高考数学一轮复习 考点热身训练 6.2推理与证明

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 6.2推理与证明，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知an=()n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
…
记A（s,t）表示第s行的第t个数，则A（11，12）=( )
(A) (B) () (D)
2.记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积，设等差数列{an}公差d≠0，若对小于2 011的正整数n，都有Sn=S2 011-n成立，则推导出a1 006=0,设等比数列{bn}的公比q≠1，若对于小于23的正整数n，都有Tn=T23-n成立，则( )
(A)b11=1 (B)b12=1 ()b13=1 (D)b14=1
3.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理（ ）
(A)小前提错 (B)结论错 ()正确 (D)大前提错
4.若a,b,c是不全相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca.
证明过程如下：
∵a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab,
b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
又∵a,b,c不全相等,
∴以上三式至少有一个“=”不成立,
∴将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.
此证法是( )
（A）分析法（B）综合法
（）分析法与综合法并用（D）反证法
5.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )
（A）假设三内角都不大于60度
（B）假设三内角都大于60度
（）假设三内角至多有一个大于60度
（D）假设三内角至多有两个大于60度
6.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,则a的取值范围是( )
（A）a<（B）a<且a≠-1
（）a>或a<-1（D）-1二、填空题（每小题5分，共15分）
7.给出下列不等式：1++>1,…，则按此规律可猜想第n个不等式为_______.
8. (2012·泉州模拟）设P=，Q=-，R=-，则P、Q、R的大小顺序是_______.
9.设x,y,z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z,且y⊥z，则x∥y”为真命题的是_______（填写所有正确条件的代号）.
①x为直线,y,z为平面；②x,y,z为平面；
③x,y为直线，z为平面；④x,y为平面，z为直线;
⑤x，y，z为直线.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.
（1）求第n行实心圆点个数与第n-1,n-2行实心圆点个数的关系.
（2）求第11行的实心圆点的个数
11.（易错题）已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.
【探究创新】
（16分）凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1,x2,…,xn都有已知函数f(x)=sinx在(0,π)上是凸函数，则
（1）求△AB中，sinA+sinB+sin的最大值.
（2）判断f(x)=2x在R上是否为凸函数.
答案解析
1.【解析】选D.由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1，3，5，7，9，…，可得前10行共有个数，A（11，12）表示第11行的第12个数，则A（11，12）是数列{an}的第100+12=112个数，即可得故应选D.
2.【解析】选B.由等差数列中Sn=S2 011-n，可导出中间项a1 006=0，类比得等比数列中Tn=T23-n，可导出中间项b12=1.
3.【解析】选.大前提，小前提都正确，推理正确，故选.
4.【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.
5.【解析】选B.由反证法的定义可知，要否定结论，即至少有一个不大于60°的否定是三内角都大于60°，故选B.
6.【解析】选D.∵f(x)的周期为3，∴f(2)=f(-1),
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(-1)=-f(1),则f(2)=f(-1)=-f(1),
再由f(1)>1,可得f(2)<-1,
即解得-17.【解题指南】第一个不等式左侧3项，第二个7项，第三个15项，故第n个应有2n+1-1项，右侧，为1，，2，…，
故第n个应为，从而可得.
【解析】观察不等式左边最后一项的分母3，7，15，…，通项为2n+1-1，不等式右边为首项为1，公差为的等差数列，故猜想第n个不等式为
答案：
8. 【解析】y1=x3，y2=sinx,y3=2x-2-x,
y4=x·csx都是奇函数，
y1′=3x2,y2′=csx,y3′=2xln2+2-xln2,
y4′=csx-xsinx，都是偶函数，
∴奇函数的导函数是偶函数.
答案：奇函数的导函数是偶函数.
9.【解析】∵
而
∴
故
即P>R>Q.
答案：P>R>Q
10.【解题指南】设出第n行实心圆点的个数an，空心圆点的个数bn，则它与第n-1行的关系由题意不难得出，整理可得解.
【解析】（1）设第n行实心圆点有an个，空心圆点有bn个，由树形图的生长规律可得
∴an=an-1+bn-1=an-1+an-2，
即第n行实心圆点个数等于第n-1行与第n-2行实心圆点个数之和.
（2）由（1）可得数列{an}为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，∴第11行实心圆点的个数就是该数列的第11项55.
【方法技巧】解决“生成”数列的方法
解决生成数列的关键在于抓住该数列的生成规律，一方面可以通过不完全归纳法来猜想结论，另一方面也可以通过第n项与第n-1项的关系来分析与处理.此类问题是高考的热点.
【变式备选】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第几行？
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
【解析】杨辉三角中某行全为奇数时转换后此行才都为1，由数阵可得，全行的数都为1分别是第1，3，7，15，…行，由此可猜想第n次全行的数都为1的是第2n-1行.
11.【证明】假设a,b,c,d都是非负数，因为a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈［0,1］,
所以
所以
这与已知ac+bd>1相矛盾，所以原假设不成立，即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
【探究创新】
【解析】
(1)∵f(x)=sinx在（0，π)上是凸函数，A、B、∈(0,π)且A+B+=π,
∴
即sinA+sinB+sin≤3sin=.
所以sinA+sinB+sin的最大值为.
（2）∵f(-1)=,f(1)=2,
而
而
∴
即不满足凸函数的性质定理，故f(x)=2x不是凸函数.