中考数学二轮复习压轴题培优专练专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题（2份打包，原卷版+解析版）

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函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定定理列出方程，并求出未知数。
（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC SKIPIF 1 < 0 x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PG SKIPIF 1 < 0 y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，过P作PG SKIPIF 1 < 0 y轴，交OE于点G，
设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
SKIPIF 1 < 0 PG•AE
SKIPIF 1 < 0 3×（﹣m2+5m﹣3）
SKIPIF 1 < 0 （m2﹣5m+3）
SKIPIF 1 < 0 （m SKIPIF 1 < 0 ）2 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 0，
∴当m SKIPIF 1 < 0 时，△OPE面积最大，
此时m2﹣4m+3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P点坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵m SKIPIF 1 < 0 ＞2，不合题意，舍去，
∴m SKIPIF 1 < 0 ，
此时m2﹣4m+3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1 SKIPIF 1 < 0 或m2 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＞2，不合题意，舍去，
∴m＝ SKIPIF 1 < 0 ，
此时m2﹣4m+3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1 SKIPIF 1 < 0 或m2 SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ＜2，不合题意，舍去，
∴m＝ SKIPIF 1 < 0 ，
此时m2﹣4m+3＝ SKIPIF 1 < 0 ，
P的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
P的坐标为：（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）；
综上所述，点P的坐标是：（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）或（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，已知直线y＝ SKIPIF 1 < 0 x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【答案】(1)y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x+4
(2)S最大＝ SKIPIF 1 < 0 ，D（﹣ SKIPIF 1 < 0 ，5）
(3)存在，Q（﹣2， SKIPIF 1 < 0 ）
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时， SKIPIF 1 < 0 x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 （x﹣1）•（x+3）＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2﹣ SKIPIF 1 < 0 x+4；
（2）如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣ SKIPIF 1 < 0 ﹣ SKIPIF 1 < 0 m+4），E（m， SKIPIF 1 < 0 m+4），
∴DE＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ﹣ SKIPIF 1 < 0 m+4﹣（ SKIPIF 1 < 0 m+4）＝﹣ SKIPIF 1 < 0 m2﹣4m，
∴S△ADC＝ SKIPIF 1 < 0 OA＝ SKIPIF 1 < 0 •（﹣ SKIPIF 1 < 0 m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+ SKIPIF 1 < 0 ）2+ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当m＝﹣ SKIPIF 1 < 0 时，S最大＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝﹣ SKIPIF 1 < 0 时，y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝5，
∴D（﹣ SKIPIF 1 < 0 ，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P（﹣1， SKIPIF 1 < 0 ），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴Q（﹣2， SKIPIF 1 < 0 ）．
本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
（2022·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，水线段OE的长；
②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 即可得出抛物线的表达式；
（2）①求出直线BC解析式： SKIPIF 1 < 0 ，再由直线MN： SKIPIF 1 < 0 及抛物线的对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ．进而得出直线CD的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案；②分以BC为边时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点D的坐标： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；当点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点D的坐标： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴抛物线的表达式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①由（1）可知： SKIPIF 1 < 0 ，
设直线BC： SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线BC： SKIPIF 1 < 0 ，则直线MN： SKIPIF 1 < 0 ．
∵抛物线的对称轴： SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设直线CD： SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得：
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴直线CD： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
②存在点F，使得以B，C，D，F为项点的四边形是平行四边形．
理由如下：
（I）若平行四边形以BC为边时，由 SKIPIF 1 < 0 可知，FD在直线MN上，
∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由点D在直线MN上，设 SKIPIF 1 < 0 ．
如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ．
过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可证： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
（II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方．
∴如图2-3，存在一种平行四边形，即 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理可证： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．
当点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点D的坐标： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时，点D的坐标： SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.
