
23. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
商品
标价（单位：元）
每件商品出售价格
按标价降价
按标价降价
组别
A学校人数
5
a
18
8
4
B学校人数
7
10
b
17
4