云南省曲靖市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试（3月月考）数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈美莲 审题人：白德波
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（ ）
A. 0.6B. 0.4C. D.
2. 用3，4，5中的任意一个数作分子，6，8，10中的任意一个数作分母，则可构成（ ）个不同的分数．
A. 6B. 7C. 8D. 9
3. 设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ）
A. 72种B. 144种C. 216种D. 256种
5. 在中，内角所对的边分别为.若，则是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 有一个内角是直角三角形
C. 等边三角形D. 有一个内角是的等腰三角形
6. 某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的人中至少有名男老师的条件下，有名女老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即.已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则（ ）
A. 40B. 80C. 96D. 112
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
注：独立性检验中，，．
根据这些数据，判断下列说法正确是（ ）
A. 依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响
B. 依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响
C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05
D. 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响
10. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，动点在该六面体表面上，且满足，则（ ）
A. B. 该几何体的体积为
C. 动点的轨迹长为D. 该多面体内切球的半径为
11. 小华玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次取到号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次取到号码大于5的小球，则前进2步．每次抽取小球互不影响，记小华一共前进步的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. （）D. 小华一共前进2步的概率最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在的展开式中，常数项为______．
13. 已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为______．
14. 中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为______．（保留小数点后四位）附：若随机变量服从正态分布，则，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 现有标号依次为1，2，3的3个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余两个盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子．
（1）求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）求3号盒子里的红球的个数的分布列和期望
16. 某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，（单位：万吨）代表新增碳排放量．
（1）请计算并用相关系数的数值说明与之间的线性相关性的强弱（保留小数点后两位）；
（2）求关于的线性回归方程，并据此估计该地区2024年的新增碳排放数量．
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，
17. 如图，在四棱台中，平面．底面是平行四边形，，，连接、，设交点为，连接．
（1）证明：；
（2）若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积．
18. 已知椭圆：（）的左右顶点，的坐标分别为，，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，设点关于轴的对称点为．
①求证直线过定点；
②求面积的最大值．
19. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知且的不动点的集合为，以表示集合中的最小元素．
（1）若，求中元素个数；
（2）当恰有一个元素时，的取值集合记为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若为中的最小元素，数列满足，．求证：， ．
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
5
30
35
男生/人
5
10
15
合计/人
10
40
50
0.1
0.05
0.01
0005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
新增碳排放万吨
61
5.2
4.9
4
3.8