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数学6.2 二元一次方程组的解法教学设计
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这是一份数学6.2 二元一次方程组的解法教学设计，共15页。
课时目标
1.经历探索二元一次方程组的解的过程,体验“消元”方法和转化的思想,培养学生用已有活动经验解决未知的新问题的迁移能力.
2.会用代入消元法解简单的二元一次方程组(其中一个未知数的系数为1),培养学生的运算能力.
3.通过参与数学活动,发展学生探究问题的能力.
学习重点
熟练运用代入消元法解二元一次方程组.
学习难点
理解“二元”向“一元”的转化,掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.
课时活动设计
情境引入
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
(1)如果设胜的场数是x场,则负的场数是(10-x)场,可得一元一次方程2x+(10-x)=16.
(2)如果设胜的场数是x场,负的场数是y场,可得二元一次方程组x+y=10,2x+y=16.
那么怎样解这个二元一次方程组呢?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.下列方程是二元一次方程吗?
(1)x+3y=7; (2)2y+2=0; (3)2x-3=5; (4)x3-y2=1.
解:(1)是. (2)不是. (3)不是. (4)是.
2.你能把上面的二元一次方程改写成用含x的代数式表示y(或用含y的代数式表示x)的形式吗?
解:(1)x=7-3y; (4)y=23x-2.
3.解一元一次方程的步骤是什么?
解:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.
设计意图:回顾旧知,为学习新知做好准备.
探究新知
如图,一个苹果和一个梨的质量合计为200 g,这个苹果的质量加上一个10 g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少.
分析:根据下图,列式得y=x+10,①x+y=200,②把①代入②,得x+(x+10)=200.
问题:你知道如何解y=x+10,①x+y=200,②吗?
解的步骤如下:
y=x+10,①x+y=200,②x+(x+10)=200x=95y=105.
问题:观察上面的解答过程,你发现了什么?
答:化未知为已知,把二元一次方程组转化为一元一次方程来解答.
问题:将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.你能写出方程组y=x+10,①x+y=200②的解答过程吗?
解:y=x+10,①x+y=200.②
把①代入②,得x+(x+10)=200,解得x=95.
把x=95代入①,得y=105.
∴方程组y=x+10,①x+y=200②的解是x=95,y=105.
问题:前面我们学过求一元一次方程解的过程叫做解一元一次方程,上面的过程叫做什么呢?
答:求二元一次方程组的解的过程叫做解二元一次方程组.
设计意图:1.探索用代入法解二元一次方程组的方法,让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想.
2.通过利用一元一次方程解决实际问题,引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
归纳总结
解二元一次方程组的基本思路“消元”:二元一次方程组一元一次方程.
概念:用“代入”的方法进行“消元”,这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 利用代入消元法解二元一次方程组2x+3y=16,①x+4y=13.②
解:由②,得x=13-4y ③.
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
解这个方程,得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
所以原方程组的解是x=5,y=2.
例2 在农贸市场,小明发现每千克芒果的价格是凤梨的1.2倍,他买了3千克芒果和5千克凤梨,共花了43元.问:芒果和凤梨每千克各多少元?
解:设芒果每千克x元,凤梨每千克y元,
依题意,得x=1.2y,3x+5y=43,
解得x=6,y=5.
答:芒果每千克6元,凤梨每千克5元.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.让学生解决数学问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,促进学生能运用所学知识和技能解决问题.
巩固训练
1.用代入法解方程组x-2y=7,y=1-x时,代入正确的是( C )
A.x-2-x=7 B.x-2-2x=7 C.x-2+2x=7 D.x-2+x=7
2.用代入法解方程组2s+t=1,①3s-5t=8,②下面四个选项中正确的是( C )
A.由②,得t=3s+85,再代入①B.由②,得s=8-5t3,再代入①
C.由①,得t=1-2s,再代入②D.由①,得s=1+t2,再代入②
3.用代入法解方程组:
(1)y=2x-3,①3x+2y=8;② (2)2x-y=5,①3x+4y=2.②
解:(1)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解得x=2.
把x=2代入①,得y=1.
所以这个方程组的解是x=2,y=1.
(2)由①,得y=2x-5.③
把③代入②,得3x+4(2x-5)=2,解得x=2.
