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人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制精品练习题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•滨海新区校级期中）下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋•常州期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，则的值约为（ ）
A．2﹣B．2﹣C．1﹣D．1﹣
3．（2021秋•巫山县校级期末）集合{x|k⋅180°+45°≤α≤k⋅180°+90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋•保定月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇形，已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
5．（2022秋•怀化期中）用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点M，N恰好重合），该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则tan∠APB的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•莒南县校级期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•南通月考）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，扇形OAB的面积记为S，则的值约为（ ）
A．．﹣B．．﹣
C．．﹣D．．﹣
9．（2022•济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022•湖北模拟）如图，在半径为的半圆弧上取一点P，以AP为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙AP，在上取2k个点P1，P2，…，P2k将圆弧2k+1等分，设月牙AP1，AP2，…，AP2k面积的平均值为Sk，若对于∀k∈N*均有λ＜Sk，则λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题。
11．（2022秋•赣州期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为 ．
12．（2022秋•嘉定区校级期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为 ．
13．（2022秋•浙江期中）在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
14．（2022秋•市南区校级月考）如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是 dm2．
15．（2022秋•湖北月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝1，点C为上的动点且不与点A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于点E，则四边形ODCE面积的最大值为 ．
16．（2022•衡山县校级开学）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
17．（2022春•东营期末）已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形的面积最大值为 ．
18．（2022•天心区校级模拟）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD（顶点A与P重合）沿圆周逆时滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了 轮，此时点A走过的路径的长度为 ．
三、解答题。
19．（2021•城西区校级开学）已知扇形的半径为1，中心角为120°，求该扇形的周长和面积．
20．（2021秋•朝阳区校级月考）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
21．（2022春•宛城区校级月考）已知扇形的面积为，弧长为，设圆心角为α．
（1）求α的弧度；
（2）求的值．
22．（2022秋•永州月考）由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知OB＝12，BC＝8，∠AOB＝90°，∠CBO＝60°，点E在扇形OAC的弧上运动．
（1）求sin∠BOC的值；
（2）求四边形AOBE面积的最大值．
23．（2022•弋江区校级开学）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D．
（1）过点D作OB的垂线，垂足为E，求证：DE与半圆C相切；
（2）若OA＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（2022春•沭阳县期中）如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）若，求阴影部分（曲边三角形BCQ）的面积；
（2）若，求sin2α的值．
25．（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
26．（2022春•大连期中）扇形的圆心角∠AOB为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB＝θ；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM＝φ；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为S1，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为S2，求出S1与S2，并比较S1与S2的大小．
