2024年湖北省随州市联考中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题(共10题每小题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数：“只有符号不同的两个数”，进行判断即可．
【详解】解：2024的相反数是；
故选C．
2. 2023年长沙国际马拉松在芙蓉中路（贺龙体育中心东广场旁）起跑，来自国内外的26000名跑友汇成一片红色的海洋驰聘在长马赛道上，他们用脚步丈量星城，感受一江两岸、山水洲城的魅力，图①是此次全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台从正面看到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：A．
3. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：在中，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 了解我是“创文明、树新风”活动的市民知晓情况，适合采用全面调查
B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C. 学校将选择初三的一名学生参加市里的数学竞赛活动，甲、乙、丙三位同学初三一学期的数学成绩的方差分别为，，，选择乙同学去最合适
D. 可能性是的事件在一次实验中一定会发生
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查，方差，概率的意义，圆心角、弧、弦的关系，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、了解我是“创文明、树新风”活动的市民知晓情况，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、学校将选择初三的一名学生参加市里的数学竞赛活动，甲、乙、丙三位同学初三一学期的数学成绩的方差分别为，，，选择甲同学去最合适，故此选项不符合题意；
D、可能性是的事件在一次实验中不一定会发生，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，方差，概率的意义，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
5. 下列各运算中，正确的运算是（ ）
A. B. （2a）3＝8a3
C. a8÷a4＝a2D. （a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】B
【解析】
【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．
【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，
∴与不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6. 已知直线，将含有的直角三角尺按如图方式放置（），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，结合则可求得，再由平行线的性质可求得，即可求出的度数．
【详解】解：如图，由题意可知，，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角板中角度计算问题，解答的关键是熟记平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
7. 如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，


．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
8. 如图，分别切于两点，点在优弧上，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、四边形内角和定理及圆周角定理，连接，根据切线的性质得出，再由四边形内角和为360度得出，最后根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
详解】连接，

∵分别切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
设，则，，
在中，，
，
，
灯塔的高度AD大约是．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．
10. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图象开口向上可得：
由于图像与轴交于负半轴，可知：
根据对称轴公式：可知：
，故①正确
抛物线过点
即：，故②正确
当时，取得最小值
（为任意实数），故③错误
抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且
则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离
根据图像可知：，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)
11. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】将分式适当变形后，利用同分母分式的减法法则运算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，将分式适当变形后，利用同分母分式的减法法则运算是解题的关键．
12. 请写出一组k、b的值，使一次函数的图像经过第一、三、四象限：_______．
【答案】，（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，在一次函数中，是解答本题的关键．在一次函数中，图象经过第一、三、四象限，选取一组符合条件的、值即可．
【详解】解：在一次函数中，若图象经过第一、三、四象限，，，不妨取，．
故答案为：，（答案不唯一）．
13. 小明从《红星照耀中国》，《红岩》，《长征》，《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本，其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：随机挑选一本书共有4种等可能的结果，其中拿到《红星照耀中国》这本书的结果有1种，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
14. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知：x株需要6210文，株运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程．
【详解】解：设这批椽的数量为x株，
由题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
15. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键．
三、解答题(共9题，共75分，解答就应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
17. 如图，点分别在菱形的边上，．求证:

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形性质得出AB=AD，∠B=∠D，根据SAS推出△ABE≌△ADF，推出AE=AF即可．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF．
【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：菱形的四条边相等，菱形的对角相等．
18. 2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆
【解析】
【分析】设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案．
【详解】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，
由题意得：，
解得：，
答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键．
19. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】（1）50 （2）见解析
（3）估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人
（4）
【解析】
【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图；
（3）用600乘以样本中C组人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
所以本次一共抽样调查了名学生；
故答案为：50；
【小问2详解】
B组人数为（人），
条形统计图补充为：
【小问3详解】
（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
【小问4详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
20. 已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图像直接写出不等式kx+b的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y
（2）8 （3）x＜﹣3或0＜x＜1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可；
（3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2），
∴m＝﹣3×2＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则，
解得k＝﹣2，b＝﹣4，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y；
【小问2详解】
解：如图，设直线AB交y轴于C，
则C（0，﹣4），
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8；
小问3详解】
解：观察函数图象知，
不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
21. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
证明：连接

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
【小问2详解】
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
22. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒．
（1）当时，__________；
（2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？
（3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．
【答案】（1）
（2）当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
（3）他们的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，列式计算即可；
（2）根据销售量乘以每盒的利润得到，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）设日销售额为元，则，根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当时，由，解得，由抛物线开口向下，得到当时，，即可判断小红的说法．
【小问1详解】
解：当时，（盒），
故答案为：
【小问2详解】
由题意得，
，
又∵，即，
解得，
∵，
∴当时，W最大，最大值为，
∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元．
小问3详解】
他们的说法正确，理由如下：
设日销售额为元，则
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴当时，最大，此时为，
即小强的说法正确；
当时，，解得，
∵抛物线开口向下，
∴当时，∵，
∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为．
故小红的说法错误．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和正确计算是解题的关键．
23. 【问题提出】如图①，在正方形中，点分别在边上，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【类比探究】如图②，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点．则与之间的数量关系为 ．
【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则的长为 ．

【答案】问题提出：，理由见详解
类比探究：
拓展应用：2
【解析】
【分析】问题提出：
过点作，交于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明四边形为平行四边形，可知，即可获得答案；
类比探究：
过点作于点，易知四边形为矩形，可得，证明，由相似三角形的性质可得，结合、，即可获得答案；
拓展应用：
首先求得，然后利用三角函数可得，设，则，由勾股定理可得，结合折叠的性质易知，则有，在中，由勾股定理可得，求解即可得，，在结合题意求得，即可获得答案．
【详解】问题提出：与的数量关系为，理由如下：
如下图，过点作，交于点，

∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
类比探究：
过点作于点，如下图，

则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质，可得垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
拓展应用：
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
设，则，
∴，
由折叠性质可得，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，（不合题意，舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，综合性强，灵活运用相关知识是解题关键．
24. 如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标；
（3）是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式；
（2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可；
（3）过点作轴于点，根据得到，可推出，进入即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
令，
则，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴．
设，
∴，
∴或，
∴或
【小问3详解】
解：存在，点的坐标是．
理由：过点作轴于点，

∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
设点，
∴，，
∴，
整理得，
解得或（不符合题意），
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点．