1．（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟）已知如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点是点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，再以 SKIPIF 1 < 0 为边向右边作正方形 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)①求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的周长最短时，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ②等边三角形，理由见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）求出 SKIPIF 1 < 0 与y轴的交点即可求出b的值，由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的长即可判断 SKIPIF 1 < 0 的形状；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 点关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 点，则当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，与 SKIPIF 1 < 0 联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；
（3）分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，理由如下：
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点是点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 点关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 点，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时， SKIPIF 1 < 0 的周长最小，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 轴，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，理由如下：
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 舍 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 点坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 轴下方的抛物线上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的3倍，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标
(3)如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，在抛物线上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 （不与点 SKIPIF 1 < 0 重合），使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在求出点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，若不存在说明理由
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)抛物线上存在一点N，使得 SKIPIF 1 < 0 ，点N的坐标是 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点M作直线 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点N，则点P的是 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点N，使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出点E的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数法求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，联立直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，
对于 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点C的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
设点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，过点M作直线 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于点N，
则点P的是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的3倍，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）抛物线上存在一点N，使得 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得 SKIPIF 1 < 0 ，点N的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·四川德阳·模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)如图，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（点 SKIPIF 1 < 0 不与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的平行线交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 长度的最大值．
(3)动点 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度在线段 SKIPIF 1 < 0 上由点 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 运动，同时动点 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位长度的速度在线段 SKIPIF 1 < 0 上由点 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 运动，在平面内是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 两点坐标求出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，进而设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而得出结论；
（3）要使点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形，只需 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，结合图形得到答案即可．
【详解】（1）解：由题意，将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 代入，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图1，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图 SKIPIF 1 < 0 ，

当 SKIPIF 1 < 0 时，作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴于 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
可得四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
如图 SKIPIF 1 < 0 ，

当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与y轴交于点C，与x轴交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，理由见解答过程
【思路分析】（1）把点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，利用三角形的面积公式列出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式，利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）分当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两种情况，据余弦函数，可得关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，解方程，可得答案．
【详解】（1）解：把点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 分别代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 存在时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
答：运动1秒使 SKIPIF 1 < 0 的面积最大，最大面积是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在，理由：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
（即在图中，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
化简，得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形．
5．（2021·贵州遵义·校考模拟）如图，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于B、C两点，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点B、C的，与 SKIPIF 1 < 0 轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴是否存在一点E，使得 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形，若存在，求出E的点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）先求出B、C坐标，然后把B、C坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（2）设点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，再分三种情况：当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 讨论求解即可；
（3）如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作 SKIPIF 1 < 0 于F，先证明 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，则可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 得到点P的坐标，利用对称性求出点P在x轴下方时的坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于B、C两点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 中得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，点E的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图所示，当点P在x轴上方时，过点B作 SKIPIF 1 < 0 于F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴可设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由对称性可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴由对称性可知当点P在x轴下方时，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述，点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
6．（2022·四川泸州·校考模拟）如图1，已知抛物线过三点 SKIPIF 1 < 0 )， SKIPIF 1 < 0 过线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在圆的圆心．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(3)求圆心点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，并判断点 SKIPIF 1 < 0 是否在这条抛物线上；
(4)若弧 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，是否在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上，理由见解析
(4)存在，点M的坐标是 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，分别求得 SKIPIF 1 < 0 的长，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，证明 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，进而根据 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的坐标，进而即可求解；
（4）①点 SKIPIF 1 < 0 是弧 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由（3）可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，②连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：把 SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0
把 SKIPIF 1 < 0 ，分别代入抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 中，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则这条抛物线解析式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵线段 SKIPIF 1 < 0 的中点是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线上；
