人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法教案及反思

这是一份人教版七年级下册8.4 三元一次方程组的解法教案及反思，共6页。

1.知道三元一次方程组的概念,知道解三元一次方程组的基本思路,会解三元一次方程组.
2.学会用已学过的知识解决新知识,学会类比和转化的思想;学生通过概括与抽象、类比的方法,体会了归因与转化的数学思想,同时提升了学生的数学抽象素养,并发展了学生的逻辑推理素养.
3.在学习过程中,感受事物之间的相互联系.
学习重点
使学生会解简单的三元一次方程组,进一步体会“消元”的基本思想.
学习难点
针对方程组的特点,灵活使用代入法、加减法等重要方法.
课时活动设计
情境引入
3束上等的稻,2束中等的稻,1束下等的稻,共出谷39斗;2束上等的稻,3束中等的稻,1束下等的稻,共出谷34斗;1束上等的稻,2束中等的稻,3束下等的稻,共出谷26斗,问上、中、下三种稻,每束的出谷量各是多少斗?
你能解决此问题吗?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
解二元一次方程组有哪几种方法?它们的实质是什么?
二元一次方程组一元一次方程
设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.
探究新知
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币,共计220元,其中10元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
问题1:这个问题中包含 3 个等量关系,分别是什么?
解:10元纸币张数+20元纸币张数+50元纸币张数=12张,
10元纸币的张数=20元纸币的张数的4倍,
10元的金额+20元的金额+50元的金额=220元.
设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张.根据题意,可以得到下面三个方程:
x+y+z=12, ①
x=4y, ②
10x+20y+50z=220.③
问题2:观察方程①②③,你能得出什么?
解:(1)三个方程中一共含有三个未知数;(2)每个方程中含未知数的次数都是1;(3)三个方程都是整式方程.
问题3:请尝试给上面的方程①②③进行命名?
解:含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像①③这样的方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足问题1中的三个条件,因此,我们把这三个方程合在一起,写成x+y+z=12,①x=4y,②10x+20y+50z=220.③
结论:这个方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
问题4:如何解三元一次方程组?
前面解二元一次方程组的基本思路是什么?能带给你们什么启发?
解:解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样,即
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程.
问题5:请尝试解三元一次方程组x+y+z=12,①x=4y,②10x+20y+50z=220.③
解:把②分别代入①③,得5y+z=12,④60y+50z=220.⑤
解这个方程组,得y=2,z=2.
把y=2代入②,得x=8.
因此,这个三元一次方程组的解是x=8,y=2,z=2.
设计意图:通过设置小组合作探究,让学生参与教学过程,利用掌握的二元一次方程组的概念及解法,通过类比思想,得出三元一次方程组的概念及解法.自己动手解三元一次方程组,并从中总结出经验,培养学生的思维能力和实践能力.
归纳总结
通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
设计意图:对本节内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 解三元一次方程组3x+4z=7,①2x+3y+z=9,②5x-9y+7z=8.③
解:②×3+③,得11x+10z=35.④
①与④组成方程组3x+4z=7,①11x+10z=35.④
解这个方程组,得x=5,z=-2.
把x=5,z=-2代入②,得2×5+3y-2=9,所以y=13.
因此,这个三元一次方程组的解为x=5,y=13,z=-2.
例2 在等式y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.
解:根据题意,得三元一次方程组a-b+c=0,①4a+2b+c=3,②25a+5b+c=60.③
②-①,得3a+3b=3,即a+b=1.④
③-①,得24a+6b=60,即4a+b=10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组a+b=1,4a+b=10.解这个方程组,得a=3,b=-2.
把a=3,b=-2代入①,得c=-5.因此,a=3,b=-2,c=-5,
即a,b,c的值分别为3,-2,-5.
设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.
巩固训练
1.解下列三元一次方程组.
(1)x-2y=-9,①y-z=3,②2z+x=47;③ (2)3x-y+z=4,①2x+3y-z=12,②x+y+z=6.③
解:(1)由①,得x=2y-9.④
把④代入③并整理,得2z+2y=56,即z+y=28.⑤
②与⑤组成二元一次方程组y-z=3,z+y=28.解这个方程组,得y=312,z=252.
把y=312代入④,得x=22.因此x=22,y=312,z=252.
(2)①+②,得5x+2y=16.④
②+③,得3x+4y=18.⑤
④与⑤组成二元一次方程组5x+2y=16,3x+4y=18.
解这个方程组,得x=2,y=3.
把x=2,y=3代入③,得z=1.因此x=2,y=3,z=1.
2.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数的2倍比乙数大5,乙数的13等于丙数的12.求这三个数.
解:设甲、乙、丙三个数分别为x,y,z.
根据题意,得x+y+z=35,2x-y=5,13y=12z.解得x=10,y=15,z=10.
即甲、乙、丙三个数分别为10,15,10.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第106页练习第2题,习题8.4第1,2,3题.
2.七彩作业.
*8.4 三元一次方程组的解法
三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用 消元→转化
例题讲解.
教学反思