专题5.1 任意角与弧度制（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•滨海新区校级期中）下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C。
【解答】解：与的终边相同的角的集合为{α|，k∈Z}，
又角度与弧度不能混用，
故选：C．
2．（2022秋•常州期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，则的值约为（ ）
A．2﹣B．2﹣C．1﹣D．1﹣
【答案】D。
【解答】解：设扇形所在圆心角的弧度数为α，
∴l＝αr，即，∴，
∴|AB|＝2rsin≈2r（﹣）＝＝，
＝αr，
∴＝＝1﹣，
故选：D．
3．（2021秋•巫山县校级期末）集合{x|k⋅180°+45°≤α≤k⋅180°+90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，则集合为{x|n•360°+45°≤x≤n•360°+90°，n∈Z}，此时集合表示的是第一象限角，
当k＝2n+1，n∈Z时，则集合为{x|n•360°+225°≤x≤n•360°+270°，n∈Z}，此时集合表示的是第三象限角，
所以D正确，
故选：D．
4．（2022秋•保定月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇形，已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】C。
【解答】解：设内弧线对应扇形的半径为r，
由已知可得＝，
∴60r＝320+20r，∴r＝8，
∴该扇形的中心角的弧度数为＝＝2.5．
故选：C．
5．（2022秋•怀化期中）用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点M，N恰好重合），该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则tan∠APB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：设扇形OMN所在圆的半径为r，则，解得r＝3，
则所得圆锥的母线长为3，即PA＝PB＝3，
设圆锥的底面半径为R，则，解得R＝1，
则AB＝2R＝2，
则在等腰△PAB中，由余弦定理可得，＝，
则，
所以．
故选：A．
6．（2022秋•莒南县校级期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，
故弧长AB为AB×，
故莱洛三角形的周长2π＝3×AB×，
所以AB＝2，
故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABC＝×2×﹣×22×sin＝﹣，
故莱洛三角形的面积为×22×sin+3×（﹣）＝2π﹣2．
故选：D．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：由题意，如图，可得AD＝d，∠DOA＝，
设OA＝r，
则在△ADO中，sin＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得：＝，即．
故选：A．
8．（2022秋•南通月考）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，扇形OAB的面积记为S，则的值约为（ ）
A．．﹣B．．﹣
C．．﹣D．．﹣
【答案】B。
【解答】解：设∠AOB＝x，则|AB|＝2|OB|sin＝2rsin，
由l＜r可知，x＝，故0，
故|AB|＝2rsin≈2r•[]＝2r（）＝rx﹣＝l﹣＝l﹣，
又扇形OAB的面积为s＝，
则＝＝＝＝，
故选：B．
9．（2022•济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：过C作CD⊥AB，设圆弧AC的圆心为O，半径为R，则AO＝CO＝R，
在△ACD中，，所以，
所以在直角三角形CDO中，CD2+DO2＝CO2，所以，
所以，而，
所以∠COD＝θ，所以．
故选：A．
10．（2022•湖北模拟）如图，在半径为的半圆弧上取一点P，以AP为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙AP，在上取2k个点P1，P2，…，P2k将圆弧2k+1等分，设月牙AP1，AP2，…，AP2k面积的平均值为Sk，若对于∀k∈N*均有λ＜Sk，则λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B。
【解答】解：由对称性可知月牙AP2k+1﹣i的面积等于月牙BPi的面积，因为，
，月牙面积＝半圆面积﹣弓形面积，而弓形面积＝扇形面积﹣三角形面积，
所以月牙APi、BP的面积之和为，
所以，
因为对于∀k∈N*均有λ＜Sk，所以λ的最大值为．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•赣州期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为 ．
【答案】。
【解答】解：由题意可知，弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，
则，
∵AC＝18，
∴OC＝9，
∴该扇形的中心角的弧度数为．
故答案为：．
12．（2022秋•嘉定区校级期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，
则此扇形的弧长为2×3＝6．
故答案为：6．
13．（2022秋•浙江期中）在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：设∠COB＝θ，则S＝sinθ（csθ﹣sinθ），化简得，
当，面积取到最大值，．
故答案为：．
14．（2022秋•市南区校级月考）如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是 dm2．