把x=2代入③,得y=-1.
所以这个方程组的解是x=2,y=-1.
4.为了更好地保护环境,治污公司决定购买若干台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多5万元,购买2台A型号设备和3台B型号设备共45万元.求每台A型号,B型号设备的价格分别是多少万元.
解:设每台A型号设备的价格是x万元,每台B型号设备的价格是y万元.
依据题意,得x-y=5,①2x+3y=45.②
由①,得x=5+y.③
把③代入②,得2(5+y)+3y=45,解得y=7.
把y=7代入①,得x=12.
所以这个方程组的解是x=12,y=7.
答:每台A型号设备的价格是12万元,每台B型号设备的价格是7万元.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.代入消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第8页练习第(2)题,习题A组,习题B组第2题.
2.七彩作业.
第1课时 用代入消元法解较简单的方程组
1.代入消元法:简称代入法.
2.出示例题.
总结代入法解二元一次方程组的步骤.
理解转化思想的运用.
教学反思
第2课时 用代入消元法解较复杂的方程组
课时目标
1.熟练运用代入消元法解复杂的的二元一次方程组(没有一个未知数的系数为1),培养学生的运算能力.
2.通过观察方程组的具体系数特点来选择合适的表示方法代入解方程组,培养学生观察、抽象、归纳的能力以及增强学生的合作意识,不断提高分析问题、解决问题的能力,进一步发展推理能力的核心素养.
3.在用代入消元法解二元一次方程组的过程中,大胆地尝试不同的解法,并在体验成功的快乐的同时激发学生浓厚的学习兴趣.
4.再次理解解二元一次方程组的思路是“消元”,经历从未知向已知转化的过程,进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想,培养学生用已有活动经验解决未知的新问题的迁移能力.
学习重点
理解代入消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想.
学习难点
观察方程组的具体系数特点来选择合适的方法解方程组;分析实际问题中的数量关系,建立数学模型.
课时活动设计
情境引入
母亲节那天,小明想给妈妈准备鲜花和礼盒,参考下图信息,小明需要准备多少钱呢?请你列出方程组.
解:设每束鲜花x元,每个礼盒y元.
依题意,得2x+3y=84,3x+2y=76.
那么怎样解这个二元一次方程组呢?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.把下面的二元一次方程改写成用含x的代数式表示y的形式.
(1)32x+2y=1; (2)14x+74y=2.
解:(1)去分母,得3x+4y=2.
移项,系数化为1,得y=12-34x.
(2)去分母,得x+7y=8.
移项,系数化为1,得y=87-17x.
2.解方程组:x+2y=3,①3x+2y=1.②
解:由①,得x=3-2y.③
把③代入②,得3(3-2y)+2y=1,解得y=2.
把y=2代入③,得x=3-2×2=-1.
所以原方程组的解是x=-1,y=2.
设计意图:回顾旧知,为学习新知做好准备.
探究新知
你能用多种方法解方程组:3x+10y=14,①10x+15y=32②吗?
问题1:对第一个方程变形,用含y的代数式表示x的结果是怎样的?
问题2:将含有y的代数式代入另一个方程中得到一个什么样的一元一次方程?
问题3:这个一元一次方程的解是什么?方程组的解是什么?
问题4:对第一个方程变形,用含x的代数式表示y的结果,再代入另一个方程又是怎样的呢?
问题5:把第二个方程变形代入第一个方程结果又如何?
问题6:哪种变形代入计算更简单一些?为什么?
设计意图:通过对以上问题的解答,鼓励学生一题多解,通过观察,发现题目中的特点,找到解决问题的最简便方法,同时通过一题多解,拓展学生的思维.
归纳总结
代入消元法解复杂的二元一次方程组,可以有4种不同的形式(两个方程选其一,两个未知数选其一).为减少复杂的计算,一般选用较简单的方程或一个未知数的简单表达形式,这就需要对每个方程中各未知数的系数的情况做比较和分析,并根据自己的认识进行选择.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 利用代入消元法解二元一次方程组3x-5y=6,①6x+4y=-16.②
解:由①,得x=6+5y3.③
把③代入②,得6×6+5y3+4y=-16,
解得y=-2.
把y=-2代入③,得x=6+5×(-2)3=-43.
所以原方程组的解是x=-43,y=-2..