（4）存在，
如图3，
①∵点 SKIPIF 1 < 0 是弧 SKIPIF 1 < 0 的中点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
②连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线在第一象限交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ，若过点O的直线交线段 SKIPIF 1 < 0 于点P，将三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积分成 SKIPIF 1 < 0 的两部分，请求出点P的坐标；
(3)若Q是直线 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积时，求出Q点的坐标；
(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
(4) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路分析】（1）将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）OP将 SKIPIF 1 < 0 的面积分成1：2的两部分，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，再求解直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（3）如图， 先求解 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，把直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移4个单位可得一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，再建立方程组可得答案；
（4）如图，先求解抛物线的对称轴为：直线 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再分三种情况讨论：当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用中点坐标公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入抛物线表达式得：
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 的面积分成 SKIPIF 1 < 0 的两部分，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴点 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，由（2）可得直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
把直线 SKIPIF 1 < 0 向上平移4个单位可得一次函数的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
则直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线的交点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（4）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵抛物线为： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线的对称轴为：直线 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为对角线时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的坐标为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·重庆·重庆八中校考模拟）平面直角坐标系中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图1，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点P是线段 SKIPIF 1 < 0 上方抛物线上的一个动点，过点P作PZ SKIPIF 1 < 0 x轴交 SKIPIF 1 < 0 于点Z，过点P作PQ SKIPIF 1 < 0 CB交直线 SKIPIF 1 < 0 于点Q，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点 SKIPIF 1 < 0 ．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以 SKIPIF 1 < 0 、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于M，过Q作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于N，根据待定系数法求直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解析式，则可求M，Z的坐标，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后证明 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据平移的性质可得新抛物线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后分①以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线；②以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线；③以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴顶点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
过P作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于M，过Q作 SKIPIF 1 < 0 轴交 SKIPIF 1 < 0 于N，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴P、M的横坐标相同，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
易求 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，
∴P、Z的纵坐标相同，
∴Z的纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 与x轴所交的锐角为 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：抛物线 SKIPIF 1 < 0 向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向右平移3个单位，得到新抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 向下平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，向右平移3个单位，得到 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
①以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
②以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴无解，
∴不符合题，舍去；
③以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为对角线时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （正跟舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 、C两点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点（不与 SKIPIF 1 < 0 重合)，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交抛物线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最大时，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得以点A，M，N，P为顶点，以 SKIPIF 1 < 0 为边的四边形是菱形？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为8，此时D SKIPIF 1 < 0 ；
(3)P SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D SKIPIF 1 < 0 ，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达 SKIPIF 1 < 0 的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证 SKIPIF 1 < 0 ，由此得出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当 SKIPIF 1 < 0 时，②当 SKIPIF 1 < 0 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴抛物线的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：∵点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ；
设D SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 轴，点M在直线 SKIPIF 1 < 0 上，点N在抛物线上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值，最大值为8，此时D SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：存在，如图，过点M作 SKIPIF 1 < 0 轴于点E，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
根据题意，需要分两种情况讨论：
① SKIPIF 1 < 0 时，如图，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或t=0（舍），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴点P在y轴上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，如图，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互相垂直平分，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点F，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴P SKIPIF 1 < 0 ．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以 SKIPIF 1 < 0 为边的四边形是菱形，此时P SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点B的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作 SKIPIF 1 < 0 轴于点H，过点A作 SKIPIF 1 < 0 交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求 SKIPIF 1 < 0 的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的 SKIPIF 1 < 0 沿射线AE平移得到 SKIPIF 1 < 0 ，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出 SKIPIF 1 < 0 平移的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在， SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
【思路分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基础上，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，求得 SKIPIF 1 < 0 的长，求得直线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴的交点坐标，证明 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得平移距离．
【详解】（1）解：∵已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 与x轴交于A，B两点，点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点B的坐标 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图，作点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，交AE、DE于M′、N′，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 四点共线时，取得最小值，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0 的周长为最小值为 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴于点H， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 三点共线，
根据题意可知点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
SKIPIF 1 < 0 轴，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点A的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的周长最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）存在， SKIPIF 1 < 0 ，理由如下，
由（2）可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
设 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，与点 SKIPIF 1 < 0 重合，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，使 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形，则，平移距离为 SKIPIF 1 < 0 ．