【答案】；。
【解答】解：∵长方形的长为dm，宽为1dm，∴对角线长为2，
根据题意可得：点A走过的路程是：
++＝π++＝，
∴A走过的弧所对应的扇形的总面积是：
＝．
故答案为：；．
15．（2022秋•湖北月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝1，点C为上的动点且不与点A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于点E，则四边形ODCE面积的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：记∠COD＝α，∠COE＝β，
则，OD＝csα，OE＝csβ，CD＝sinα，CE＝sinβ，
则
＝＝
＝，当α＝β＝22.5°时，等号成立，
则四边形ODCE面积的最大值为．
故答案为：．
16．（2022•衡山县校级开学）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】。
【解答】解：由∠EPF＝40°，
则，
又AE＝2，
则扇形AEF的面积为，
又，
即图中阴影部分的面积是4﹣，
故答案为：．
17．（2022春•东营期末）已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形的面积最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：设∠COA＝θ，扇形AOB的半径为1，圆心角为60°，
则CF＝sinθ，，
＝
＝，
∵0°≤α≤60°，
∴30°≤2α+30°≤150°，
∴当2α+30°＝90°，即α＝30°时，
S取得最大值，最大值为．
故答案为：．
18．（2022•天心区校级模拟）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD（顶点A与P重合）沿圆周逆时滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了 3 轮，此时点A走过的路径的长度为 （2+）π ．
【答案】3；（2+）π。
【解答】解：正方形滚动一轮，圆周上依次出现B→C→D→A，
顶点两次回到P时，正方形顶点将圆周正好分成6等分，
由4和6的最小公倍数3×4＝2×6＝12，
所以A首次P重合时，正方形滚动3轮，
这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径为2，2，2的三段弧，
故路径长l＝（2+2）＝，
点A与P重合时，总路径长（2+）π．
故答案为：3；（2+）π．
三、解答题。
19．（2021•城西区校级开学）已知扇形的半径为1，中心角为120°，求该扇形的周长和面积．
【解答】解：因为扇形的半径为1，中心角为120°，
所以这个扇形的弧长为：＝，
所以这个扇形的周长为：1+1+＝+2．
扇形的面积为：．
故答案为：+2，．
20．（2021秋•朝阳区校级月考）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
【解答】解：（1）设扇形对应的圆心角对应的弧度数为α，
∵扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15，
∴15＝5+5+5α，解得α＝1．
（2）该扇形的面积为．
21．（2022春•宛城区校级月考）已知扇形的面积为，弧长为，设圆心角为α．
（1）求α的弧度；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由扇形面积公式得＝，
所以r＝2，
故α＝＝；
（2）＝＝tan2α＝tan＝．
22．（2022秋•永州月考）由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知OB＝12，BC＝8，∠AOB＝90°，∠CBO＝60°，点E在扇形OAC的弧上运动．
（1）求sin∠BOC的值；
（2）求四边形AOBE面积的最大值．
【解答】解：（1）在△BOC中，由余弦定理知，OC2＝OB2+CB2﹣2OB⋅CB⋅cs∠CBO＝144+64﹣2×12×8×cs60°＝112，
所以．
由正弦定理知，，
所以．
（2）S四边形AOBE＝S△AOE+S△EOB，记∠EOB＝θ，θ∈[∠BOC，90°），则∠AOE＝90°﹣θ，
由（1）可知，，
所以，，
所以
＝，
其中，，当θ+φ＝90°，即时，取等号，
所以四边形AOBE面积的最大值为．
23．（2022•弋江区校级开学）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D．
（1）过点D作OB的垂线，垂足为E，求证：DE与半圆C相切；
（2）若OA＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接CD，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°
∵DE⊥OB，∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝60°，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠A＝30°，
∴∠CDE＝90°，
∴DE与半圆C相切．
（2）解：连接OD，
∵OA 为圆 C 的直径，
∴OD⊥AB，∴AD＝DB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAD＝30°，
∴，
由勾股定理，得 ，
∴，
∵OC＝CA，BD＝DA，
∴，
∴∠ACD＝∠AOB＝120°，△ACD 的面积 的面积＝，
∴阴影部分的面积＝ 的面积 的面积 ）＝＝．
24．（2022春•沭阳县期中）如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）若，求阴影部分（曲边三角形BCQ）的面积；
（2）若，求sin2α的值．
【解答】解：（1）由图可知，在Rt△OBC中，BC＝2sin45，OC＝2cs45，
则阴影部分面积，
（2）在Rt△OBC中，BC＝2sinα，OC＝2csα，
在Rt△ADO中，，
则，
则，