例2 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2?5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
分析:两种产品的销售数量比为2?5,即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2?5.这里的数目以瓶为单位.
解:设这些消毒液应该分装大瓶x瓶和小瓶y瓶.
根据题意,得5x=2y,①500x+250y=22 500 000.②
由①,得y=52x.③
把③代入②,得500x+250×52x=22 500 000,解得x=20 000.
把x=20 000代入③,得y=50 000.
所以这个方程组的解是x=20 000,y=50 000.
答:这些消毒液应该分装大瓶20 000瓶和小瓶50 000瓶.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.让学生解决数学问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,促进学生能运用所学知识和技能解决问题.
巩固训练
1.已知关于x,y的方程组x-y=k-3,3x+5y=2k+8 的解满足x+y=2,则k的值为 1 .
2.若|a-b+1|与a+2b+4互为相反数,则a-2b= 0 .
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.本节课学到了什么知识?什么方法?你积累了哪些活动经验?
2.有没有需要注意的地方要提醒大家?
3.你还存在什么困惑?
设计意图: 通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第10页练习,习题第1,2题.
2.七彩作业.
第2课时 用代入消元法解较复杂的方程组
出示例题 例题板演
选择系数较简单的未知数,用含另一个未知数的代数式来表示.
理解消元、化归思想的应用.
教学反思
第3课时 用加减消元法解方程组
课时目标
1.通过具体简单的用加减消元法解二元一次方程组的例子,体验加减消元法,在此基础上学习加减消元法的概念,理解加减消元法.
2.会运用加减消元法求未知数系数相等或相反的二元一次方程组的解,掌握运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.
3.通过运用加减消元法解方程组,体会消元思想的运用,体验先观察、再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.
学习重点
用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
学习难点
对加减消元法解方程组过程的理解;在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
情境引入
怎样解下面的方程组?
3x+5y=21,①2x-5y=-11.②
小组讨论:
思路1:把②变形为x=5y-112,代入①,不就消去x了!
思路2:把②变形为5y=2x+11,就可以直接代入①呀!
思路3:5y和-5y两项的系数互为相反数……
按以上3个思路,你能消去一个未知数吗?
设计意图:通过观察,提出问题,为新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么?
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么?
设计意图:通过对已经学习过的知识的回顾,可以激发学生们的学习兴趣,将学生的注意力转移到课堂上来,为学习新知识做好准备.
探究新知
解方程组:3x+5y=21,①2x-5y=-11.②你有几种方法?
解法1:由②,得x=5y-112.③
把③代入①,得3·5y-112+5y=21,解得y=3.
把y=3代入③,得x=2.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
解法2:由②,得5y=2x+11.③
把5y当作整体,将③代入①,得3x+2x+11=21,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
(此种解法体现了整体的思想)
解法3:①+②,得5x=10,解得x=2.
把x=2代入①,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
设计意图:通过对一道练习题的解答,鼓励学生一题多解,不要局限于教师教过的方法,而要注意观察、发现题目中的特点,找到解决问题的其他方法,同时通过一题多解,拓展学生的思维.
归纳总结
在二元一次方程组的两个方程中,若同一未知数的系数互为相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;若同一未知数的系数相等,则可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
特点:同一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路:二元一元.
主要步骤:(1)加减消去一个元;(2)分别求出两个未知数的值;(3)写出方程组的解.
设计意图:总结归纳加减消元法的解题思路、步骤,让学生体会加减消元法与代入消元法的区别,合理恰当地选择解题方法.
典例精讲
例1 用加减法解下列方程组:
(1)x+y=10,①2x+y=16;② (2)3x+10y=2.8,①15x-10y=8.②
解:(1)②-①,得x=6.
将x=6代入①,得y=4.
所以原方程组的解是x=6,y=4.
(2)②+①,得18x=10.8,解得x=0.6.
将x=0.6代入①,得y=0.1.
所以原方程组的解是x=0.6,y=0.1.
例2 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割同时工作5小时共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
解:设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式的相等关系,得方程组2(2x+5y)=3.6,5(3x+2y)=8.
去括号,得4x+10y=3.6,①15x+10y=8.②
②-①,得11x=4.4.
解得x=0.4.
把x=0.4代入①,得y=0.2.
