2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）分组法解鸡兔同笼（知识精讲+拓展培优）

这是一份2023-2024学年六年级数学小升初思维拓展培优讲义（通用版）（尖子生培优讲义）分组法解鸡兔同笼（知识精讲+拓展培优），共13页。


定义:已知鸡和兔的总头数和总足数，求鸡和兔各多少只
解法:假设法、方程法
假设全是鸡:
兔的只数=(总脚数-2×头数)÷(4-2)
鸡的只数=总头数-兔的只数
假设全是兔:
鸡的只数=(4×总头数-总脚数)÷(4-2)
兔的只数=总头数-鸡的只数
保证其中一个量(总头数)不变是解决这类题目的关键
1．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球。如果经过若干次后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个？
2．鸡比兔少18只，共有脚306只．鸡兔各有多少只？
3．动物园饲养的食肉动物分大型动物和小型动物两类，规定老虎、狮子一类的大动物每次喂肉每头三斤，狐狸、山猫一类小动物每三头喂一斤．该动物园共有这两类动物100头，每次需喂肉100斤，问大、小动物各多少？
4．鸡比兔多13只，鸡腿比兔腿多16条，鸡和兔各有多少只？
5．鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？
6．学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元．其中铅笔的数量是圆珠笔的4倍．已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元．那么铅笔有、圆珠笔有、钢笔各有多少支？
7．六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？
8．赵会计去银行取2000元补助费，他只想要2元、5元、10元的人民币，并想使2元、5元的人民币张数相等，且总张数为213张，那么2元、5元、10元的人民币各有多少张？
9．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？
10．鸡兔同笼，鸡兔只数相同，腿加起来共有60条．鸡和兔各有多少只？
11．鸡、兔共有130条腿，鸡比兔多5只，鸡和兔各有多少只？
学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支 ？
13．鸡、兔共有132条腿，鸡比兔少6只，鸡和兔各有多少只？
14．某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？
15．鸡比兔多3只，鸡腿比兔腿少8条，鸡和兔各有多少只？
16．商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？
17．一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？
18．有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
19．有16位教授，他们之中有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生，其中带1个研究生的教授人数与带2个和3个研究生的教授总数的比是1：1，经统计他们共带了27个研究生．问：带2个研究生的教授有几人？
参考答案：
1．106个
【分析】因为红球是白球的3倍多2个，每次取15个，最后剩下53个，所以对3倍的白球，每次取15个，最后应剩51个。因为白球每次取7个，最后剩下3个，所以对3倍的白球，每次取7×3＝21个，最后应剩3×3＝9个。因此，共取了（51－3×3）÷（7×3－15）＝7（次），再分别求出红球、白球数量，据此解答即可。
【详解】（51－3×3）÷（7×3－15）
＝42÷6
＝7（次）
红球有15×7＋53
＝105＋53
＝158（个）
白球有7×7＋3
＝49＋3
＝52（个）
原来红球比白球多158－52＝106（个）
答：箱子里原有红球数比白球数多106个。
【点睛】本题考查鸡兔同笼，解答本题的关键是掌握解决鸡兔同笼问题的计算方法。
此题也可以理解为盈亏问题。红球去掉2个后就是白的3倍，如果将3个红球和1个白球对应，那么就相当于按照15个去分组和按照21个去分组，剩余分别为51和9，这样为盈盈问题。
2．鸡39只，兔57只．
【详解】鸡比兔少18只，那么再放入18只鸡，此时有脚306+18×2=342（只），鸡兔数量就相等．而一只鸡加一只兔共有2+4=6只脚．此时算一下342里有几个6，342÷6=57，即兔子有57只．那么鸡有57-18=39（只）．
答：鸡有39只，兔有57只．
3．大动物：25只 小动物：75只
【详解】100×3－100＝200（斤）
小动物：200÷（3-）＝75（只）
大动物：100-75＝25（只）
所以大动物有25只，小动物有75只．
4．兔：5只 鸡：18只
【分析】假设鸡减少13只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了13×2=26条，而原来鸡腿比兔腿多16条，所以此时鸡腿比兔腿少26-16=10条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少4-2=2条，10÷2=5份，即兔有5只，鸡有5+13=18只．
【详解】解：假设鸡减少13只，则鸡兔只数相同
兔：（26-13×2）÷（4-2）=5（只）
鸡：5+13=18（只）
5．鸡63只，兔37只
【分析】鸡兔同笼问题，假设法
【详解】设鸡与兔只数一样多：274-2×26=222（只）
每一对鸡、兔共有足：2+4=6（只），
鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222÷6=37（对），则鸡有 37+26=63（只）．
6．铅笔176支，圆珠笔44支，钢笔12支
【详解】假设有1支圆珠笔，那么就有4支铅笔，所以就有2.7+0.6×4=5.1元；
假设全是钢笔，那么就有铅笔和圆珠笔（232×6.3-300）÷（6.3-5.1/5）=220支
所以铅笔有：220÷5×4=176支，圆珠笔44支，钢笔12支
7．180-3×4=168（棵） 168÷（5+3）=21（组）
21+4=25（人）···女生
男生：21人
【详解】略
8．2元、5元各有10张，10元的有193张
【分析】本题有3个未知数，由于2元、5元的张数相等，实际上有两个未知数，如果假设这个213张都是2元的，那么减少的2000－2×213=1574（元）钱里面既有5元变成2元减少的，也有10元变成2元减少的，同时又没有其他已知条件，这样是无法解答的，如果假设这213张人民币都是5元的，同上面的分析一样，这道题也无法解答．