由，可得2cssinα＝2sinα，
即，所以，
则sin2α＝2sinαcsα＝＝＝＝．
25．（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
【解答】解：（1）△ABD中，AD＝4，AB＝3，BD＝37，
所以csA＝＝﹣，
又因为A∈（0，π），所以A＝，
设扇形的半径为r，则S△ABD＝•37•r＝•4•3•sin，
解得r＝6，
所以扇形的面积为S扇形＝××＝36π，
所以两块花卉景观扇形的面积为72π米2；
（2）连接A与切点O，设∠BDA＝θ，
△AOD中，AD＝OA•＝，
在△OAB中，AB＝，
在△ABE中，BE＝ABsin45°，
平行四边形绿地ABCD的面积为S＝AD•BE＝•sin45°＝，0°＜θ＜45°，
令f（θ）＝sinθsin（45°﹣θ）＝sinθ（csθ﹣sinθ）＝（sinθcsθ﹣sin2θ）＝（sin2θ﹣）＝（sin2θ+cs2θ﹣）＝sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
所以2θ+∈（，），当θ＝，即θ＝22.5°时，f（θ）取得最大值为，此时S取得最小值；
所以∠BDA＝22.5°时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小．
26．（2022春•大连期中）扇形的圆心角∠AOB为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB＝θ；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM＝φ；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为S1，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为S2，求出S1与S2，并比较S1与S2的大小．
【解答】解：图（I），矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，
在直角△OED中，设，
则OD＝2csθ，ED＝2sinθ，
又由，
所以
＝．
当，即时，
矩形CDEF的面积最大，最大值为，即．
图（II），点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，
且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，
令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，
设，则EN＝2sinφ，
ED＝4sinφ，又由，
所以＝，
当时，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，
即．因为，
所以S1＞S2．
1．（2022秋•滨海新区校级期中）下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋•常州期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，则的值约为（ ）
A．2﹣B．2﹣C．1﹣D．1﹣
3．（2021秋•巫山县校级期末）集合{x|k⋅180°+45°≤α≤k⋅180°+90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋•保定月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇形，已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
5．（2022秋•怀化期中）用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点M，N恰好重合），该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则tan∠APB的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•莒南县校级期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022秋•南通月考）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，扇形OAB的面积记为S，则的值约为（ ）
A．．﹣B．．﹣
C．．﹣D．．﹣
9．（2022•济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022•湖北模拟）如图，在半径为的半圆弧上取一点P，以AP为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙AP，在上取2k个点P1，P2，…，P2k将圆弧2k+1等分，设月牙AP1，AP2，…，AP2k面积的平均值为Sk，若对于∀k∈N*均有λ＜Sk，则λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题。
11．（2022秋•赣州期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为 ．
12．（2022秋•嘉定区校级期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为 ．
13．（2022秋•浙江期中）在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
14．（2022秋•市南区校级月考）如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是 dm2．
15．（2022秋•湖北月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝1，点C为上的动点且不与点A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于点E，则四边形ODCE面积的最大值为 ．
16．（2022•衡山县校级开学）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
