中考数学二轮复习压轴题培优专练专题19 方程思想在压轴题中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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方程思想在中考压轴题中的应用非常广泛，主要表现在几何压轴题中的动点问题，几何、函数压轴题中的存在性问题以及面积问题和相似问题等。通过设出未知数，并用未知数表示出各线段的长度，再根据勾股定理、相似三角形的性质以及各几何图形的判定，列出方程，进行求解。
（2022·上海·统考中考真题）平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，
①证明 SKIPIF 1 < 0 为菱形；
②若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2)以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径， SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作圆，两圆另一交点记为点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；
②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x= SKIPIF 1 < 0 ,即可得OB=3x=3 SKIPIF 1 < 0 ，再由平行四边形性质即可得出BD长；
（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG= SKIPIF 1 < 0 AB，根据重心性质得GE= SKIPIF 1 < 0 CE＝ SKIPIF 1 < 0 AE，CG=CE+GE= SKIPIF 1 < 0 AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-( SKIPIF 1 < 0 AE)2= SKIPIF 1 < 0 AE2,则AG= SKIPIF 1 < 0 AE,所以AB=2AG= SKIPIF 1 < 0 AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2= SKIPIF 1 < 0 AE2+（ SKIPIF 1 < 0 AE）2=5AE2，则BC= SKIPIF 1 < 0 AE，代入即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)①见解析；② SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】(1)①证明：如图，连接AC交BD于O，
∵平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴OA=OC，
∵AE=CE，OE=OE，
∴△AOE≌△COE(SSS)，
∴∠AOE=∠COE，
∵∠AOE+∠COE=180°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥BD，
∵平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
②∵OA=OC，
∴OB是△ABC的中线，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴AP是△ABC的中线，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE=2OE，
设OE=x，则BE=2x，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,
∴9-x2=25-9x2，
解得：x= SKIPIF 1 < 0 ,
∴OB=3x=3 SKIPIF 1 < 0 ，
∵平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=2OB=6 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)解：如图，
∵⊙A与⊙B相交于E、F，
∴AB⊥EF，
由（1）②知点E是△ABC的重心，
又 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，
∴CG是△ABC的中线，
∴AG=BG= SKIPIF 1 < 0 AB，GE= SKIPIF 1 < 0 CE，
∵CE= SKIPIF 1 < 0 AE，
∴GE= SKIPIF 1 < 0 AE，CG=CE+GE= SKIPIF 1 < 0 AE，
在Rt△AGE中，由勾股定理，得
AG2=AE2-GEE=AE2-( SKIPIF 1 < 0 AE)2= SKIPIF 1 < 0 AE2,
∴AG= SKIPIF 1 < 0 AE,
∴AB=2AG= SKIPIF 1 < 0 AE，
在Rt△BGC中，由勾股定理，得
BC2=BG2+CG2= SKIPIF 1 < 0 AE2+（ SKIPIF 1 < 0 AE）2=5AE2，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 AE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．
（2022·广东深圳·统考中考真题）一个玻璃球体近似半圆 SKIPIF 1 < 0 为直径，半圆 SKIPIF 1 < 0 上点 SKIPIF 1 < 0 处有个吊灯 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0

(1)如图①， SKIPIF 1 < 0 为一条拉线， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆 SKIPIF 1 < 0 相切， SKIPIF 1 < 0 为切点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为入射光线， SKIPIF 1 < 0 为反射光线， SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
(3)如图③， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为入射光线， SKIPIF 1 < 0 为反射光线交圆 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 从 SKIPIF 1 < 0 运动到 SKIPIF 1 < 0 的过程中，求 SKIPIF 1 < 0 点的运动路径长．
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得出 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，可得出D为 SKIPIF 1 < 0 中点，即可得出 SKIPIF 1 < 0 的长度；
（2）过N点作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D，可得出 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，根据 SKIPIF 1 < 0 ,可得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，推导得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可计算给出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【答案】(1)2；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线
∴D为 SKIPIF 1 < 0 的中点
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）过N点作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点D，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴N点的运动路径长为： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．
(1)求抛物线解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标；
(3)点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F的坐标．
（1）将A(﹣3，0)，C(0，9)代入抛物线y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+bx+c，建立方程组，求解即可；
（2）易证△DPO∽△BPE，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设OP＝t（0＜t＜6），所以BP＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝ SKIPIF 1 < 0 ，PE2＝ SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）如过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交NG的延长线于点M，易证△DPO≌△DPG（AAS），所以OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一线三等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，设PN＝m，则MG＝2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四边形的性质可得8﹣4m＝2+m，解得m＝ SKIPIF 1 < 0 ，可得G SKIPIF 1 < 0 ，由待定系数法可求得直线PF的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，联立直线PF的解析式和抛物线的解析式可得出点F的坐标．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)P(2，0)
(3)F(5，4)
【详解】(1)将A(﹣3，0)，C(0，9)代入抛物线y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+bx+c，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x+9．
(2)∵抛物线的解析式为：y＝﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+ SKIPIF 1 < 0 x+9，
∴B(6，0)，
∵BE⊥DP，
∴∠E＝∠DOP＝90°，
∵∠DPO＝∠BPE，
∴△DPO∽△BPE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，，
设OP＝t（0＜t＜6），
∴BP＝6﹣t，
∴BE2＝ SKIPIF 1 < 0 ，PE2＝ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，
∴ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，
∴P(2，0)；
(3)如图，过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交NG的延长线于点M，
∴∠DOP＝∠DGP＝90°，
∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，
∴△DPO≌△DPG（AAS），
∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，
∵GN⊥x轴，DM⊥GN，
∴∠M＝∠GNP＝90°，
∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，
∴∠MDG＝∠PGN，
∴△MDG∽△NGP，
∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，
设PN＝m，则MG＝2m，
∴GN＝4﹣2m，
∴DM＝8﹣4m，
∴8﹣4m＝2+m，解得m＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ON＝2+ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，GN＝4﹣2× SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴G( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，
设直线PF的解析式为：y＝kx+b′，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线PF的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，解得x＝5或x＝ SKIPIF 1 < 0 （舍），
