专题1.30 整式的乘除（全章知识梳理与考点分类讲解）-七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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专题1.30 整式的乘除（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：底数可以是多项式或单项式。【知识点2】幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘；幂的乘方法则可以逆用：即【知识点3】积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。【知识点4】同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：【知识点5】零指数和负指数；（1），（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。（2）（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数次方的倒数。【知识点6】科学记数法：如：0.00000721=（第一个非零数字前零的个数）【知识点7】单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。【知识点8】单项式乘以多项式：根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)【知识点9】多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。【知识点10】单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。【知识点11】多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：【知识点12】整式乘法公式：（1）平方差公式： 公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同）（2）完全平方公式： 逆用：（3）常用变形：【考点目录】【考点1]幂的运算； 【考点2】应用乘法公式化简求值；【考点3】平方差公式的运用； 【考点4】完全平方公式的运用； 【考点5】平方差公式与完全平方公式综合运用； 【考点6】乘法公式在几何中的应用.【考点1]幂的运算；【例1】（2024下·全国·七年级假期作业）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）解：（1）原式．（2）原式．【变式1】（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）下列计算正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法，根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法法则进行判断即可，正确掌握相关运算法则是解题的关键．解：、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算错误，不符合题意；、，此选项计算正确，符合题意；故选：【变式2】（2023·上海·七年级假期作业）计算：= ．【答案】【分析】先把式子变成同底数，再根据同底数幂相乘法则计算即可．解：故答案为：．【点拨】本题考查了同底数幂相乘的运算法则，解题的关键是注意先要将底数化为相同．【考点2】应用乘法公式化简求值【例2】（2023上·全国·八年级课堂例题）计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（1）（2）（3）（4）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可．解：（1）．（2）．（3）．（4）．【变式1】（2024上·福建泉州·八年级统考期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释．现有三种类型卡片A、B、C，想要拼成如图所示长方形，则还需要C类型卡片（    ）张  A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，利用长方形面积公式表示出长方形的面积，即可确定出所求．解：根据题意得大长方形的长为，宽为，所以，面积为：，所以，需要C类卡片5张，故选：C．【变式2】（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ．【答案】【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解．解：，∵常数项为，∴，∴，∵不含项，∴，∴，∴，故答案为：．【考点3】平方差公式的运用； 【例3】（2023上·辽宁大连·八年级校考阶段练习）计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据零次幂，同底数幂的除法，负整数指数幂进行计算即可求解；（2）根据幂的乘方积的乘方，平方差公式进行计算即可求解．（1）解：；（2）解：．【点拨】本题考查了零次幂，同底数幂的除法，负整数指数幂的运算，平方差公式等，正确的计算是解题的关键．【变式1】（2024上·河北保定·八年级统考期末）下列能用平方差公式计算的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．直接利用平方差公式计算得出答案．解：A、，能运用平方差公式计算，符合题意；B、，不能运用平方差公式计算，故不合题意；C、，不能运用平方差公式计算，故不合题意；D、，不能运用平方差公式计算，故不符合题意；故选：A．【变式2】（重庆市丰都县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）计算 ．【答案】【分析】本题考查平方差计算．根据题意先将式子整理成平方差形式，再进行求解即可．解：∵，故答案为：．【考点4】完全平方公式的运用； 【例4】（2024上·北京海淀·九年级统考期末）已知，求代数式的值．【答案】8【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可．解：∵，∴，∴．【变式1】（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）若是完全平方式，则的值等于（　　）．A．8 B．4 C． D．4或【答案】D【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征即可求出m的值．解：∵是完全平方式，∴，∴．故选：D．【变式2】（2024上·江西宜春·八年级统考期末）已知，，则的值是 ．【答案】10【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用；由完全平方公式变形即可求得结果．解：∵，∴，∴，∴；故答案为：10．【考点5】平方差公式与完全平方公式综合运用；【例5】（2024上·湖北随州·八年级统考期末）已知，求代数式的值．【答案】1【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以单项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后利用整体代入法代值计算即可．解：∵，∴．【变式1】（2021上·广东江门·八年级校考阶段练习）下列运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据整式的乘法运算，乘法公式（平方差公式，完全平方公式）的运用即可求解．解：、，原选项错误，不符合题意；、，原选项错误，不符合题意；、，原选项错误，不符合题意；、，原选项正确，符合题意；故选：．【点拨】本题主要考查乘法公式的运用，掌握整式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式的运算是解题的关键．【变式2】（2022上·河南南阳·八年级校考期末）化简 ．【答案】/【分析】括号内的部分利用平方差公式变形，再计算除法．解：故答案为：．【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是灵活运用平方差公式．【考点6】乘法公式在几何中的应用.【例6】（2024上·安徽芜湖·八年级统考期末）（1）下图中的是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的所示的正方形．请用两种不同的方法求图中的阴影部分的面积．方法：______．方法：______．（2）利用等量关系解决下面的问题：，，求和的值；已知，求的值．【答案】（）；；（），；．【分析】（）可以用大正方形的面积减去个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到；（）根据（）的结论代入进行计算即可求解；根据（）的结论代入进行计算即可求解；本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．解：（）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，∵小正方形的边长为，大正方形的边长为，∴；，故答案为：（）①∵，，∴；∵；∴；∵，∴，    ∴，∴，∴．【变式1】（2018上·辽宁大连·八年级校联考期末）如图：把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形（a＞b）拼成的一个“回形”正方形，图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是（          ）A． B．C． D．【答案】D【分析】整体看是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可解：∵整个图形是一个边长为（a+b）的正方形，中间的空白是一个边长为（a-b）的正方形，∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，∴，故选D．【点拨】本题考查了公式与图形的面积，准确运用图形面积之间的关系是解题的关键．【变式2】（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形．（1）图1，阴影面积是 ；（2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ；（3）运用得到的公式，计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的证明和应用．理解平方差公式的结构特征是正确应用的前提．（1）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得；（2）根据图1阴影面积和图2面积相等即可直接填空；（3）根据平方差公式计算即可．解：（1）阴影面积是：，故答案为：；（2）根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为：，∴可以得到的乘法公式为，故答案为：；（3）．故答案为：．