中考数学二轮复习压轴题培优专练专题04 几何中的三点共线问题（2份打包，原卷版+解析版）

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几何压轴题中的三点共线问题，一般有两种考查方式：
一是：假设某三点共线，探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在这一类题型，一般都是讲三点共线作为条件使用：
（1）在探究线段的长度，线段的数量关系时，多是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，进行转化求解，或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。
（2）在探究三角形或四边形的形状时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再根据几何图形的判定进行求解即可。
（3）在探究面积问题时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再利用面积公式进行计算即可。
（4）在把三点共线作为条件使用时，要注意，在未明确三点位置关系时，要进行分类讨论，否则会出现漏解的情况。
二是证明三点共线：证明三点共线常用到以下几种方法：
（1）证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。
（2）先连接两点，证明第三个点在连线上，具体可以证明三点连线重合（先证平行，再证有公共点），也可以以某一点为顶点构造角，证明角相等（如图：证明∠DCB=∠DCA，在证点B在AC上）。
（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点M为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，动点P从点A出发，沿折线 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度向终点B运动，连结 SKIPIF 1 < 0 ．作点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．设点P的运动时间为t秒．
(1)点D到边 SKIPIF 1 < 0 的距离为__________；
(2)用含t的代数式表示线段 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)连结 SKIPIF 1 < 0 ，当线段 SKIPIF 1 < 0 最短时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(4)当M、 SKIPIF 1 < 0 、C三点共线时，直接写出t的值．
（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；
（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段 SKIPIF 1 < 0 最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（4）分两种情况讨论：当点 SKIPIF 1 < 0 位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．
【答案】(1)3
(2)当0≤t≤1时， SKIPIF 1 < 0 ；当1＜t≤2时， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：如图，连接DM，
∵AB=4， SKIPIF 1 < 0 ，点M为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴AM=BM=2，DM⊥AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即点D到边 SKIPIF 1 < 0 的距离为3；
故答案为：3
（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，
SKIPIF 1 < 0 ；
当1＜t≤2时，点P在BD边上， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，当0≤t≤1时， SKIPIF 1 < 0 ；当1＜t≤2时， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，
∵作点A关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴A′M=AM=2，
∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，
∴当点D、A′、M三点共线时，线段 SKIPIF 1 < 0 最短，此时点P在AD上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得：DM⊥AB，
∵PE⊥DM，
∴PE∥AB，
∴△PDE∽△ADM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（4）解：如图，
当点M、 SKIPIF 1 < 0 、C三点共线时，且点 SKIPIF 1 < 0 位于M、C之间时，此时点P在AD上，
连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，
∵AB为直径，
∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，
∴PM∥A′B，
∴∠PMF=∠AB A′，
过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，
在 SKIPIF 1 < 0 中，AB∥DC，
∵DM⊥AB，
∴DM∥CN，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴CN=DM=3，MN=CD=4，
∴CM=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 M=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即PF=3FM，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即AF=2FM，
∵AM=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
如图，当点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上， SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点G′，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T，
同理： SKIPIF 1 < 0 ，
∵HK⊥AB， SKIPIF 1 < 0 ，
∴HK∥A′′G′，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点H是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即MT=3PT，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵MT+BT=BM=2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，t的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．
（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 上，正方形 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如图1，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的值为多少；
(2)将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，如图2，求： SKIPIF 1 < 0 的值为多少；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将正方形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长度．
（1）根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据旋转的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．
【答案】(1)2
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 与正方形 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
（3）解：①如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 三点共线，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
②如图：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DG= SKIPIF 1 < 0 CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8 SKIPIF 1 < 0 ，AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵AG= SKIPIF 1 < 0 AD，
∴AG= SKIPIF 1 < 0 AD=8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC=90°
∴CG= SKIPIF 1 < 0 ，
∴CE=CG+EG=8 SKIPIF 1 < 0 +8，
∴DG= SKIPIF 1 < 0 CE= SKIPIF 1 < 0 ．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
1．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点（点 SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），连接 SKIPIF 1 < 0 ，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为斜边向右侧作等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 和等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的外部时，求证： SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(3)如图 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，其它条件不变，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可；
（3）过C作 SKIPIF 1 < 0 于点N，过A作 SKIPIF 1 < 0 于点M，根据相似三角形的性质和三角函数以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵D，F，E三点共线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
过点A作 SKIPIF 1 < 0 于点M，如图 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中，
由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）过C作 SKIPIF 1 < 0 于点N，过A作 SKIPIF 1 < 0 于点M，如图 SKIPIF 1 < 0 ，
由(2)可得: SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·四川成都·校考三模）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点E为射线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当点E在 SKIPIF 1 < 0 边上时，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点B恰好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上点F处， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G．
①如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
②如图2，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2)在②所得矩形 SKIPIF 1 < 0 中，将矩形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 进行翻折，点C的对应点为 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①由矩形的性质和锐角三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，再由折叠的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，即可得出结论；