因此,这个方程组的解是x=0.4,y=0.2.
答:1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.巩固利用加减法求二元一次方程组的解,掌握解题步骤.
巩固训练
1.用加减消元法解下列方程组:
(1)8x+5y=11,①4y-3x=-10;② (2)3x+4y=10,①4x-3y=5.②
解:(1)①×4,得32x+20y=44.③
②×5,得20y-15x=-50.④
③-④,得47x=94.解得x=2.
把x=2代入①,得16+5y=11.解得y=-1.
所以原方程组的解为x=2,y=-1.
(2)①×4,得12x+16y=40.③
②×3,得12x-9y=15.④
③-④,得25y=25.解得y=1.
把y=1代入①,得3x+4=10.解得x=2.
所以原方程组的解为x=2,y=1.
2.某物流公司用4辆小卡车和5辆大卡车一次共运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共运货物51吨,问小卡车和大卡车每辆每次运货各多少吨.
解:设小卡车每辆每次运货x吨,大卡车每辆每次运货y吨.
根据题意,得4x+5y=27,①6x+10y=51.②
①×2,得8x+10y=54.③
③-②,得2x=3.解得x=1.5.
把x=1.5代入①,得6+5y=27.解得y=4.2.
所以这个方程组的解是x=1.5,y=4.2.
答:小卡车每辆每次运货1.5吨,大卡车每辆每次运货4.2吨.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.加减消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第13页练习第1,2题,习题A组第1,2题,B组第2题.
2.七彩作业.
第3课时 用加减消元法解方程组
1.加减消元法:简称加减法.
2.出示例题.
总结加减法解二元一次方程组的步骤.
理解消元、化归思想的运用.
教学反思
课时目标
1.经历探索二元一次方程组的解的过程,体验“消元”方法和转化的思想,培养学生用已有活动经验解决未知的新问题的迁移能力.
2.会用代入消元法解简单的二元一次方程组(其中一个未知数的系数为1),培养学生的运算能力.
3.通过参与数学活动,发展学生探究问题的能力.
学习重点
熟练运用代入消元法解二元一次方程组.
学习难点
理解“二元”向“一元”的转化,掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.
课时活动设计
情境引入
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
(1)如果设胜的场数是x场,则负的场数是(10-x)场,可得一元一次方程2x+(10-x)=16.
(2)如果设胜的场数是x场,负的场数是y场,可得二元一次方程组x+y=10,2x+y=16.
那么怎样解这个二元一次方程组呢?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.下列方程是二元一次方程吗?
(1)x+3y=7; (2)2y+2=0; (3)2x-3=5; (4)x3-y2=1.
解:(1)是. (2)不是. (3)不是. (4)是.
2.你能把上面的二元一次方程改写成用含x的代数式表示y(或用含y的代数式表示x)的形式吗?
解:(1)x=7-3y; (4)y=23x-2.
3.解一元一次方程的步骤是什么?
解:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1.
设计意图:回顾旧知,为学习新知做好准备.
探究新知
如图,一个苹果和一个梨的质量合计为200 g,这个苹果的质量加上一个10 g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少.
分析:根据下图,列式得y=x+10,①x+y=200,②把①代入②,得x+(x+10)=200.
问题:你知道如何解y=x+10,①x+y=200,②吗?
解的步骤如下:
y=x+10,①x+y=200,②x+(x+10)=200x=95y=105.
问题:观察上面的解答过程,你发现了什么?
答:化未知为已知,把二元一次方程组转化为一元一次方程来解答.
问题:将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.你能写出方程组y=x+10,①x+y=200②的解答过程吗?
解:y=x+10,①x+y=200.②
把①代入②,得x+(x+10)=200,解得x=95.
把x=95代入①,得y=105.
∴方程组y=x+10,①x+y=200②的解是x=95,y=105.
问题:前面我们学过求一元一次方程解的过程叫做解一元一次方程,上面的过程叫做什么呢?
答:求二元一次方程组的解的过程叫做解二元一次方程组.
设计意图:1.探索用代入法解二元一次方程组的方法,让学生体会数学学习和研究中的“化未知为已知”的化归思想.
2.通过利用一元一次方程解决实际问题,引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
归纳总结
解二元一次方程组的基本思路“消元”:二元一次方程组一元一次方程.
