江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题原卷版docx、江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式求特殊角的三角函数值.
【详解】.
故选：C
2. 某学校高三、高二、高一年级学生人数分别为600、400、300人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取52人进行调查，则从高二年级中抽取的人数为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分层抽样原则直接构造方程计算可得结果.
【详解】设从高二年级抽取的人数为，则，解得：.
故选：B.
3. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】若，则，即，故，充分性成立，
不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B.
5. 已知向量满足，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由向量满足，
因为，可得，
解得，
故选：D.
6. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.
【详解】正三角形的面积为，
圆弧的长度为，故一个弓形的面积为，
故“莱洛三角形”的面积为.
故选：A
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故选：A
8. 已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据可知时，函数取到最大值，结合，可求出，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得的值，利用函数的单调性确定的具体值，即可求得答案.
【详解】因为，故时，函数取到最大值，
又，可知为的对称中心，
故，
故；
又在上单调，故，
即，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，
故，则，
结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，
由，得，
由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；
当时，，时，取到最大值，
故，则，
结合，可得，则，满足为的对称中心，
由，得，
由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故
故选：A
【点睛】易错点点睛：本题考查了根据的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.
二、多选题（20分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 化成弧度是B. 化成角度是
C. 化成弧度是D. 与的终边相同
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D.
【详解】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；
B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；
C：对应的弧度为，故C错误；
D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.
故选：ABD
10. 已知向量则下列说法正确的是（ ）
A. 的相反向量是B. 若，则
C. 在上投影数量为D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由相反向量的定义判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影数量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D.
【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，
又，且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，
所以在上的投影数量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，
所以，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数,则下列描述正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 是函数图象的一个对称轴
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A根据最小正周期公式求解即可;对于B,C,求解的值即可判断;对于D,先根据条件得到平移后的函数解析式,再利用奇偶性定义判断即可.
【详解】函数的最小正周期,故A正确;
,所以关于对称,故B错误;
,所以是函数图象的一个对称中心,故C正确;
根据题意,
则,所以为奇函数,故D正确.
故选:ACD.
12. 已知，函数，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若在上单调递增，则的取值范围是
C. 若函数有2个零点，则的取值范围是
D. 若的图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性判断A，根据函数的单调性列不等式解参数范围判断B，举反例判断C，根据对称函数图象的位置关系列不等式组求解判断D.
【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以当时，，正确；
对于B，由在上单调递增知，解得，正确；
对于C，当时，函数，作出函数的图象，如图：
由图知，直线与函数有两个交点，则方程有两个根，
即函数有2个零点，显然，错误；
对于D，易知与函数的图象关于原点对称的函数为，作出示意图：
要使若的图象上不存在关于原点对称的点，则，即，
解得，即的取值范围是，正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、填空题（20分）
13. 命题“”的否定是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的否定形式求解即可．
【详解】命题“”的否定是：“”．
故答案为：．
14. 设是不共线的向量，若三点共线，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得可以作为平面内一组基底，根据三点共线，所以，即可求出参数的值；
【详解】解：因为是不共线的向量，所以可以作为平面内一组基底，因为，所以，因为三点共线，所以，所以，解得
故答案为：
15. 函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先由函数的奇偶性确定函数的周期为，再由奇偶性得到，计算出结果即可.
【详解】因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①，
是奇函数，则②，
联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为的周期函数，
所以，
又当时，，所以
故答案为：.
16. 在中，已知点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合）．若，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由、表示，结合进而可求得结果.
【详解】如图所示，

设，
则，
又因为，点在线段上（与点、不重合），
所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题（70分）
17. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求与的夹角.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模.
（2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角.
【小问1详解】
向量，则，由，得，
解得，即，
所以.
【小问2详解】
向量，则，由，得，
解得，则，，而，
因此，而，
所以与的夹角.
18. 平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
（1）求sinα和tanα的值
（2）若，化简并求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义计算；
（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．
【小问1详解】
∵，由三角函数的定义得，；
【小问2详解】
∵，
∴.
19. 某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该校男生身高的中位数；
（2）若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
【答案】（1）155.625厘米
（2）
【解析】
【分析】（1）首先判断该校男生身高中位数在内，设该校男生身高的中位数为，则，解得即可；
（2）分别求出身高在、内的男生中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以该校男生身高的中位数在内.
设该校男生身高的中位数为，则，
解得，即该校男生身高的中位数约为厘米.
【小问2详解】
由题意可知从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，
从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，
从这5人中随机抽取2人的情况有共10种，
其中符合条件的情况有共7种，
故所求概率.
20. 如图，在中，点在线段上，且.

（1）用向量表示；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的图形，结合向量的线性运算计算即得.
（2）利用（1）的结论及已知，利用向量数量积的运算律求解即得.
【小问1详解】
在中，点在线段上，且，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
，而，
因此，即，
所以.
21. 已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求的最大值以及对应的取值集合.
【答案】（1）
（2），
（3），
【解析】
【分析】（1）根据三角函数图象变换求解；
（2）根据正弦函数的单调性和整体法求解；
（3）根据正弦函数的最值和整体法求解.
【小问1详解】
选择：函数先纵坐标不变，
横坐标伸长为原来的2倍，得，
再向左平移个单位长度得，
选择：先向左平移个单位长度，得，
再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得，
选择或两种变换均得；
【小问2详解】
令，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
【小问3详解】
当，，
即，时，取得最大值，
此时对应的的取值集合为.
22. 已知定义在上的函数，且是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）当时，记最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，结合偶函数的定义计算即可;
（2）借助函数的单调性求出的最大值为，再对进行参变分离求出最值即可.
【小问1详解】
记，
为偶函数，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
.
【小问2详解】
和都是单调递增函数,
在是单调递增的，
,
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上单调递增，
,
.