中考数学二轮复习 专题突破课件 专题五　圆综合

这是一份中考数学二轮复习 专题突破课件 专题五　圆综合，共60页。PPT课件主要包含了题型讲练，答图2，答图3，答图4，答图6，答图7，答图8，答图9，答图1，答图5等内容，欢迎下载使用。

一、侧重切线1．如图1，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于 点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA.（1）若∠ADC＝30°，则∠B的度数为________；（2）若点C是线段OB的中点，则∠ADC的度数为________；（3）若sin B＝ ，CD∥AB，则四边形ADOC的形状是________．
例1　已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D为AB延长线上一点，连接AC，CD.（1）如图2，连接BC，若∠A＝∠BCD，求证：CD是⊙O的切线．
证明：如答图1，连接OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.又∠A＝∠BCD，∴∠ACO＝∠BCD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠OCB＝90°.∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.又OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
（2）如图3，过点B作BE⊥CD，交AC的延长线于点E，且AB＝BE. ①求证：CD是⊙O的切线；
证明：如答图2，连接OC.∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∵AB＝BE，∴∠A＝∠E.∴∠OCA＝∠E.∴OC∥BE.又BE⊥CD，∴OC⊥CD.又OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
②若CD＝4，BD＝2，求BE的长．
解：∵OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．∵OC＝OB，BD＝2，∴OD＝OB＋BD＝OC＋2.在Rt△OCD中，根据勾股定理，得OD2＝OC2＋CD2，即（OC＋2）2＝OC2＋42.解得OC＝3.又OC∥BE，O是AB的中点，∴C是AE的中点．∴OC是△ABE的中位线．∴BE＝2OC＝6.
（3）如图4，∠A＝∠ADC＝30°，过点D作射线DM∥AC. ①若AC＝ ，求 的长；
证明：如答图4，连接OC，过点O作ON⊥DM于点N.由①可知∠COD＝60°，又∠CDA＝30°，∴∠OCD＝180°－∠COD－∠CDA＝180°－60°－30°＝90°.∴OC⊥CD.∵DM∥AC，∴∠ADM＝∠A.又∠A＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ADM.又ON⊥DM，OC⊥CD，∴ON＝OC.∴DM是⊙O的切线．
②求证：DM是⊙O的切线．
方法点拨　证明切线时，主要有两种思路：①切点已知，连接圆心与该切点（即连半径），证明连接的半径垂直于需证明的切线，解题关键是证明直角；②切点未知，过圆心作需证明切线的垂线，证明垂线段等于半径，解题关键是证明线段相等．
（4）如图5，CD是⊙O的切线，点P是 的中点，连接OP，BP，CP，CP交AB于点Q. ①求证：∠PCD＝∠CQD；
　 1.如图6，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.（1）求证：EF是⊙O的切线；
证明：如答图7，连接OD.∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.又EF⊥AC，∴EF⊥OD.又OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．
（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．
解：如答图7，连接AD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
2．（2023广东）综合探究如图7①，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于 点O，点A关于BD的对称点为A′.连接AA′交BD于点E，连接CA′.
证明：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE＝A′E，AA′⊥BD.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.∴OE是△AA′C的中位线．∴OE∥CA′.∴AA′⊥CA′.
（1）求证：AA′⊥CA′.
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆． ①如图7②，⊙O与CD相切，求证：AA′＝ CA′；
证明：如答图8，设⊙O与CD相切于点F，连接FO并延长，交AB于点G.∴OF⊥CD，OF＝OE.∴∠OFC＝90°.∵四边形ABCD是矩形，
②如图7③，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
解：如答图9，设⊙O与CA′相切于点H，连接OH.∴OH⊥CA′.由（1）可知AA′⊥CA′，AA′⊥BD，∴OH∥AA′，∠OEA＝∠A′＝90°.∴△COH∽△CAA′.
二、侧重相似三角形1．如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，且AB＝16，CE为⊙O的切线，过点A作AE⊥CE于点E.若AE＝4，则AC＝________，CE＝________．图1
2．如图2，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AC为直径作⊙O，交BC于点D，连接AD，延长BA交⊙O于点E，连接CE.若AD＝6，则 cs ∠ACE的值为__________.图2
例1　（原创）如图3，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交BA的延长线于点D，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，交⊙O于点F.（1）①求证：△DAC∽△DCB；
证明：如答图1，连接OC.∵DC与⊙O相切，∴∠DCO＝90°，即∠DCA＋∠ACO＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°.∴∠BCO＝∠DCA.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO.∴∠CBO＝∠DCA.又∠D＝∠D，∴△DAC∽△DCB.
②若AD＝2，CD＝4，求⊙O的半径．
方法点拨　若题干中涉及线段比值，通常设未知数表示线段长，再通过作辅助线构造相似三角形，根据对应边成比例列方程求解．
（3）如图4，连接CF，求证：CF·BD＝BC·CD.
证明：如答图2，连接OC.由（2）得OC∥BE.∴∠BCO＝∠CBF.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠DBC.∴∠DBC＝∠CBF.∵四边形ABFC为⊙O的内接四边形，∴∠CAB＋∠CFB＝180°.
又∠CAB＋∠DAC＝180°，∴∠DAC＝∠CFB.由（1）得△DAC∽△DCB.∴∠DAC＝∠DCB.∴∠DCB＝∠CFB.又∠DBC＝∠CBF，∴△DCB∽△CFB.
方法点拨　对于求证线段乘积的问题，常与相似三角形联系，将问题转化为证明相似三角形，若不能直接转化，则需通过全等或其他方法将线段转化．
解：如答图3，过点C作CP⊥AB于点P，连接OC，则∠CPO＝90°.