概念:用“代入”的方法进行“消元”,这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 利用代入消元法解二元一次方程组2x+3y=16,①x+4y=13.②
解:由②,得x=13-4y ③.
将③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
解这个方程,得y=2.
将y=2代入③,得x=5.
所以原方程组的解是x=5,y=2.
例2 在农贸市场,小明发现每千克芒果的价格是凤梨的1.2倍,他买了3千克芒果和5千克凤梨,共花了43元.问:芒果和凤梨每千克各多少元?
解:设芒果每千克x元,凤梨每千克y元,
依题意,得x=1.2y,3x+5y=43,
解得x=6,y=5.
答:芒果每千克6元,凤梨每千克5元.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.让学生解决数学问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,促进学生能运用所学知识和技能解决问题.
巩固训练
1.用代入法解方程组x-2y=7,y=1-x时,代入正确的是( C )
A.x-2-x=7 B.x-2-2x=7 C.x-2+2x=7 D.x-2+x=7
2.用代入法解方程组2s+t=1,①3s-5t=8,②下面四个选项中正确的是( C )
A.由②,得t=3s+85,再代入①B.由②,得s=8-5t3,再代入①
C.由①,得t=1-2s,再代入②D.由①,得s=1+t2,再代入②
3.用代入法解方程组:
(1)y=2x-3,①3x+2y=8;② (2)2x-y=5,①3x+4y=2.②
解:(1)把①代入②,得3x+2(2x-3)=8,解得x=2.
把x=2代入①,得y=1.
所以这个方程组的解是x=2,y=1.
(2)由①,得y=2x-5.③
把③代入②,得3x+4(2x-5)=2,解得x=2.
把x=2代入③,得y=-1.
所以这个方程组的解是x=2,y=-1.
4.为了更好地保护环境,治污公司决定购买若干台污水处理设备.现有A,B两种型号的设备,已知购买1台A型号设备比购买1台B型号设备多5万元,购买2台A型号设备和3台B型号设备共45万元.求每台A型号,B型号设备的价格分别是多少万元.
解:设每台A型号设备的价格是x万元,每台B型号设备的价格是y万元.
依据题意,得x-y=5,①2x+3y=45.②
由①,得x=5+y.③
把③代入②,得2(5+y)+3y=45,解得y=7.
把y=7代入①,得x=12.
所以这个方程组的解是x=12,y=7.
答:每台A型号设备的价格是12万元,每台B型号设备的价格是7万元.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.代入消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第8页练习第(2)题,习题A组,习题B组第2题.
2.七彩作业.
第1课时 用代入消元法解较简单的方程组
1.代入消元法:简称代入法.
2.出示例题.
总结代入法解二元一次方程组的步骤.
理解转化思想的运用.
教学反思
第2课时 用代入消元法解较复杂的方程组
课时目标
1.熟练运用代入消元法解复杂的的二元一次方程组(没有一个未知数的系数为1),培养学生的运算能力.
2.通过观察方程组的具体系数特点来选择合适的表示方法代入解方程组,培养学生观察、抽象、归纳的能力以及增强学生的合作意识,不断提高分析问题、解决问题的能力,进一步发展推理能力的核心素养.
3.在用代入消元法解二元一次方程组的过程中,大胆地尝试不同的解法,并在体验成功的快乐的同时激发学生浓厚的学习兴趣.
4.再次理解解二元一次方程组的思路是“消元”,经历从未知向已知转化的过程,进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想,培养学生用已有活动经验解决未知的新问题的迁移能力.
学习重点
理解代入消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想.
学习难点
观察方程组的具体系数特点来选择合适的方法解方程组;分析实际问题中的数量关系,建立数学模型.
课时活动设计
情境引入
母亲节那天,小明想给妈妈准备鲜花和礼盒,参考下图信息,小明需要准备多少钱呢?请你列出方程组.
解:设每束鲜花x元,每个礼盒y元.
依题意,得2x+3y=84,3x+2y=76.
那么怎样解这个二元一次方程组呢?
设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.把下面的二元一次方程改写成用含x的代数式表示y的形式.
(1)32x+2y=1; (2)14x+74y=2.
解:(1)去分母,得3x+4y=2.