17．（2022春•东营期末）已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形的面积最大值为 ．
18．（2022•天心区校级模拟）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD（顶点A与P重合）沿圆周逆时滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了 轮，此时点A走过的路径的长度为 ．
三、解答题。
19．（2021•城西区校级开学）已知扇形的半径为1，中心角为120°，求该扇形的周长和面积．
20．（2021秋•朝阳区校级月考）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
21．（2022春•宛城区校级月考）已知扇形的面积为，弧长为，设圆心角为α．
（1）求α的弧度；
（2）求的值．
22．（2022秋•永州月考）由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知OB＝12，BC＝8，∠AOB＝90°，∠CBO＝60°，点E在扇形OAC的弧上运动．
（1）求sin∠BOC的值；
（2）求四边形AOBE面积的最大值．
23．（2022•弋江区校级开学）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D．
（1）过点D作OB的垂线，垂足为E，求证：DE与半圆C相切；
（2）若OA＝6，求图中阴影部分的面积．
24．（2022春•沭阳县期中）如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）若，求阴影部分（曲边三角形BCQ）的面积；
（2）若，求sin2α的值．
25．（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
26．（2022春•大连期中）扇形的圆心角∠AOB为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB＝θ；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM＝φ；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为S1，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为S2，求出S1与S2，并比较S1与S2的大小．
专题5.1 任意角与弧度制（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•滨海新区校级期中）下列与角的终边一定相同的角是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C。
【解答】解：与的终边相同的角的集合为{α|，k∈Z}，
又角度与弧度不能混用，
故选：C．
2．（2022秋•常州期中）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，则的值约为（ ）
A．2﹣B．2﹣C．1﹣D．1﹣
【答案】D。
【解答】解：设扇形所在圆心角的弧度数为α，
∴l＝αr，即，∴，
∴|AB|＝2rsin≈2r（﹣）＝＝，
＝αr，
∴＝＝1﹣，
故选：D．
3．（2021秋•巫山县校级期末）集合{x|k⋅180°+45°≤α≤k⋅180°+90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，则集合为{x|n•360°+45°≤x≤n•360°+90°，n∈Z}，此时集合表示的是第一象限角，
当k＝2n+1，n∈Z时，则集合为{x|n•360°+225°≤x≤n•360°+270°，n∈Z}，此时集合表示的是第三象限角，
所以D正确，
故选：D．
4．（2022秋•保定月考）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇形，已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
【答案】C。
【解答】解：设内弧线对应扇形的半径为r，
由已知可得＝，
∴60r＝320+20r，∴r＝8，
∴该扇形的中心角的弧度数为＝＝2.5．
故选：C．
5．（2022秋•怀化期中）用一个圆心角为120°，面积为3π的扇形OMN（O为圆心）围成一个圆锥（点M，N恰好重合），该圆锥顶点为P，底面圆的直径为AB，则tan∠APB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：设扇形OMN所在圆的半径为r，则，解得r＝3，
则所得圆锥的母线长为3，即PA＝PB＝3，
设圆锥的底面半径为R，则，解得R＝1，
则AB＝2R＝2，
则在等腰△PAB中，由余弦定理可得，＝，
则，
所以．
故选：A．
6．（2022秋•莒南县校级期中）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D。
【解答】解：易知弧AB的圆心角为，半径为AB，
故弧长AB为AB×，
故莱洛三角形的周长2π＝3×AB×，
所以AB＝2，
故阴影部分面积为S扇形ABC﹣S△ABC＝×2×﹣×22×sin＝﹣，
故莱洛三角形的面积为×22×sin+3×（﹣）＝2π﹣2．
故选：D．
7．（2022秋•浦东新区校级月考）折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为l，AB间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l、d和θ所满足的恒等关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：由题意，如图，可得AD＝d，∠DOA＝，
设OA＝r，
则在△ADO中，sin＝，①
又l＝rθ，②
所以由①②可得：＝，即．
故选：A．
8．（2022秋•南通月考）如图是一个近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的长为l（l＜r）．为了方便观光，欲在A，B两点之间修建一条笔直的走廊AB．若当0＜x＜时，sinx≈x﹣，扇形OAB的面积记为S，则的值约为（ ）
