2024年安徽省马鞍山市第八中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2024
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 2023年马鞍山市人均GDP（国内生产总值）约为万元，其中，万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度是（ ）
A. 9B. C. D.
9. 已知二次函数的图象如图所示，图象与x轴交于，顶点是，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）

A. B.
C.
D.
10. 如图，D，E分别在等边的边，上，且，与交于点F．延长到点P，使，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. 的长度的最小值等于
C. 的长度为D. 的面积的最大值是的面积的
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解：__________．
12. 不等式的解集为__________．
13. 如图，在中，点是边上一点，，，，且，过边上一点作，若，则的长度为__________．
14. 如图1，在中，，，边上点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图2，图象过点．则：
（1）__________．
（2）关于的函数图象的最低点的横坐标是__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 如图，在每个小正方形边长为1个单位网格中，已知线段，点A、B均在格点（网格线的交点）上．
（1）将线段绕点B顺时针旋转至线段，画出线段，连接线段；
（2）将向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到，画出；
（3）以点B为位似中心，在网格图中，将放大2倍，得到，画出．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：__________；
（2）写出第n个等式：__________（用含有n等式表示）；
（3）利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
18. 某停车场出入口的智能感应升降栏杆，其主视图如图1所示（点A、O、B在同一直线上），其中栏杆的内端O到地面的距离为1米，入口杆与出口杆均长米．
（1）如图2当入口杆抬起时（即），求入口杆外端到地面的距离；
（2）在（1）的基础上，此时出口杆抬起（即），如图3所示，求此时两杆外端的距离．（参考数据：，，，，，，，结果保留至个位）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，A、B两点的坐标分别为，，将线段AB绕点B逆时针旋转得到线段，过点C作于点D，反比例函数的图象经过点C，交直线于E．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求的面积．
20. 如图，四边形是的内接四边形，直径平分．
（1）求证：；
（2）过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形．
六、（本题满分12分）
21. 2024年1~2月期间，全国各地发生了多起火灾事故，造成了极大的人员伤亡和财产损失．为了加强消防安全的宣传教育，提高学生的安全防范意识和避险能力，某校在新学期开学之际，组织开展了消防安全知识竞赛活动，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩，分成了四组：A组，B组，C组，D组（x为学生竞赛成绩，单位：分），其中七年级10名学生的竞赛成绩分别是：95，84，90，85，96，91，89，93，87，90（单位：分），同时将所抽取的20名学生的成绩进一步进行整理，绘制出如下统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级学生竞赛成绩的平均分是_______分，众数是_______分；八年级学生竞赛成绩的中位数在_______组．
（2）该校七、八年级共1000名学生参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）学生有多少名？
（3）若从抽取20名学生中，随机挑选出两名成绩在A组的学生参加区级消防安全知识竞赛，则恰好抽到两名同学是同一年级的概率为多少？
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，，过点作直线平行于，点是直线上点右侧的一个动点，连接，作，交直线于点．
（1）如图，图，若；
①当点与点重合时，__________；
②当点不与点、重合时，证明：．（任选图、图中的一种情况证明即可）
（2）如图，若，当于直线时，在直角三角形三边上依次取点、、，且，，此时，连接并延长，交的延长线于点，求的长．
八、（本题满分14分）
23. 如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点．
（1）分别求此二次函数与直线的解析式．
（2）点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①当时，求t的值；
②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值．