∴F(5，4)．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数上点的坐标特征等知识，第（2）问关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方表达出BE2和PE2；第（3）问关键是构造相似三角形，建立方程．
1．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟）如图1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)如图2，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于E，连接 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，若 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形内角和定理 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步即可得到答案；
（2）先证明 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到结论；
（3）由O是 SKIPIF 1 < 0 的中点及 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，设 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）证明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：如图3中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，取O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
由（1）、（2）及根据G是 SKIPIF 1 < 0 的中点可知：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·海南海口·海南华侨中学校联考模拟）如图①，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E、F、G、H分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如果把题目中的“正方形”改为“长方形”、若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如图②），求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)如果把题目中的“ SKIPIF 1 < 0 ”改为“ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为45°”（如图③），若正方形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见详解
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 即可求解；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为旋转中心， SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，可证明 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）证明：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为旋转中心， SKIPIF 1 < 0 绕 SKIPIF 1 < 0 点顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·河南洛阳·统考二模）如图1，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．作 SKIPIF 1 < 0 ，交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)如图3，若 SKIPIF 1 < 0 的延长线经过 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）先根据题意得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由平行线性质得 SKIPIF 1 < 0 ，进而证得结论；
（2）先证明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，求得答案；
（3）如图3，延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，先证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，列方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图2
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如图3，延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为等腰三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·宁夏吴忠·校考一模）已知：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 匀速运动，速度为 SKIPIF 1 < 0 ；过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，同时，点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 出发，沿 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 匀速运动，速度为 SKIPIF 1 < 0 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接 SKIPIF 1 < 0 ．设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 ，解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形？
(2)设四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请说明理由，若存在，求出t的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)存在，2
【思路分析】（1）根据勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行四边形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据梯形的面积公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
答：当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形；
（2）解：过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：若存在某一时刻，使 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·山东青岛·校考二模）已知，如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位从点 SKIPIF 1 < 0 向点 SKIPIF 1 < 0 运动，同时点 SKIPIF 1 < 0 沿着 SKIPIF 1 < 0 以每秒 SKIPIF 1 < 0 个单位从 SKIPIF 1 < 0 向 SKIPIF 1 < 0 运动，在点 SKIPIF 1 < 0 运动的同时，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 移动到 SKIPIF 1 < 0 时，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 停止运动．以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为边作平行四边形 SKIPIF 1 < 0 ，设运动时间为 SKIPIF 1 < 0 秒．
(1)几秒时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ？
(2)设平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 吗？说明理由．
(4)存不存在某个时刻，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 ；若不存在，说明理由．
【答案】(1)当运动时间是 SKIPIF 1 < 0 秒时， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，理由见解析
(4) SKIPIF 1 < 0
【思路分析】（1）可推出 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，进一步得出结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 ，从而表示出 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 ，进一步得出结果；
（3）先表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系确定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的数量关系；
（4）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 可推出点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，进而推出 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 的中点，进一步求得结果．
【详解】（1）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当运动时间是 SKIPIF 1 < 0 秒时， SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
当 SKIPIF 1 < 0 时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（4）如图，

连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与两坐标轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 三点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是第一象限内抛物线上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ．
①求 SKIPIF 1 < 0 的最大值；
②点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【思路分析】（1）分别计算 SKIPIF 1 < 0 三点的坐标，再利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式，设 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得 SKIPIF 1 < 0 的长，再证明 SKIPIF 1 < 0 ，再分两种情况讨论以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】（1）解：令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2）①设直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为： SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为9；
② SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
若以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的三角形与 SKIPIF 1 < 0 相似，
则① SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验： SKIPIF 1 < 0 不符合题意，舍去，
② SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 不合题意，舍去，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．