A．．﹣B．．﹣
C．．﹣D．．﹣
【答案】B。
【解答】解：设∠AOB＝x，则|AB|＝2|OB|sin＝2rsin，
由l＜r可知，x＝，故0，
故|AB|＝2rsin≈2r•[]＝2r（）＝rx﹣＝l﹣＝l﹣，
又扇形OAB的面积为s＝，
则＝＝＝＝，
故选：B．
9．（2022•济南二模）济南市洪家楼天主教堂于2006年5月被国务院列为全国重点文物保护单位．它是典型的哥特式建筑．哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图2，和所在圆的圆心都在线段AB上，若∠ACB＝θrad，|AC|＝b，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：过C作CD⊥AB，设圆弧AC的圆心为O，半径为R，则AO＝CO＝R，
在△ACD中，，所以，
所以在直角三角形CDO中，CD2+DO2＝CO2，所以，
所以，而，
所以∠COD＝θ，所以．
故选：A．
10．（2022•湖北模拟）如图，在半径为的半圆弧上取一点P，以AP为直径作半圆，则图中阴影部分为月牙AP，在上取2k个点P1，P2，…，P2k将圆弧2k+1等分，设月牙AP1，AP2，…，AP2k面积的平均值为Sk，若对于∀k∈N*均有λ＜Sk，则λ的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B。
【解答】解：由对称性可知月牙AP2k+1﹣i的面积等于月牙BPi的面积，因为，
，月牙面积＝半圆面积﹣弓形面积，而弓形面积＝扇形面积﹣三角形面积，
所以月牙APi、BP的面积之和为，
所以，
因为对于∀k∈N*均有λ＜Sk，所以λ的最大值为．
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•赣州期中）古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm，则该扇形的中心角的弧度数为 ．
【答案】。
【解答】解：由题意可知，弧AB的长为60cm，弧CD的长为20cm，
则，
∵AC＝18，
∴OC＝9，
∴该扇形的中心角的弧度数为．
故答案为：．
12．（2022秋•嘉定区校级期中）已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，则此扇形的弧长为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3，
则此扇形的弧长为2×3＝6．
故答案为：6．
13．（2022秋•浙江期中）在扇形OPQ中，半径为1，圆心角为，若要在扇形上截取一个矩形ABCD，且一条边在扇形的一条半径上，如图所示，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：设∠COB＝θ，则S＝sinθ（csθ﹣sinθ），化简得，
当，面积取到最大值，．
故答案为：．
14．（2022秋•市南区校级月考）如图所示，已知一长为dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程是 dm，走过的弧所对应的扇形的总面积是 dm2．
【答案】；。
【解答】解：∵长方形的长为dm，宽为1dm，∴对角线长为2，
根据题意可得：点A走过的路程是：
++＝π++＝，
∴A走过的弧所对应的扇形的总面积是：
＝．
故答案为：；．
15．（2022秋•湖北月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝1，点C为上的动点且不与点A，B重合，OD⊥BC于D，OE⊥AC于点E，则四边形ODCE面积的最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：记∠COD＝α，∠COE＝β，
则，OD＝csα，OE＝csβ，CD＝sinα，CE＝sinβ，
则
＝＝
＝，当α＝β＝22.5°时，等号成立，
则四边形ODCE面积的最大值为．
故答案为：．
16．（2022•衡山县校级开学）如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
【答案】。
【解答】解：由∠EPF＝40°，
则，
又AE＝2，
则扇形AEF的面积为，
又，
即图中阴影部分的面积是4﹣，
故答案为：．
17．（2022春•东营期末）已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形的面积最大值为 ．
【答案】。
【解答】解：设∠COA＝θ，扇形AOB的半径为1，圆心角为60°，
则CF＝sinθ，，
＝
＝，
∵0°≤α≤60°，
∴30°≤2α+30°≤150°，
∴当2α+30°＝90°，即α＝30°时，
S取得最大值，最大值为．
故答案为：．
18．（2022•天心区校级模拟）如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD（顶点A与P重合）沿圆周逆时滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了 3 轮，此时点A走过的路径的长度为 （2+）π ．
【答案】3；（2+）π。
【解答】解：正方形滚动一轮，圆周上依次出现B→C→D→A，
顶点两次回到P时，正方形顶点将圆周正好分成6等分，
由4和6的最小公倍数3×4＝2×6＝12，
所以A首次P重合时，正方形滚动3轮，
这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径为2，2，2的三段弧，
故路径长l＝（2+2）＝，
点A与P重合时，总路径长（2+）π．
故答案为：3；（2+）π．
三、解答题。
19．（2021•城西区校级开学）已知扇形的半径为1，中心角为120°，求该扇形的周长和面积．
【解答】解：因为扇形的半径为1，中心角为120°，
所以这个扇形的弧长为：＝，
所以这个扇形的周长为：1+1+＝+2．
扇形的面积为：．
故答案为：+2，．
20．（2021秋•朝阳区校级月考）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15．
