人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组教学设计

这是一份人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组教学设计，共11页。

课时目标
1.探索二元一次方程组的解,体验“消元”方法和转化的思想.
2.会用代入消元法解二元一次方程组.
3.通过参与数学活动,发展学生探究问题的能力.
学习重点
正确运用代入消元法解二元一次方程组.
学习难点
理解代入消元法,灵活消元,解二元一次方程组.
课时活动设计
情境引入
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
(1)如果设胜的场数是x场,则负的场数是(10-x)场,可得一元一次方程2x+(10-x)=16.
(2)如果设胜的场数是x场,负的场数是y场,可得二元一次方程组x+y=10,2x+y=16.
那么怎样解这个二元一次方程组呢?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.下列方程是二元一次方程吗?
(1)x+3y=7;(2)2y+2=0;(3)2x-3=5;(4)x3-y2=1.
2.你能把上面的二元一次方程改写成用含x的式子表示y(或用含y的式子表示x)的形式吗?
3.解一元一次方程的步骤是什么?
设计意图:回顾旧知,为学习新知做好准备.
探究新知
如图,一个苹果和一个梨的质量合计为200 g,这个苹果的质量加上一个10 g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少?
分析:根据下图,列式得y=x+10,①x+y=200,②把①代入②,得x+(x+10)=200.
问题:你知道如何解y=x+10,①x+y=200,②吗?
解的步骤如下:
y=x+10,①x+y=200,②x+(x+10)=200x=95y=105.
问题:观察上面的解答过程,你发现了什么?
解:化未知为已知,把二元一次方程组转化为一元一次方程来解答.
问题:将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.你能写出方程组y=x+10,①x+y=200②的解答过程吗?
解:y=x+10,①x+y=200.②
把①代入②,得x+(x+10)=200,解得x=95.
把x=95代入①,得y=105.
∴方程组y=x+10,①x+y=200②的解是x=95,y=105.
问题:前面我们学过求一元一次方程解的过程叫做解一元一次方程,上面的过程叫做什么呢?
解:求二元一次方程组解的过程叫做解二元一次方程组.
设计意图:1.探索用代入法解二元一次方程组的方法,让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想.
2.通过利用一元一次方程解决实际问题,引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
归纳总结
解二元一次方程组的基本思路“消元”:
二元一次方程组一元一次方程.
定义:用“代入”的方法进行“消元”,这种解方程组的方法称为代入消元法,简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 利用代入消元法解二元一次方程组2x+3y=16,①x+4y=13.②
解:由②,得x=13-4y.③
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
解这个方程,得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
所以原方程组的解是x=5,y=2.
例2 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2?5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
分析:两种产品的销售数量比为2?5,即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2?5.这里的数目以瓶为单位.
解:设这些消毒液应该分装大瓶x瓶和小瓶y瓶.
根据题意,得5x=2y,①500x+250y=22 500 000.②
由①,得y=52x.③
把③代入②,得500x+250×52x=22 500 000,解得x=20 000.
把x=20 000代入③,得y=50 000.
所以这个方程组的解是x=20 000,y=50 000.
答:这些消毒液应该分装大瓶20 000瓶和小瓶50 000瓶.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.让学生解决数学问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,促进学生能运用所学知识和技能解决问题.
巩固训练
1.用代入法解方程组x-2y=7,y=1-x时,代入正确的是( C )
A.x-2-x=7 B.x-2-2x=7 C.x-2+2x=7 D.x-2+x=7
2.用代入法解方程组2s+t=1,①3s-5t=8,②下面四个选项中正确的是( C )
A.由②,得t=3s+85,再代入① B.由②,得s=8-5t3,再代入①
C.由①,得t=1-2s,再代入② D.由①,得s=1+t2,再代入②
3.用代入法解方程组:
(1)y=2x-3,①3x+2y=8;② (2)2x-y=5,①3x+4y=2.②
解:(1)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解得x=2.
把x=2代入①,得y=1.
所以这个方程组的解是x=2,y=1.
(2)由①,得y=2x-5.③
把③代入②,得3x+4(2x-5)=2,解得x=2.
把x=2代入③,得y=-1.
所以这个方程组的解是x=2,y=-1.
4.为了更好地保护环境,治污公司决定购买若干台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多5万元,购买2台A型号设备和3台B型号设备共45万元.求每台A,B型号设备的价格分别是多少万元?
解:设每台A型号设备的价格是x万元,每台B型号设备的价格是y万元.
依据题意,得x-y=5,①2x+3y=45.②
由①,得x=5+y.③
把③代入②,得2(5+y)+3y=45,解得y=7.
把y=7代入①,得x=12.
所以这个方程组的解是x=12,y=7.
答:每台A型号设备的价格是12万元,每台B型号设备的价格是7万元.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.代入消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第93页练习第1,3,4题.
2.七彩作业.
第1课时 用代入消元法解方程组
1.代入消元法:简称代入法.
2.出示例题.
3.总结用代入法解二元一次方程组的步骤.
4.理解转化思想的运用.
教学反思