移项,系数化为1,得y=12-34x.
(2)去分母,得x+7y=8.
移项,系数化为1,得y=87-17x.
2.解方程组:x+2y=3,①3x+2y=1.②
解:由①,得x=3-2y.③
把③代入②,得3(3-2y)+2y=1,解得y=2.
把y=2代入③,得x=3-2×2=-1.
所以原方程组的解是x=-1,y=2.
设计意图:回顾旧知,为学习新知做好准备.
探究新知
你能用多种方法解方程组:3x+10y=14,①10x+15y=32②吗?
问题1:对第一个方程变形,用含y的代数式表示x的结果是怎样的?
问题2:将含有y的代数式代入另一个方程中得到一个什么样的一元一次方程?
问题3:这个一元一次方程的解是什么?方程组的解是什么?
问题4:对第一个方程变形,用含x的代数式表示y的结果,再代入另一个方程又是怎样的呢?
问题5:把第二个方程变形代入第一个方程结果又如何?
问题6:哪种变形代入计算更简单一些?为什么?
设计意图:通过对以上问题的解答,鼓励学生一题多解,通过观察,发现题目中的特点,找到解决问题的最简便方法,同时通过一题多解,拓展学生的思维.
归纳总结
代入消元法解复杂的二元一次方程组,可以有4种不同的形式(两个方程选其一,两个未知数选其一).为减少复杂的计算,一般选用较简单的方程或一个未知数的简单表达形式,这就需要对每个方程中各未知数的系数的情况做比较和分析,并根据自己的认识进行选择.
设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.
典例精讲
例1 利用代入消元法解二元一次方程组3x-5y=6,①6x+4y=-16.②
解:由①,得x=6+5y3.③
把③代入②,得6×6+5y3+4y=-16,
解得y=-2.
把y=-2代入③,得x=6+5×(-2)3=-43.
所以原方程组的解是x=-43,y=-2..
例2 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2?5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
分析:两种产品的销售数量比为2?5,即销售的大瓶数目与小瓶数目的比为2?5.这里的数目以瓶为单位.
解:设这些消毒液应该分装大瓶x瓶和小瓶y瓶.
根据题意,得5x=2y,①500x+250y=22 500 000.②
由①,得y=52x.③
把③代入②,得500x+250×52x=22 500 000,解得x=20 000.
把x=20 000代入③,得y=50 000.
所以这个方程组的解是x=20 000,y=50 000.
答:这些消毒液应该分装大瓶20 000瓶和小瓶50 000瓶.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.让学生解决数学问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,促进学生能运用所学知识和技能解决问题.
巩固训练
1.已知关于x,y的方程组x-y=k-3,3x+5y=2k+8 的解满足x+y=2,则k的值为 1 .
2.若|a-b+1|与a+2b+4互为相反数,则a-2b= 0 .
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.本节课学到了什么知识?什么方法?你积累了哪些活动经验?
2.有没有需要注意的地方要提醒大家?
3.你还存在什么困惑?
设计意图: 通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第10页练习,习题第1,2题.
2.七彩作业.
第2课时 用代入消元法解较复杂的方程组
出示例题 例题板演
选择系数较简单的未知数,用含另一个未知数的代数式来表示.
理解消元、化归思想的应用.
教学反思
第3课时 用加减消元法解方程组
课时目标
1.通过具体简单的用加减消元法解二元一次方程组的例子,体验加减消元法,在此基础上学习加减消元法的概念,理解加减消元法.
2.会运用加减消元法求未知数系数相等或相反的二元一次方程组的解,掌握运用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.
3.通过运用加减消元法解方程组,体会消元思想的运用,体验先观察、再选择合适的方法是做数学题的重要技巧.
学习重点
用加减消元法解二元一次方程组的基本步骤.
学习难点
对加减消元法解方程组过程的理解;在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.
课时活动设计
情境引入
怎样解下面的方程组?
3x+5y=21,①2x-5y=-11.②
小组讨论:
思路1:把②变形为x=5y-112,代入①,不就消去x了!
思路2:把②变形为5y=2x+11,就可以直接代入①呀!
思路3:5y和-5y两项的系数互为相反数……
按以上3个思路,你能消去一个未知数吗?
设计意图:通过观察,提出问题,为新课的学习埋下伏笔.
