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中考数学二轮专题复习课件 专题六 几何图形综合探究题
展开几何图形综合问题一直是各地中考的重要题型,这类问题承载的知识点较多,形式灵活多样,时常通过图形变换探究结论的变化情况,注重考查与培养学生分析、解决问题的综合能力与迁移、创新的思维能力.该类问题一般第(1)问起点低,且常会用到“从特殊到一般”的数学思想,需要熟练掌握三角形与四边形的基础知识.
类比、迁移与拓展类问题
(1)此类问题常常是先根据特殊的条件结合图形猜想出结论,然后在一般条件下论证结论,最后运用结论解决问题;或者是在特殊条件下得出结论,改变条件的特殊性(如点的位置发生改变,图形的形状发生改变等)判断结论是否仍然成立.(2)解答此类问题注意类比,几问之间层层递进,但是原理相同,图形结构类似或方法类似,或在此基础上稍微变通一下即可,如第二问直接套用第一问的结论和方法,而第三问需要构造第一问的背景与图形特征等.一般遵循图形结构类似、结论不变或类似延伸拓展、解题方法不变的规律,不要因图形变得复杂而惊慌,而是通过前面一问的铺垫,用同样的方法或思维迁移得出结论.
1.(2022烟台)【问题呈现】如图①所示,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.
【问题呈现】证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.
(2)延长CE交BD于点F,交AB于点G,求sin∠BFC的值.
2.已知点O是线段AB的中点,点P是直线l上的任意一点,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.(1)【猜想验证】如图①所示,当点P与点O重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系: .
(2)【探究证明】如图②所示,当点P是线段AB上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)【拓展延伸】如图③所示.①当点P是线段BA延长线上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
②若∠COD=60°,请求出线段AC,BD,OC之间的数量关系.
3.(2022黔东南)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,一天杨老师给他这样一个几何问题:如图①所示,△ABC和△BDE都是等边三角形,点A在DE上.求证:以AE,AD,AC为边的三角形是钝角三角形.【探究发现】(1)小明通过探究发现:连接DC,根据已知条件,可以证明DC=AE,∠ADC=120°,从而得出△ADC为钝角三角形,故以AE,AD,AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路,写出完整的证明过程.
(1)证明:如图①所示,连接DC.∵△ABC和△BDE都是等边三角形,∴AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°,∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD,即∠CBD=∠ABE,∴△CBD≌△ABE(SAS),∴CD=AE,∠BDC=∠E=60°,∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°,∴△ADC为钝角三角形,∴以AE,AD,AC为边的三角形是钝角三角形.
【拓展迁移】(2)如图②所示,四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,点A在EG上.①试猜想以AE,AG,AC为边的三角形的形状,并说明理由.
(2)解:①以AE,AG,AC为边的三角形是直角三角形.理由如下:如图②所示,连接CG.∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,∴AB=CB,BE=BG,∠ABC=∠EBG=90°,∠EGB=∠GEB=45°,∴∠ABC-∠ABG=∠EBG-∠ABG,即∠CBG=∠ABE,∴△CBG≌△ABE(SAS),∴CG=AE,∠CGB=∠AEB=45°,∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°,∴△ACG是直角三角形,即以AE,AG,AC为边的三角形是直角三角形.
②若AE2+AG2=10,试求出正方形ABCD的面积.
解:②由①,可知CG=AE,∠AGC=90°,∴CG2+AG2=AC2,∴AE2+AG2=AC2.∵AE2+AG2=10,∴AC2=10.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2=10,∴AB2=5,∴S正方形ABCD=AB2=5.
图形的平移、旋转、翻折(轴对称)变换是全等变换,不改变图形的形状和大小,解决此类问题的关键是正确找到变换前后的对应角和对应线段.解题时应注意以下几个方面:(1)熟练掌握图形的轴对称、平移、旋转的基本性质和基本方法;(2)结合具体问题大胆尝试,动手操作,探究发现其内在规律;(3)注重图形与变换的创新题,弄清其本质,掌握其基本的解题方法,尤其是轴对称和旋转;(4)注意培养观察与实验能力、探索与实践能力以及数学应用意识和创新意识.
4.(2023东营)如图所示,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 .
5.如图①所示,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连接BD,DE,CE.(1)判断线段BD与CE的数量关系,并给出证明.
解:(1)BD=CE.证明如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.由旋转可知∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE.
(2)延长ED交直线BC于点F.①如图②所示,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为 ;
解:(2)①AE=BE-CE
②如图③所示,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由.
(1)请你证明游戏1中发现的结论;
游戏2:在游戏1的基础上,将点C翻折到BD上,折痕为BP;展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上的点H处;再展开并连接GH后得到图②,发现∠AGH是一个特定的角.
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数,并说明理由.
几何多结论判断问题考查的知识点较多,主要以圆和四边形为核心,解决问题的主要手段是利用三角形的全等与相似,以及特殊平行四边形的判定与性质,能很好地考查学生综合运用知识解决问题的思维能力.此类题目看似需要判断的项较多,但它们之间往往有思维递进的关系,所以在解决问题时要抓住多个选项之间的内在联系,充分利用选择题的特点,尽可能做到小题小做、巧做.
7.如图所示,已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别是边BC,CD上的动点,∠BAC=∠MAN=60°,连接MN,OM.以下四个结论正确的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
8.(2021泰安)如图所示,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,有下列四个结论:①AM=CN;②若MD=AM,∠BAD=90°,则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.其中正确结论的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个
①CD平分∠BCE;②BE=BD; ③AE2=AF·AB;④BD为☉O的切线. 其中所有正确结论的序号是 .
解决动点类问题的一般方法:(1)在运动的过程中确定满足条件的静止位置;(2)依据几何图形的定义判断各量之间的关系,建立方程或函数模型解决问题;(3)做题过程中时刻注意分类讨论,看是否存在不同的情况;(4)若是有速度的动点问题,则要善于用路程表示线段的长度,要善于用方程思想来求点的坐标.
10.△ABC和△ADF均为等边三角形,点E,D分别从点A,B同时出发,以相同的速度沿AB,BC运动,运动到点B,C停止.(1)如图①所示,当点E,D分别与点A,B重合时,请判断:线段CD,EF的数量关系是 ,位置关系是 .
解:(1)CD=EF CD∥EF
(2)如图②所示,当点E,D不与点A,B重合时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
解:(2)结论成立.证明如下:如图①所示,连接BF.∵△ABC,△ADF都是等边三角形,∴∠FAD=∠BAC,AF=AD,AB=AC,∴∠FAB=∠DAC,∴△FAB≌△DAC(SAS),∴BF=CD,∠ABF=∠ACD=60°.∵AE=BD,AB=BC,∴BE=CD=BF,∴△EFB是等边三角形,∴EF=BF=CD,∠FEB=∠ABC=60°,∴EF∥CD.
(3)当点D运动到什么位置时,四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半?请直接写出答案.此时,四边形BDEF是哪种特殊四边形?请在备用图中画出图形并给予证明.
(2)如图②所示,将△PQC沿BC翻折至△P′QC,当t为何值时,四边形QPCP′为菱形?
(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),设点M的横坐标为m.①求m值最大时点D的坐标.
②是否存在这样的m值,使BE=BF?若存在,求出此时的m值;若不存在,请说明理由.
13.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE,连接CD.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为1 cm/s.PQ交AC于点F,连接CP,EQ,设运动时间为t s(0
(2)设四边形PCDQ的面积为S cm2,求S与t之间的函数关系式.
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