（1）求该扇形圆心角的弧度数；
（2）求该扇形的面积．
【解答】解：（1）设扇形对应的圆心角对应的弧度数为α，
∵扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15，
∴15＝5+5+5α，解得α＝1．
（2）该扇形的面积为．
21．（2022春•宛城区校级月考）已知扇形的面积为，弧长为，设圆心角为α．
（1）求α的弧度；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由扇形面积公式得＝，
所以r＝2，
故α＝＝；
（2）＝＝tan2α＝tan＝．
22．（2022秋•永州月考）由扇形OAC和三角形OBC组成的平面图形如图所示，已知OB＝12，BC＝8，∠AOB＝90°，∠CBO＝60°，点E在扇形OAC的弧上运动．
（1）求sin∠BOC的值；
（2）求四边形AOBE面积的最大值．
【解答】解：（1）在△BOC中，由余弦定理知，OC2＝OB2+CB2﹣2OB⋅CB⋅cs∠CBO＝144+64﹣2×12×8×cs60°＝112，
所以．
由正弦定理知，，
所以．
（2）S四边形AOBE＝S△AOE+S△EOB，记∠EOB＝θ，θ∈[∠BOC，90°），则∠AOE＝90°﹣θ，
由（1）可知，，
所以，，
所以
＝，
其中，，当θ+φ＝90°，即时，取等号，
所以四边形AOBE面积的最大值为．
23．（2022•弋江区校级开学）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D．
（1）过点D作OB的垂线，垂足为E，求证：DE与半圆C相切；
（2）若OA＝6，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接CD，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°
∵DE⊥OB，∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝60°，
∵CD＝CA，
∴∠ADC＝∠A＝30°，
∴∠CDE＝90°，
∴DE与半圆C相切．
（2）解：连接OD，
∵OA 为圆 C 的直径，
∴OD⊥AB，∴AD＝DB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAD＝30°，
∴，
由勾股定理，得 ，
∴，
∵OC＝CA，BD＝DA，
∴，
∴∠ACD＝∠AOB＝120°，△ACD 的面积 的面积＝，
∴阴影部分的面积＝ 的面积 的面积 ）＝＝．
24．（2022春•沭阳县期中）如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．
（1）若，求阴影部分（曲边三角形BCQ）的面积；
（2）若，求sin2α的值．
【解答】解：（1）由图可知，在Rt△OBC中，BC＝2sin45，OC＝2cs45，
则阴影部分面积，
（2）在Rt△OBC中，BC＝2sinα，OC＝2csα，
在Rt△ADO中，，
则，
则，
由，可得2cssinα＝2sinα，
即，所以，
则sin2α＝2sinαcsα＝＝＝＝．
25．（2022•虹口区二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．
（1）若（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？
【解答】解：（1）△ABD中，AD＝4，AB＝3，BD＝37，
所以csA＝＝﹣，
又因为A∈（0，π），所以A＝，
设扇形的半径为r，则S△ABD＝•37•r＝•4•3•sin，
解得r＝6，
所以扇形的面积为S扇形＝××＝36π，
所以两块花卉景观扇形的面积为72π米2；
（2）连接A与切点O，设∠BDA＝θ，
△AOD中，AD＝OA•＝，
在△OAB中，AB＝，
在△ABE中，BE＝ABsin45°，
平行四边形绿地ABCD的面积为S＝AD•BE＝•sin45°＝，0°＜θ＜45°，
令f（θ）＝sinθsin（45°﹣θ）＝sinθ（csθ﹣sinθ）＝（sinθcsθ﹣sin2θ）＝（sin2θ﹣）＝（sin2θ+cs2θ﹣）＝sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
所以2θ+∈（，），当θ＝，即θ＝22.5°时，f（θ）取得最大值为，此时S取得最小值；
所以∠BDA＝22.5°时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小．
26．（2022春•大连期中）扇形的圆心角∠AOB为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设∠EOB＝θ；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设∠EOM＝φ；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为S1，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为S2，求出S1与S2，并比较S1与S2的大小．
【解答】解：图（I），矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，
在直角△OED中，设，
则OD＝2csθ，ED＝2sinθ，
又由，
所以
＝．
当，即时，
矩形CDEF的面积最大，最大值为，即．
图（II），点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，
且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，
令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，
设，则EN＝2sinφ，
ED＝4sinφ，又由，
所以＝，
当时，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，
即．因为，
所以S1＞S2．
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