　 1.（原创）如图5，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为BC上一点，连接AD交⊙O于点E，连接BE， ∠C＝∠DBE.（1）求证：AB＝AD；
证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∴∠DBE＋∠EDB＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠C＋∠ABD＝90°.∵∠C＝∠DBE，∴∠ABD＝∠EDB.∴AB＝AD.
（2）若点D为BC的中点，AE＝3，求⊙O的面积．
解：由（1）可知∠AEB＝90°，∴∠BED＝90°.∴∠BAC＝∠BED.
2．如图6，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE⊥DE，点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.（1）求证：△ECD∽△ABE；
证明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°.∴∠CED＋∠AEB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠CDE＋∠CED＝90°.∴∠AEB＝∠CDE.又∠B＝∠C，∴△ECD∽△ABE.
（2）求证：AD是⊙O的切线；
证明：如答图4，延长DE，AB交于点P，过点O作OH⊥AD于点H.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.
∴△DCE≌△PBE（ASA）.∴DE＝PE.
又AE⊥DP，∴AE垂直平分DP，∴AD＝AP.∴∠HAO＝∠GAO.∵AB是⊙O的切线，∴OG⊥AB.又OH⊥AD，∴OH＝OG.∴AD是⊙O的切线．
（3）若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
解：如答图5，连接OF.
3．（2023菏泽）如图7，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F.（1）求证：BC＝DE；
（2）P是 上一点，AC＝6，BF＝2，求tan ∠BPC；
（3）在（2）的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．
三、侧重其他1．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB.（1）若CD＝ AB，则∠BAC＝________°；（2）若3∠BAC＝∠ACD，则△COD的形状是_________________；（3）若CD＝6，AC＝5，则△ABC的面积为________．
解：△FAG是等腰三角形．理由如下：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠ABG＋∠AGB＝90°.∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.∴∠FAG＋∠C＝90°.∵AE＝AB，∴∠ABG＝∠E.又∠E＝∠C，∴∠ABG＝∠C.∴∠AGB＝∠FAG.∴FA＝FG.∴△FAG是等腰三角形．
例1　如图2，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弦AE＝AB，BE分别交AD，AC于点F，G.（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）延长AD交⊙O于点M，连接EM，求证：EM⊥AC.
　 1.如图3，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在弧BD上，点C关于BD的对称点C′恰好落在AB上，连接CC′，BC，CD，OD.（1）求证：OD∥BC；
证明：由对称的性质可知∠CBD＝∠C′BD.∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.
（2）若AB＝12，AD＝5，求BC的长．
解：如答图2，连接DC′，过点D作DH⊥AB于点H.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠AHD＝∠ADB＝90°.又∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABD.
2．如图4，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF.（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
证明：∵AB和EF为⊙O的直径，∴AB＝EF.∵AB＝AC，∴AC＝EF，∠C＝∠ABC.∵OE＝OB，∴∠ABC＝∠OEB.∴∠C＝∠OEB.∴AC∥EF.∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）连接DE，若△CDE的面积为20，cs F＝ ，求⊙O的直径．
解：如答图3，连接BD，AE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.由（1）可知四边形ACEF为平行四边形，∴∠C＝∠F.
3．如图5，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一个动点，点D是的中点，射线OD上存在一点E，使得OE＝AC，在AB的延长线上取一 点F，连接FE并延长，交AC的延长线于点G，交OC的延长线于点H.
（1）连接CE，判断CE与AB的位置关系与数量关系，并说明理由；
（2）设HG＝x，GF＝y，若HE＝5，求y与x的函数解析式．
(1)求证：CD平分∠ACE；(2)若AC＝9，CE＝3，则CD的长为__________．
(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.又∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD.
∴∠ACD＝∠DCE，即CD平分∠ACE.
2．(2023广西)如图2，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.(1)求证：PB是⊙O的切线；
证明：∵PA与⊙O相切于点A，∴OA⊥PA.∵PO平分∠APD，OB⊥PD，OA⊥PA，∴OB＝OA，即OB是⊙O的半径．又OB⊥PD，∴PB是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，∴AC＝OA＋OC＝4＋5＝9.在Rt△OBC中，由勾股定理，得
3.如图3，四边形EBCA内接于⊙O，BE∥AC，D为BC延长线上一点，且AC平分∠BAD，连接AD，AB，CE.(1)求证：AD∥EC；(2)若BC＝3，则当CD＝________时，四边形EBCA是矩形．
(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.又∠BEC＝∠BAC，∴∠BEC＝∠DAC.∵BE∥AC，∴∠BEC＝∠ACE.∴∠ACE＝∠DAC.∴AD∥EC.
4．(2023荆州)如图4，在菱形ABCD中，DH⊥AB于点H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF.(1)求证：①CD是⊙O的切线；
证明：①∵DH⊥AB，∴∠AHD＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠CDH＝∠AHD＝90°.∴CD⊥OD.又OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
②△DEF∽△DBA.
证明：②如答图1，连接HF.∵DH为⊙O的直径，∴∠DFH＝90°.∴∠DHF＋∠BDH＝90°.∵∠AHD＝90°,∴∠DBA＋∠BDH＝90°.∴∠DHF＝∠DBA.又∠DHF＝∠DEF，∴∠DEF＝∠DBA.又∠EDF＝∠BDA，∴△DEF∽△DBA.
(2)若AB＝5，BD＝6，求sin ∠DFE.
解：如答图2，连接AC，交BD于点G.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AG＝GC，