中考数学二轮复习压轴题培优专练专题06 几何图形的翻折变换问题（2份打包，原卷版+解析版）

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几何图形中的翻折变换在中考压轴题中考查比例较高，翻折变换本质上是考查轴对称的相关知识知识，在解决有关翻折问题的压轴题时，需要注意三点：
（1）掌握轴对称的有关性质：
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
（2）掌握折叠图形的性质，例如折叠图形是矩形，那么在解决折叠问题时，就需要结合矩形的性质和轴对称的性质。
（3）折叠问题中求解线段的长度，一般要借助勾股定理，列出方程进行求解。
（2022·贵州贵阳·统考中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的高， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折得 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)问题解决：
如图①，当 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折后，使点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合，则 SKIPIF 1 < 0 ______；
(2)问题探究：
如图②，当 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折后，使 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数，并求出此时 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
(3)拓展延伸：
当 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折后，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意在备用图中画出图形，并求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形内角和定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)作图见解析， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的高，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为底边上的高，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 折叠，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
(1)如图一，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上有一点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于G.利用面积证明： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)如图二，将矩形 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 折叠，使点A与点C重合，点B落在 SKIPIF 1 < 0 处，点G为折痕 SKIPIF 1 < 0 上一点，过点G作 SKIPIF 1 < 0 于M， SKIPIF 1 < 0 于N.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(3)如图三，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（1）根据题意，利用等面积法 SKIPIF 1 < 0 ，根据等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合矩形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，从而确定 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（3）延长 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，从而由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 求解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到结论．
【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上有一点D，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于G，
SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
根据折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，
在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上有一点G，过点G作 SKIPIF 1 < 0 于M， SKIPIF 1 < 0 于N，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：延长 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，E为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，x=1是方程的解用符合题意，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．
1．（2022·湖北武汉·校考三模）（1）如图 SKIPIF 1 < 0 ，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，将正方形沿着 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 处，连接 SKIPIF 1 < 0 ，并延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在（1）的条件下，如图 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）如图 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，同样沿着 SKIPIF 1 < 0 折叠，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________ SKIPIF 1 < 0 （直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】 SKIPIF 1 < 0 根据 SKIPIF 1 < 0 证明三角形全等即可；
SKIPIF 1 < 0 如图 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 即可解决问题；
SKIPIF 1 < 0 如图 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，可以设 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的判定和性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 证明：如图 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 折叠得到，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 解：如图 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍弃 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 解：如图 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍弃 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·福建宁德·统考二模）在 SKIPIF 1 < 0 中，点E是BC的中点，点F在AD上．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)利用图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，连接BD，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 落在BD上时，求EF的长；
(3)如图3，当点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在线段CD上时，求证：直线 SKIPIF 1 < 0 与直线CD重合．
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)见解析
【分析】(1)利用折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线判定定理，也可以运用折叠的性质，构造三角形中位线定理证明．
（2）设EF与BD相交于点O．运用勾股定理，三角函数，中位线定理求解即可．
(3)运用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，证明即可．
【详解】(1)解：（1）证法一：由折叠的性质可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵E是BC的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
证法二：设EF与 SKIPIF 1 < 0 相交于点G．
由折叠的性质可知：G是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
又∵E是BC的中点，
∴GE是 SKIPIF 1 < 0 的中位线．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)设EF与BD相交于点O．由折叠的性质可知：O是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴若 SKIPIF 1 < 0 ，∠BDC＝∠ABD＝45°．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵E是BC的中点，O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
(3)证法一：连接 SKIPIF 1 < 0 交直线EF于点M．由折叠知： SKIPIF 1 < 0 ．连接BM并延长交直线CD于点H．
∵四边形ABCD是平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 在CD上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴BM＝HM．
又∵E是BC的中点，
∴EM是△BCH的中位线．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ．
∵过点C有且只有一条直线与EF平行，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在直线CD上．
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与直线CD重合．
证法二：连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交直线AB于点K，连接AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，点 SKIPIF 1 < 0 在CD上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵BE＝CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∵过点 SKIPIF 1 < 0 有且只有一条直线与AB平行，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合．即直线 SKIPIF 1 < 0 与直线CD重合．
3．（2022·山东淄博·统考二模）在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为F．
(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，请直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的度数．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)菱形，理由见解析
(3)45°或135°
【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得CD= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由“直角三角形中含30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得 SKIPIF 1 < 0 据此判断四边形ADFC是平行四边形，再由折叠得DF=BD=AD，据此解答；
（3）分两种情况讨论，点F与点D在直线CE的同侧或异侧，正确画出图形即可解答．
【详解】（1）解：由图1，在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，CD是斜边AB上的中线， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 CD= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
∵CD是斜边AB上的中线，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由折叠的性质可得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形ADFC是平行四边形，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴□ADFC是菱形．
（3）如图3，点F与点D在直线CE的异侧，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由折叠得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
如图4，点F与点D在直线CE的同侧，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由折叠得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·四川乐山·统考一模）模型探究：如图1，D、E、F分别为 SKIPIF 1 < 0 三边BC、AB、AC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似吗？请说明理由；
模型应用： SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如图2，当点D在线段BC上时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长之比．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ，证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长之比为 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据三角形的内角和得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明；
（2）①设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据等边三角形的性质与折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形的内角和定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，再根据比例关系求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
②同理可证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据相似三角形的性质即可求解.