第2课时 用加减消元法解方程组
课时目标
1.通过具体简单的用加减消元法解二元一次方程组的例子,体验加减消元法,在此基础上学习加减消元法的概念,理解加减消元法.
2.会运用加减消元法求未知数系数相等或相反的二元一次方程组的解,掌握用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.
3.通过运用加减消元法解方程组,体会消元思想的运用,体验先观察、再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.
学习重点
用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
学习难点
对加减消元法解方程组过程的理解;在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
情境引入
怎样解下面的方程组?
3x+5y=21,①2x-5y=-11.②
小组讨论:
思路1:把②变形为x=5y-112,代入①,不就消去x了!
思路2:把②变形为5y=2x+11,就可以直接代入①呀!
思路3:5y和-5y互为相反数……
按以上3个思路,你能消去一个未知数吗?
设计意图:通过观察,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么?
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么?
设计意图:通过对已经学习过的知识的回顾,可以激发学生们的学习兴趣,将学生的注意力转移到课堂上来,为学习新知识做好准备.
探究新知
解方程组:3x+5y=21,①2x-5y=-11.②你有几种方法?
解法1:由②,得x=5y-112.③
把③代入①,得3·5y-112+5y=21,解得y=3.
把y=3代入③,得x=2.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
解法2:由②,得5y=2x+11.③
把5y当作整体,将③代入①,得3x+2x+11=21,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
(此种解法体现了整体的思想)
解法3:①+②,得5x=10,解得x=2.
把x=2代入①,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
设计意图:通过对一道练习题的解答,鼓励学生一题多解,不要局限于教师教过的方法,而要注意观察、发现题目中的特点,找到解决问题的其他方法,同时通过一题多解,拓展学生的思维.
归纳总结
在二元一次方程组的两个方程中,若同一未知数的系数互为相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;若同一未知数的系数相等,则可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
特点:同一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路:二元一元.
主要步骤:(1)加减消去一个元;(2)分别求出两个未知数的值;(3)写出方程组的解.
设计意图:总结归纳加减消元法的解题思路、步骤,让学生体会加减消元法与代入消元法的区别,合理恰当地选择解题方法.
典例精讲
例1 (1)x+y=10,①2x+y=16.② (2)3x+10y=2.8,①15x-10y=8.②
解:(1)由②-①,得x=6.
将x=6代入①,得y=4.
所以该方程组的解是x=6,y=4.
(2)由②+①,得18x=10.8,解得x=0.6.
将x=0.6代入①,得y=0.1.
所以该方程组的解是x=0.6,y=0.1.
例2 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割同时工作5小时共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
解:设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式的相等关系,得方程组2(2x+5y)=3.6,5(3x+2y)=8.
去括号,得4x+10y=3.6,①15x+10y=8.②
②-①,得11x=4.4.
解得x=0.4.
把x=0.4代入①,得y=0.2.
因此,这个方程组的解是x=0.4,y=0.2.
答:1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.巩固利用加减法求二元一次方程组的解,掌握解题步骤.
巩固训练
1.用加减消元法解下列方程组:
(1)8x+5y=11,①4y-3x=-10;② (2)3x+4y=10,①4x-3y=5.②
解:(1)①×4,得32x+20y=44.③
②×5,得20y-15x=-50.④
③-④,得47x=94.解得x=2.
把x=2代入①,得16+5y=11.解得y=-1.
所以原方程组的解为x=2,y=-1.
(2)①×4,得12x+16y=40.③
②×3,得12x-9y=15.④
③-④,得25y=25.解得y=1.
把y=1代入①,得3x+4=10.解得x=2.
所以原方程组的解为x=2,y=1.
2.某物流公司用4辆小卡车和5辆大卡车一次共运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共运货物51吨,问小卡车和大卡车每辆每次运货各多少吨?
解:设小卡车每辆每次运货x吨,大卡车每辆每次运货y吨.
根据题意,得4x+5y=27,①6x+10y=51.②
①×2,得8x+10y=54.③
③-②,得2x=3.解得x=1.5.
把x=1.5代入①,得6+5y=27.解得y=4.2.
所以这个方程组的解是x=1.5,y=4.2.
答:小卡车每辆每次运货1.5吨,大卡车每辆每次运货4.2吨.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.加减消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第96,97页练习第1,2题,第98页习题8.2第3,4,6,7题.
2.七彩作业.
第2课时 用加减消元法解方程组
1.加减消元法:简称加减法.
2.出示例题.
3.总结用加减法解二元一次方程组的步骤.
4.理解消元、化归思想的运用.
教学反思