高考数学一轮复习 考点热身训练 2.11导数及其应用

这是一份高考数学一轮复习 考点热身训练 2.11导数及其应用，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.曲线y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( )
(A)y=2x+1 (B)y=2x-1
(C)y=-2x-3 (D)y=-2x-2
2.(2013·宿州模拟)若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于( )
(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4
3.y=sinx+tcsx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t等于( )
(A)1 (B)2 (C)-1 (D)0
4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上是减函数，那么b+c( )
(A)有最大值 (B)有最大值-
(C)有最小值 (D)有最小值-
5.函数f(x)= ex(sinx+csx)在区间[0，]上的值域为( )
(A)[，] (B)(，)
(C)[1，] (D)(1，)
6.(易错题)已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )
(A)(-∞，)∪(,2)
(B)(-∞，0)∪(，2)
(C)(-∞，) ∪(，+∞)
(D)(-∞，)∪(2，+∞)
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.等比数列{an}中，a1=1,a2 012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为________.
8.已知函数f(x)=alnx+x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________.
9.已知α、β是三次函数f(x)= (a,b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1),β∈(1,2),则的取值范围是______.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.已知函数f(x)满足如下条件：当x∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，且对任意
x∈R，都有f(x+2)=2f(x)+1.
(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)求当x∈(2k-1,2k+1]，k∈N*时，函数f(x)的解析式.
11.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【探究创新】
(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=
3 700x+45x2-10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)=460x+5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润=产值-成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
答案解析
1.【解析】选A.因为y′=，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率
k=y′|x=-1==2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1，故选A.
2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f′(1)为常数，先求出f′(1)，再求
f′(0).
【解析】选D.f′(x)=2f′(1)+2x，∴令x=1，得
f′(1)=-2，∴f′(0)=2f′(1)=-4.
3.【解析】选A.∵y′=csx-tsinx，当x=0时，y=t，y′=1，
∴切线方程为y=x+t，比较可得t=1.
4.【解析】选B.由f(x)在[-1,2]上是减函数，知
f′(x)=3x2+2bx+c≤0，x∈[-1,2]，
则⇒
15+2b+2c≤0⇒b+c≤-.
5.【解析】选A.f′(x)=ex(sinx+csx)+ex(csx-sinx)=excsx，
当00,
∴f(x)是[0，]上的增函数.
∴f(x)的最大值为f()=，
f(x)的最小值为f(0)= .
∴f(x)的值域为[,].
6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f′(x)在(-∞，)和(2，+∞)上大于0，在(，2)上小于0，
∴xf′(x)<0的解集为(-∞，0)∪(，2).
7.【解析】f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2 012)+x·(x-a2)(x-a3)…
(x-a2 012)+x(x-a1)(x-a3)…(x-a2 012)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a2 011),
∴f′(0)=(-a1)·(-a2)…(-a2 012)=(a1a2 012)1 006=22 012,
∴切线方程为y=22 012x.
答案：y=22 012x
【变式备选】已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.
【解析】f′(x)= ,g′(x)= (x＞0),
由已知得：解得a=e,x=e2.
∴两条曲线交点的坐标为(e2,e)，
切线的斜率为k=f′(e2)=,
所以切线的方程为y-e=(x-e2),
即x-2ey+e2=0.
8.【解析】∵f(x)=alnx+x，∴f′(x)=+1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，
∴+1≥0在x∈[2,3]上恒成立，
∴a≥(-x)max=-2，∴a∈[-2，+∞).
答案：[-2，+∞)
9.【解析】f′(x)=x2+ax+2b,由题意知，方程f′(x)=0有两根α、β，一根
α∈(0,1),另一根β∈(1,2),
∴
设结合线性规划得z的取值范围为(,1)
答案：(,1)
10.【解析】(1)x∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，f′(x)= ，
所以，函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0)，即y=x.
(2)因为f(x+2)=2f(x)+1，
所以，当x∈(2k-1,2k+1]，k∈N*时，x-2k∈(-1,1]，
f(x)=2f(x-2)+1=22f(x-4)+2+1
=23f(x-6)+22+2+1=…
=2kf(x-2k)+2k-1+2k-2+…+2+1
=2kln(x-2k+1)+2k-1.
11.【解析】(1)因为x=5时y=11，
所以+10=11,所以a=2；
(2)由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3＜x＜6；
从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6)，令f′(x)=0得x=4,
函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42.
答：当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【探究创新】
【解析】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20);
MP(x)=P(x+1)-P(x)
=-30x2+60x+3 275 (x∈N*,且1≤x≤19).
(2)P′(x)=-30x2+90x+3 240
=-30(x-12)(x+9),
∵x>0,∴P′(x)=0时,x=12，
当00,
当x>12时，P′(x)<0,
∴x=12时，P(x)有极大值，也是最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
(3)MP(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305.
所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，
所以单调减区间为［1，19］，且x∈N*
MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.