【详解】解（1） SKIPIF 1 < 0 ，
理由： SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
②设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的周长之比为 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·江苏徐州·统考二模）正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4．
(1)将正方形 SKIPIF 1 < 0 对折，折痕为 SKIPIF 1 < 0 ，如图①把这个正方形展平，再将点 SKIPIF 1 < 0 折到折痕 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 的位置，折痕为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)如图②当 SKIPIF 1 < 0 时，在点 SKIPIF 1 < 0 由点 SKIPIF 1 < 0 移动到 SKIPIF 1 < 0 中点的过程中，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ．根据轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定定理和性质求出∠CBM，根据正方形的性质，直角三角形的边角关系即可求出PF．
（2）连接AC交EF于点O，连接OB，OD，OG，再以O为圆心，以OA为半径画圆，取AD的中点为K，连接KO并延长交 SKIPIF 1 < 0 于J．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质确定G，A，B，C，D共圆，然后确定点G在 SKIPIF 1 < 0 上运动，进而确定当点G与点C或点B重合时，△ADG面积取得最小值，当点G与点J重合时，△ADG面积取得最大值，最后根据正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如下图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
∵正方形ABCD对折后，折痕为EF，正方形ABCD的边长为4，
∴EF垂直平分BC，BC=4．
∴NB=NC，BF=2．
∵正方形折叠后点C到点N的位置，
∴NB=BC， SKIPIF 1 < 0 ．
∴NB=NC=BC．
∴△NBC是等边三角形．
∴∠NBC=60°．
∴∠CBM=30°．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如下图所示，连接AC交EF于点O，连接OB，OD，OG，再以O为圆心，以OA为半径画圆，取AD的中点为K，连接KO并延长交 SKIPIF 1 < 0 于J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC．
∵AE=CF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴OA=OC．
∴O是AC中点．
∴OA=OB=OC=OD．
∵正方形ABCD折叠后，点C的对应点是点G，
∴OG=OC．
∴B，C，D，G都在 SKIPIF 1 < 0 上．
∴OA=OB=OC=OD=OG．
∴在点E由点A移动到AD中点K的过程中，点G在 SKIPIF 1 < 0 上移动．
∴当点G与点C或点B重合时，△ADG的面积取得最小值．
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD=CD=4，∠ADC=90°．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴△ADG面积的最小值是8， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵K是AD中点，O是AC中点，
∴KO是△ACD中位线．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴∠AKO=∠ADC=90°，KO是固定值．
∴OK⊥AD，即OJ⊥AD．
∴当OG⊥AD时，即点G与点J重合时，△ADG面积取得最大值．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴△ADG面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．
∴△ADG面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·山西大同·统考二模）综合与实践：
如图1，已知正方形纸片ABCD．
实践操作
第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O．
第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF．
问题解决
（1） SKIPIF 1 < 0 的度数是______；
（2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由；
探索发现
（3）如图3，若 SKIPIF 1 < 0 ，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）四边形BGEF是菱形，理由见解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在 SKIPIF 1 < 0 中利用三角形内角和即可求出答案；
（2）由正方形的性质，折叠的性质得出BG=EF，且BG∥EF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形BGEF是平行四边形，又 SKIPIF 1 < 0 ，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案；
（3）做辅助线由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明 SKIPIF 1 < 0 ，全等三角形对应边相等，故 SKIPIF 1 < 0 ，由等角对等边得出BF的长，最后根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案．
【详解】解：（1）解： SKIPIF 1 < 0 四边形ABCD是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由折叠的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）结论：四边形BGEF是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠可知，
SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴BG=EF，且BG∥EF，
∴四边形BGEF是平行四边形．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴平行四边形BGEF是菱形．
（3）如图，过点N作 SKIPIF 1 < 0 于点K，交AF于点I，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴四边形ADNK为矩形．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠，可知 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．