②由折叠的性质得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后由射影定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题；
（2）分两种情况，a、证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题；
b、证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理等 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （射影定理），
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （负值已舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当点 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，分两种情况：
a、如图3，由②可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
b、如图4，
由折叠的性质得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，BE的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟）如图，在等腰Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，连接AF，DF，点G是AF的中点，连接DG．
(1)当点D是AB中点时，
①如图1，点E与点C重合，求证：D，G，C三点共线．
②如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求DG的长．
(2)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求CE的长．
【答案】(1)①见解析；② SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）①利用三角形全等，证明 SKIPIF 1 < 0 即可．
②如图2，作 SKIPIF 1 < 0 于点T， SKIPIF 1 < 0 于H．证明 SKIPIF 1 < 0 ，用三角形中位线定理求解即可．
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，F，E，G，A共线，作 SKIPIF 1 < 0 于点T， SKIPIF 1 < 0 于H．运用平行线分线段成比例定理，列式求解即可．
【详解】（1）①证明：如图1中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵点G是AF的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴C，G，D三点共线．
②解：如图2中，作 SKIPIF 1 < 0 于点T， SKIPIF 1 < 0 于H．
由题意： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如图3—1中，当 SKIPIF 1 < 0 时，F，E，G，A共线，作 SKIPIF 1 < 0 于点T， SKIPIF 1 < 0 于H．设 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·河北张家口·一模）如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点A，D是射线 SKIPIF 1 < 0 上的点，以 SKIPIF 1 < 0 为一边在 SKIPIF 1 < 0 内作矩形 SKIPIF 1 < 0 ，点C在 SKIPIF 1 < 0 边上．
(1)当点B在 SKIPIF 1 < 0 边上时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)如图2，若A，B，O三点共线，且 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为腰的等腰三角形，
① SKIPIF 1 < 0 __________；
②求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)在图2的基础上，点A向右移动得到图3连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相似，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．（注：三角形全等可视为三角形相似的特殊情况）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①3∶4∶5；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3)2或 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用正切函数计算即可．
（2）①证明∠BOC=∠P，结合 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理计算OC的长度，最后计算比值即可．
②分AO=OC，AO=AC两种情形，运用勾股定理，三角函数计算即可．
（3）分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相似和全等两种情形求解．
【详解】（1）如图，当点B在 SKIPIF 1 < 0 边上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得PA= SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=90°，
∵∠POQ=90°，
∴∠BOC=∠P，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设BC=4k，则OB=3k，
∴OC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴OB：BC：OC=3k：4k：5k=3：4:5．
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设OQ=4k，则OP=3k，PQ= SKIPIF 1 < 0 ，
当OA=OC时，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，
∴OA= SKIPIF 1 < 0 =OC，CD∥AO，
∴CQ=OQ-OC= SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得k= SKIPIF 1 < 0 ，
∴PO=3k= SKIPIF 1 < 0 ，OA= SKIPIF 1 < 0 =5，
∴PA= SKIPIF 1 < 0 ，
当OA=AC时，设OA=AC=x，
∵AB=2，
∴x＞2，
∴OB=AO-AB=x-2，
由上面解答，得BC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAB=∠OBC=∠CDQ=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得x= SKIPIF 1 < 0 或x=2(舍去)，
∴AO= SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述，PA的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）当△AOB≌△COB时，
故AB=BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∵AB=2，
∴AD=AB=2；
设 SKIPIF 1 < 0 则OC=5x， SKIPIF 1 < 0 ，
∵△BAO∽△BOC时，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得y=3x或y=4x(舍去)，
∴ SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得x= SKIPIF 1 < 0 或x=0（舍去），
故BC= SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC= SKIPIF 1 < 0 ；
故AD的长为2或 SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·山东烟台·统考一模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，BC=3BD，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α（0°＜α＜180°），连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，求证：△CAF∽△CBE，并求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)如图2，当B，E，F三点共线时，连接AE，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(2)四边形AECF是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）由题意先证明∠ACF=∠BCE和 SKIPIF 1 < 0 ，进而证明出△CAF∽△CBE，可以利用相似比得出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）根据题意过点D作DG⊥BF于点G，得出△BDG∽△BCF，进而分析求证四边形AECF是平行四边形．
【详解】(1)解：∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°， SKIPIF 1 < 0 ，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BCA=45°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ECF=∠BCA， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ECF-∠ACE=∠BCA-∠ACE，即∠ACF=∠BCE，
∴△CAF∽△CBE，
∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
(2)解：四边形AECF是平行四边形．
理由如下：∵∠CEF=45°，B，E，F三点共线，
∴∠BEC=135°．
由（1）知，∠AFC=∠BEC=135°．
∴∠AFE=∠AFC-∠CFE=45°，
∴∠CEF=∠AFE．
∴AF∥CE．
过点D作DG⊥BF于点G，
∵∠BGD=∠BFC=90°，∠DBG=∠CBF，
∴△BDG∽△BCF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵BD=DE，DG⊥BE，
∴BG=EG，
∴BG=EG=EF，
∵EF=CF，
∴BE=2CF．
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴AF= SKIPIF 1 < 0 ．
∴AF= SKIPIF 1 < 0 ．
∵CE= SKIPIF 1 < 0 ．
∴AF=CE．
∴四边形AECF是平行四边形．
6．（2022·福建龙岩·校考一模）如图，等边三角形ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），连接AE．将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，延长AF交BE于点G．
(1)连接DF，求证：△BDF是等边三角形；
(2)求证：D、F、E三点共线；
(3)当BG＝2EG时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
（2）利用平移旋转的性质及等边三角形的性质即可得到；
（3）由平移的性质可得EF∥BC，得到△GEF∽△GBH，再利用边之间的关系得到△ADF∽△ABH，利用相似三角形的性质得到AB与BE的长度，进而解答．
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 绕点B逆时针旋转至△BAF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BDF是等边三角形．
（2）连接DE，如图所示：
∵△BDF是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵CD平移得到BE，
∴DE∥BC， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点F在DE上，
即D，E，F三点共线．
（3）延长AG，CB交于点H，如图所示：
∵EF∥BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵DF∥BH，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即D为AB中点，
∵CD⊥AB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵BE∥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△ABE中， SKIPIF 1 < 0 ．