知识回顾
1.解二元一次方程组的基本思路是什么?
2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是什么?
设计意图:通过对已经学习过的知识的回顾,可以激发学生们的学习兴趣,将学生的注意力转移到课堂上来,为学习新知识做好准备.
探究新知
解方程组:3x+5y=21,①2x-5y=-11.②你有几种方法?
解法1:由②,得x=5y-112.③
把③代入①,得3·5y-112+5y=21,解得y=3.
把y=3代入③,得x=2.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
解法2:由②,得5y=2x+11.③
把5y当作整体,将③代入①,得3x+2x+11=21,解得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
(此种解法体现了整体的思想)
解法3:①+②,得5x=10,解得x=2.
把x=2代入①,得y=3.
所以原方程组的解是x=2,y=3.
设计意图:通过对一道练习题的解答,鼓励学生一题多解,不要局限于教师教过的方法,而要注意观察、发现题目中的特点,找到解决问题的其他方法,同时通过一题多解,拓展学生的思维.
归纳总结
在二元一次方程组的两个方程中,若同一未知数的系数互为相反数,则可直接把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;若同一未知数的系数相等,则可直接把这两个方程的两边分别相减,消去这个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解,这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.
特点:同一个未知数的系数相同或互为相反数.
基本思路:二元一元.
主要步骤:(1)加减消去一个元;(2)分别求出两个未知数的值;(3)写出方程组的解.
设计意图:总结归纳加减消元法的解题思路、步骤,让学生体会加减消元法与代入消元法的区别,合理恰当地选择解题方法.
典例精讲
例1 用加减法解下列方程组:
(1)x+y=10,①2x+y=16;② (2)3x+10y=2.8,①15x-10y=8.②
解:(1)②-①,得x=6.
将x=6代入①,得y=4.
所以原方程组的解是x=6,y=4.
(2)②+①,得18x=10.8,解得x=0.6.
将x=0.6代入①,得y=0.1.
所以原方程组的解是x=0.6,y=0.1.
例2 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割同时工作5小时共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
解:设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦x hm2和y hm2.
根据两种工作方式的相等关系,得方程组2(2x+5y)=3.6,5(3x+2y)=8.
去括号,得4x+10y=3.6,①15x+10y=8.②
②-①,得11x=4.4.
解得x=0.4.
把x=0.4代入①,得y=0.2.
因此,这个方程组的解是x=0.4,y=0.2.
答:1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2.
设计意图:1.通过例题,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性.
2.巩固利用加减法求二元一次方程组的解,掌握解题步骤.
巩固训练
1.用加减消元法解下列方程组:
(1)8x+5y=11,①4y-3x=-10;② (2)3x+4y=10,①4x-3y=5.②
解:(1)①×4,得32x+20y=44.③
②×5,得20y-15x=-50.④
③-④,得47x=94.解得x=2.
把x=2代入①,得16+5y=11.解得y=-1.
所以原方程组的解为x=2,y=-1.
(2)①×4,得12x+16y=40.③
②×3,得12x-9y=15.④
③-④,得25y=25.解得y=1.
把y=1代入①,得3x+4=10.解得x=2.
所以原方程组的解为x=2,y=1.
2.某物流公司用4辆小卡车和5辆大卡车一次共运货物27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共运货物51吨,问小卡车和大卡车每辆每次运货各多少吨.
解:设小卡车每辆每次运货x吨,大卡车每辆每次运货y吨.
根据题意,得4x+5y=27,①6x+10y=51.②
①×2,得8x+10y=54.③
③-②,得2x=3.解得x=1.5.
把x=1.5代入①,得6+5y=27.解得y=4.2.
所以这个方程组的解是x=1.5,y=4.2.
答:小卡车每辆每次运货1.5吨,大卡车每辆每次运货4.2吨.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
课堂小结
1.用加减消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的?
2.加减消元中应注意哪些问题?
设计意图:通过小结,使学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.
课堂8分钟.
1.教材第13页练习第1,2题,习题A组第1,2题,B组第2题.
2.七彩作业.
第3课时 用加减消元法解方程组
1.加减消元法:简称加减法.
2.出示例题.
总结加减法解二元一次方程组的步骤.
理解消元、化归思想的运用.
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