如果假设这213张人民币都是10元的，那么多出的10×213－2000=130（元）钱里面既有2元变成10元而增加的，也有5元钱变成10元而增加的，由于2元的张数与5元的同样多，所以我们把1张2元和1张5元的合在一起看成1份，这1份有2+5=7（元），假设变成10元后，这1份是10×2=20（元），每份增加了20－7=13（元），一共增加130元，就可以求出有130÷13=10（张），也就是求出了2元、5元各有10张，用213－10×2=193（张），这就是10元的张数．
【详解】解：2元、5元的张数：（10×213－2000）÷（10×2－2－5）=（2130－2000）÷（20－7）=130÷13=10（张）
10元的张数：213－10×2=193（张）
答：2元、5元各有10张，10元的有193张．
9．240个
【详解】花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花（元），共需要（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要（元），说明花球和白球各买30个能省下（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有（个），共买了（个）。
10．解：设鸡兔各有x只，根据题意可得方程：
2x+4x=60
6x=60
x=10
答：鸡兔各有10只．
【详解】设鸡兔各有x只，则鸡的腿数有2x条，兔的腿数有4x条，再利用等量关系：鸡兔共有腿60条．列出方程解决问题．
11．兔：20只 鸡：25只
【分析】假设鸡减少5只，则鸡兔只数相同，此时一共有130-5×2=120条腿，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份有6条腿，120÷6=20份，即兔有20只，鸡有20+5=25只．
【详解】解：假设鸡减少5只，则鸡兔只数相同．
兔：（130-5×2）÷（4+2）=20（只）
鸡：20+5=25（只）
12．铅笔176支，圆珠笔44支，钢笔12支
【详解】从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作
(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).
现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).
铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支).
其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支).
铅笔 220-44=176(支).
13．兔：24只 鸡：18只
【分析】假设鸡增加6只，则鸡兔只数相同，此时一共有132+6×2=144条腿，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份有6条腿，144÷6=24份，即兔有24只，鸡有24-6=18只．
【详解】解：假设鸡增加6只，则鸡兔只数相同．
兔：（132+6×2）÷（4+2）=24（只）
鸡：24-6=18（只）
14．31人
【详解】对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).
他们共做对181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数="2.5," 总脚数=144,总头数=39.
对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).
15．兔：7只 鸡：10只
【分析】假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同，因为鸡腿少了3×2=6条，而原来鸡腿比兔腿少8条，所以此时鸡腿比兔腿少6+8=14条，将一鸡一兔捆绑在一起，则每一份中鸡腿比兔腿少4-2=2条，14÷2=7份，即兔有7只，鸡有7+3=10只．
【详解】解：假设鸡减少3只，则鸡兔只数相同
兔：（3×2+8）÷（4-2）=7（只）
鸡：7+3=10（只）
16．大气球30个，中气球10个，小气球15个
【详解】因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).
从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个).
买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元).
可买10个中球,15个小球.
17．7只
【详解】把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所以可以假设都是1头3脚，则有3×58=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换：14÷2=7只，故有7只独脚兽．
18．7只
【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
【详解】解：假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有腿：6×18=108（条）
有蜘蛛： （118-108）÷（8-6）=5（只）
蜻蜓、蝉一共有： 18-5=13（只）
假设蜻蜓也是一对翅膀，应该有翅膀：1×13=13（对）
蜻蜓：20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜓有7只.
19．答：带2个研究生的教授有5人．
【详解】试题分析：先把16位教授平均分成2部分，第一部分带1个研究生，另一部分带2和3个研究生，每一部分有8人；这样第一部分就带了8个研究生，第二部分一共带27﹣8=19个研究生；再根据研究生和教授的人数进行讨论．
解：16÷2=8（人），
8个教授带1个研究生，8个教授带2个或3个研究生；那么后8个教授共带的研究生数是：
27﹣8×1=19（个），
假设8个教授都带3个研究生，那么就应该有：
3×8=24（个），
缺了：24﹣19=5（个）；
把带两个研究生的教授算成带三个的了，相差了：
3﹣2=1（人），
所以带2个研究生的教授有：
5÷1=5（人）．
答：带2个研究生的教授有5人．
点评：先求出带2个和3个研究生的教授一共带的研究生数，再根据研究生的人数差来求解．