河南省三门峡市渑池县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：茹彩凤
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．答案写在答题卡，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（ ）
A. 正三角形B. 锐角三角形C. 斜三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.
【详解】由于，，，
则，即，
所以△ABC为等腰直角三角形．
故选：D．
2. 已知，，与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 10D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由向量数量积的定义求解.
【详解】已知，，与的夹角为，
则.
故选：C.
3. 已知向量，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】平面向量的减法坐标运算，计算向量的模
【详解】向量，，
则.
故选：D
4. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A. 30°B. 45°C. 150°D. 30°或150°
【答案】A
【解析】
【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.
【详解】因，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．
故选：A
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误；
对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误．
故选：B．
6. 如图，在中，，E为AB边的中点，F为BC边上的点，且，，，则（ ）
A. 6B. 9C. 10D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量运算法则将转化为，再代入向量数量积公式即可求解.
【详解】依题意，
．
故选：B.
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
【答案】A
【解析】
【分析】如图，由题意可得海里、，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】如图，由题意得，海里，
得，在中，由正弦定理，
得海里.
故选：A.

8. 下列结论错误的是（ ）
A. 已知是非零向量，，若，则
B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为
C. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形
D. 点O在所在的平面内，满足，，则点O是的外心
【答案】D
【解析】
【分析】对选项A，根据，即可判断；对选项B，根据向量投影定义即可判断；对选项C，由向量加法的法则证明四边形为平行四边形，由向量法证明邻边垂直，可判断结论；对选项D，根据已知条件得到为的内角平分线交点，即可判断.
【详解】对选项A，因为是非零向量，，若，
则，所以，故A正确；
对选项B，在上的投影向量为，故B正确；
对选项C，设，因为，
，所以四边形平行四边形，
又因为，所以，
所以四边形为矩形，故C正确.
对选项D，因为，所以，所以点在的平分线上，
因为，所以，所以点在的平分线上，
则为的内心，故D错误.
故选：D.
二、多选题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）
9. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，结合向量的平行坐标表示和数量积的坐标运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，所以A正确；
由，可得，
因为，所以与不共线，所以B错误；
由，所以，故C正确；
由，可得，可得与的方向不相同，
所以，故D错误．
故选：AC.
10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线和垂直的的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．
【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：AB．
11. 对于，下列说法错误的有（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则
C. 若，，则符合条件的有两个
D. 若，则钝角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B：根据正弦定理即可判断证明；对于C：利用余弦定理即可得解；对于D：根据正弦定理去判断即可．
【详解】对于选项A：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A不正确，
对于选项：若，则，由正弦定理可得成立．故B正确；
对于选项C：由余弦定理可得：，
即，只有一解，故C错误；
对于选项D：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以C为钝角，即是钝角三角形，故D正确；
故选：AC．
12. 在中，内角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 若，则为等腰三角形
C 若，则
D. 若，则为锐角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】由余弦定理判断A，利用正弦定理和正弦函数性质判断B，由正弦定理，切化弦及正弦函数性质判断C，由余弦定理判断D．
【详解】由余弦定理，A正确；
，由正弦定理得，，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B错；
由得，，同上得或，C错；
若，所以，因此，
所以，即，，，所以为锐角，显然边最大，角最大，所以为锐角三角形，D正确．
故选：AD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知向量，若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目条件可得，代入化简即可.
【详解】已知向量，，若，则有，
∴.
故答案为：.
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角B的大小为___________
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理结合已知条件求的余弦值即得结果.
【详解】因为，所以，
又△中，，故，
故答案为：.
15. 在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为________
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
∵M、O、N三点共线，
考点：平行向量与共线向量．
16. 已知的内角，，所对的边分别是，，，设向量，，若，，则的面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出B的余弦，求出角B，再由不等式及面积公式可求出最值．
【详解】∵向量，，若，
∴，
由正弦定理知：，即，
由余弦定理知：，
∴csB＝，∵B∈（0，π），∴B＝．
又，
所以，
解得，当且仅当时等号成立，
,
所以的面积的最大值为.
故答案为：
四、解答题（本大题共6题，第17题10分；其余每题12分，共70分．）
17. 在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，
（1）试用表示向量与；
（2）求的值.
【答案】（1）；.
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的加法运算，结合已知中点和矩形的性质即可求解；
（2）根据向量数量积的运算法则及（1）中的结论，运用向量数量积的运算方法进行计算即可求解.
【小问1详解】
如图，因为点是边的中点，所以，

则，
同理，.
【小问2详解】
由（1）可知，，，
又因为为矩形，所以，
则.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：
（1）角B；
（2）的面积S.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】(1)正弦定理求解；
(2)根据面积公式求解.
【小问1详解】
由正弦定理，得，
因为在中，且，所以.
【小问2详解】
因为，
所以.
所以.
19. 已知向量，，设函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若对任意，恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质求出增区间.
（2）由（1）的函数式，利用正弦函数的性质求出最大值即得.
【小问1详解】
依题意，，
由，得，
所以函数单调增区间为.
【小问2详解】
当时，则，则当，即时，函数取得最大值，
当，即时，函数取得最小值0，即，，
因此在上的最大值为1，由任意恒成立，得，
所以的取值范围为.
20. 的内角、、的对边分别为、、，若.
（1）求的值；
（2）若，．求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简可得的值；
（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.
【小问1详解】
解：由及正弦定理可得，
即，
，则，所以，.
【小问2详解】
解：由平面向量数量积的定义可得，则，
由余弦定理可得，所以，，
因此，的周长为.
21. 已知向量，，，．
（1）求的最小值及相应的t值；
（2）若与夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】（1）最小值为，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标运算和数量积的坐标运算，表示出，由二次函数的性质求最小值；
（2）若与夹角为钝角，则数量积为负且向量不共线，解不等式即可.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
当且仅当时取等号，
即的最小值为，此时；
【小问2详解】
∵，，
若与共线，∴．
解之可得，此时二者反向.
若与夹角钝角，则，得且．
所以实数t的取值范围.
22. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，．
（1）若，求BD和AB的值；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，由余弦定理列出方程，求得，再结合正弦定理，即可求得的值；
（2）分别在和中，利用余弦定理求得，进而得到四边形的面积，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：在中，由余弦定理，
可得，即，解得，
因为，且，可得，
在中，由正弦定理，可得，解得.
【小问2详解】
解：由余弦定理得，
且，
所以，
可得四边形的面积
，
又因为，当，即时，四边形的面积取得最大值.